1.6 Outils de modélisation mathématique des épidémies
1.6.2 Stabilité des solutions d’un système dynamique
L’objectif de l’étude des systèmes dynamiques réside dans la recherche du comportement qualitatif asymptotique des trajectoires des différentes orbites. Un résultat important montre que cette étude n’a pas besoin d’être faite point par point dans l’espace de phase du système dynamique, mais plutôt de concentrer l’étude au voisinage des points d’équilibres de celui-ci.
La connaissance des points fixes et leur stabilité est un outil permettant d’analyser le com-portement des orbites au voisinage de ces points fixes et voir s’il y a un prolongement dans l’espace de phase.
La stabilité est un des aspects essentiels dans l’étude des systèmes dynamiques linéaires et non-linéaires. C’est un concept qui a donné lieu à différentes terminologies qui vont être brièvement rappelées ici afin de préciser dans quelle acception le terme stabilité est utilisé en fonction du contexte.
Stabilité globale et stabilité locale
Si on compare les comportements possibles des trajectoires dans le cas des systèmes dif-férentiels linéaires et non linéaires, on s’aperçoit que les comportements sont beaucoup plus complexes dans le cas non linéaire.
Dans le cas des systèmes dynamiques linéaires à coefficients constants, tous les points d’équi-libre ont la même stabilité. Si un point d’équid’équi-libre est stable, toutes les solutions d’équid’équi-libre sont stables et on dit alors que le système dynamique est stable, confondant ainsi la stabilité
d’une solution d’équilibre avec celle du système dynamique.
Par contre, dans le cas d’un système non linéaire l’étude complète de la stabilité d’un point d’équilibre consiste non seulement à déterminer le comportement asymptotique de sa trajec-toire mais aussi son domaine d’attraction, c’est-à-dire l’ensemble des conditions initiales dont les solutions convergent vers l’équilibre. Ainsi, on parle de la stabilité ou de l’instabilité locale ou globale, la stabilité locale signifiant la convergence des solutions avec des conditions initiales proches de l’équilibre tandis que l’instabilité globale signifie la divergence de solutions en dehors de toute limite et la perte des informations quand au suivi de sa trajectoire.
Définitions des types de stabilités
Nous considérons dans ce paragraphe, le cas général d’un système dynamique autonome : dx dt = F (x) x(0) = x0 (1.4)
Définition 1.12. (Stabilité au sens de Lyapunov)
La solution x(t; x0) de (1.4) est stable au sens de Lyapunov si, pour tout ξ > 0, il existe
δ(ξ, x0) > 0 tel que :
kx1− x0k < δ ⇒ kx(t; x1) − x(t; x0)k < ξ, ∀t ∈ R+.
Puisque la solution à tout instant dépend d’une manière continue des conditions initiales, cette définition suggère que, avec une perturbation suffisamment petite, les solutions restent proches dans tout le futur. Cette définition a un aspect local et s’intéresse au comportement au voisinage de l’équilibre sans prédire à priori de quel ordre de grandeur δ(ξ) peut être choisi. Si de plus, la solution perturbée converge vers la solution non perturbée, de manière qu’elles deviennent confondues quand le temps tend vers l’infini, on parle d’une notion de stabilité plus forte (stabilité asymptotique).
Définition 1.13. (Stabilité asymptotique)
La solution x(t, x0) est asymptotiquement stable si elle est stable au sens de Lyapunov et s’il existe :
r(x0) > 0, tel que kx1 − x0k < r ⇒ kx(t; x1) − x(t; x0)k → 0 quand t → +∞
Un système dynamique non linéaire quelconque peut avoir plusieurs positions d’équilibre qui peuvent être stables ou instables. Dans certaines situations, on exige la stabilité exponentielle de l’équilibre qui est plus forte que la stabilité asymptotique et est définie comme suit :
Définition 1.14. (Stabilité exponentielle d’un point d’équilibre)
Le point d’équilibre xeq est dit exponentiellement stable s’il existe des constantes positives α, γ, r telles que :
pour tout t ∈ R+.
Nous pouvons remarquer que cette définition de la stabilité exponentielle s’inspire du com-portement des fonctions lispschitziennes.
