On reprend la formulation du problème de trajectographie passive comme chaîne de Markov cachée décrite en page 24. On note l’état du système à l’instant tk par Xk =¡xk yk x˙k y˙k¢T, où (xk, yk) désigne la position de la cible dans le plan et ( ˙xk, ˙yk) le vecteur vitesse. Les équations d’état et d’observation sont
½
Xk= F Xk−1+ ζk , (1)
Yk = h(Xk, tk) + εk, (2)
avec Xk la matrice colonne Xk=¡xk yk x˙k y˙k¢T, F = µ
I2 ∆TI2
0 I2
¶
où ∆T désigne la période d’échantillonnage, {ζk}k≥0 définie par ζk = βGVk où β > 0, G =
à ∆2 T 2 I2 ∆TI2 !
et {Vk}k≥0est une suite de variables indépendantes gaussiennes standards dans R2, {εk}k≥0 une suite de variables i.i.d. de loi N (0, σ2) indépendantes de {ζk}k≥0 et h l’application définie, pour x =¡x1 x2 x˙1 x˙2¢T, par
Stabilité asymptotique pour le BOT 177 où Ψ[(x1, x2), t] est défini par Ψ[(0, 0), t] = 0 et Ψ[(x1, x2), t] = angle[x1− O1(t), x2− O2(t)] pour (x1, x2) 6= O(t) avec la fonction d’angle donnée par
angle(x, y)def= arctan(x/y) + π × sgn(x) ×1y<0 si x 6= 0 et y 6= 0, π 2 × sgn(x) si x 6= 0 et y = 0, π 2 × [1 − sgn(y)] si x = 0 et y 6= 0.
Compte-tenu de la dépendance en temps, le filtre optimal est défini par
φν,n(y0:n, t0:n)def= ν [g(·, y0, t0)Qg(·, y1, t1)Q . . . Qg(·, yn, tn)1A] ν [g(·, y0, t0)Qg(·, y1, t1)Q . . . Qg(·, yn, tn)] = R Xn+1ν(dx0)g(x0, y0, t0)Qni=1Q(xi−1, dxi)g(xi, yi, ti)1A(xn) R Xn+1ν(dx0)g(x0, y0, t0)Qi=1n Q(xi−1, dxi)g(xi, yi, ti) , où g(x, y, t) = υ[y − h(x, t)] avec υ la densité de la loi N (0, σ2).
Pour u = (u1, u2) ∈ R2, on note
K[u]def= ©x ∈ R4 : |(x1, x2) − (u1, u2)| ∈ [Rmin, Rmax] et |( ˙x1, ˙x2)| ∈ [vmin, vmax]ª .
Pour tout t ∈ [0, 1] et (u, v) ∈ K[O(t)]2, on a
|h(u, t) − h(v, t)| ≤ ∆ =⇒ |u − v| ≤ ϕ(∆) + vmax− vmin , (3) où, par des considérations trigonométriques, la quantité ϕ(∆) est définie
ϕ(∆)def= ©R2max− 2RminRmaxcos ∆ + R2minª1/2 . (4)
∆ Rmin Rmax h(v,t) h(u,t) O(t) ϕ(∆)
Fig. 14.1 – Contrôle pour un écart d’angle donné
Le contrôle décrit par l’équation (3) joue un rôle essentiel dans la localisation de l’état caché. En effet, pour deux mesures d’angles réalisées au même instant t distantes de ∆, la quantité ϕ(∆) représente l’écart maximal en distance pour les états contraints dans K[O(t)] dont les azimuts sont ces mesures d’angles. Autrement dit, si deux états donnent des azimuts proches, leurs positions respectives ne peuvent être arbitrairement éloignées. Bien que ce fait puisse sembler naturel au praticien, on est contraint, sur le plan théorique, d’imposer des hypothèses très fortes au signal
{Xk}k≥0 et qui sont vraisemblablement discutables.
Notons Q le noyau de transition de {Xk}k≥0avec Q ¿ λLeb et q = dQ/dλLeb. Alors, pour tout
A ∈ X et tout x ∈ X,
Q(x, A) =
Z
A
γ(x0− F x)λLeb(dx0) . (5)
En vue d’appliquer les résultats de stabilité asymptotique obtenus au chapitre 13, on définit la fonction LD-set suivante :
(y, t) 7−→ C∆(y, t)def= {x ∈ K[O(t)] : |h(x, t) − y| ≤ ∆} .
L’hypothèse H 1 formulée au chapitre 13 page 159 est clairement satisfaite. L’hypothèse H 2 (page 162) doit être légèrement adaptée compte-tenu de la contrainte d’appartenance à K[O(t)] à l’instant t. Il s’agit de vérifier que, pour tout η > 0, il existe ∆ > 0 tel que
sup
x∈K[O(t)]\C∆(y,t)
υ[y − h(x, t)] ≤ η sup υ ,
ce qui découle clairement des caractéristiques du noyau gaussien υ.
Ainsi, pour tout (x, x0) ∈ C∆(y, t) × C∆(y0, t0), en considérant des antécédents z ∈ K[O(t)] et
z0∈ K[O(t0)] respectivement pour y par h(·, t) et y0 par h(·, t0), on a
|x0− F x| ≤ |x0− z0| + |z0− F z| + kF k |z − x0| .
Il s’ensuit
|x0− F x| ≤ (1 + kF k)[ϕ(∆) + vmax− vmin] + D[(y, t), (y0, t + δt)] , (6) où D est défini par
D[(y, t), (y0, t0)]def= sup©|z0− F z| : y = h(z, t), y0 = h(z0, t0), (z, z0) ∈ K[O(t)] × K[O(t0)]ª .
En reprenant les notations du chapitre 13, on pose
γ−(r)def= inf
|s|≤rγ(s) , γ+(r)def= sup
|s|≤r
γ(s) . (7)
Par suite, d’après (5) et (6), pour tout A ∈ X et x ∈ C[(y, t), ∆],
ε−∆[(y, t), (y0, t0)]λLeb£A ∩ C∆(y0, t0)¤
≤ Q£x, A ∩ C∆(y0, t0)¤≤ ε+∆[(y, t), (y0, t0)]λLeb£A ∩ C∆(y0, t0)¤ , (8)
où
ε−∆[(y, t), (y0, t0)] def= γ−©(1 + kF k)[ϕ(∆) + vmax− vmin] + D[(y, t), (y0, t + δt)]ª , ε+∆[(y, t), (y0, t0)] def= γ+©(1 + kF k)[ϕ(∆) + vmax− vmin] + D[(y, t), (y0, t + δt)]ª .
Considérons la suite {Yk}k≥0 d’observations issues2 de (2). Pour une observation Yk, on note c
Yk la mesure d’angle correspondante3. Soit u ∈ K[O(tk)] tel que h(u, tk) = cYk et u0 ∈ K[O(tk+1)]
2On pourrait aussi considérer que les observations sont issues d’un autre système d’évolution de même type que (1-2), à l’instar de ce qui a été fait en