Dans ce cas, on s’intéresse le plus souvent à la détermination de γ ; un exemple simple de la stabilité exponentielle est donné par un système linéaire possédant des valeurs propres à parties réelles strictement négatives ; l’équilibre est asymptotiquement stable et, de plus, il est expo-nentiellement stable. On démontre aisément que si le système dynamique est asymptotiquement stable quel que soit le vecteur d’état initial (x(t = 0) = x0) alors le point d’équilibre est globale-ment asymptotiqueglobale-ment (ou exponentielleglobale-ment) stable. Ce résultat provient des propriétés des bases d’un espace vectoriel de dimension fini et ne peut être étendu dans le cas des systèmes dynamiques définis dans les espaces vectoriels de dimension infinie.
Présentation de la stabilité par linéarisation
On suppose que le champ de vecteur F est au moins de classe C1. On sait que l’étude de
la stabilité dans le cas des systèmes non linéaires pose un problème réel d’exactitude et de complexité ; en effet, la résolution de telles équations n’a pas de méthode précise.
Cependant, Lyapunov et autres chercheurs ont remarqué par l’étude des trajectoires des courbes intégrales au voisinage des points d’équilibres que, dans la majorité des cas, les points d’équi-libres des systèmes non linéaires peuvent être ramenés aux mêmes types de points d’équilibre des systèmes linéaires.
Comme l’étude d’un système dynamique linéaire est aisée puisqu’un ensemble de méthodes al-gébriques essentiellement liées à la théorie spectrale est connu, la méthode d’étude des systèmes dynamiques non linéaires consiste en la linéarisation qui est une méthode d’approximation, se basant sur le théorème du développement limité de Taylor.
Un développement de Taylor d’ordre un de l’équation du système dynamique donne alors : dx
dt = DF (xe)x + O(|x|
2) (1.6)
où xe est un point d’équilibre. Puis, pour répondre aux questions de stabilité, il convient de
considérer le système linéaire associé : dx
dt = DF (xe)x (1.7)
où DF (xe) est la matrice jacobienne de F au point xe.
DF (x) = ∂F1 ∂x1 . . . ∂F1 ∂xn . . . . . . . . . ∂Fn ∂x1 . . . ∂Fn ∂xn (1.8)
La détermination de la stabilité du point d’équilibre s’effectue donc en deux étapes :
1. La première consiste à déterminer la stabilité du point d’équilibre (x = 0), équilibre du système linéaire, partant du fait que l’on sait déjà déterminer la stabilité linéaire à partir des valeurs propres (spectre) de DF (xe).
2. La deuxième étape, réside dans la manière de déterminer la stabilité de xeà partir de celle de x = 0. Autrement dit, sous quelles conditions les systèmes linéaires et non linéaires sont-ils équivalents ?
Théorie hyperbolique
– Si toutes les valeurs propres de DF (xe) sont à partie réelle non nulle, alors le point
d’équilibre xe est dit hyperbolique.
– Si toutes les valeurs propres de DF (xe) sont à partie réelle strictement négative, alors le
point d’équilibre xe est localement asymptotiquement stable.
– Si au moins une valeur propre de DF (xe) est à partie réelle strictement supérieure à 0,
alors le point d’équilibre xe est instable.
– Si au moins une valeur propre de DF (xe) est à partie réelle nulle, alors le point d’équilibre xe est dit non-hyperbolique ; c’est le cas critique, on ne peut rien conclure à priori sur sa stabilité. Dans ce cas, on fait appel à d’autres résultats ; l’étude de sa stabilité nécessite l’utilisation des résultats tels que : (Théorème de la variété centrale, fonction de lyapunov, analyse du flot, etc.)
Théorème 1.1. (Hartman-Grobman)
Le système différentiel ˙x = F (x), où F ∈ C1(Rn, Rn), est dit hyperbolique à l’origine si et seulement si F (xe) = 0 et A = DF (xe) n’a pas de valeurs propres à partie réelle nulle. Dans ce
cas, il existe U , V deux voisinages de 0 dans Rn et un homéomorphisme h : U → V qui envoie
les trajectoires de ˙x = F (x) sur celles de ˙x = Ax en préservant le sens du parcours.
Le théorème affirme (sous certaines conditions) que, au voisinage d’un point xe tel que
F (xe) = 0, le système est équivalent au système linéarisé. L’équivalence par homéomorphisme
permet d’effectuer une classification basée principalement sur la stabilité ou l’instabilité de l’équilibre ; deux systèmes linéaires sont topologiquement équivalents s’ils ont le même nombre de valeurs propres, avec des parties réelles de mêmes signes.
Notons que la linéarisation classique ne permet d’étudier que la stabilité locale du point d’équilibre, et ne donne aucun renseignement sur le domaine d’attraction qui est d’ordre global sur la stabilité.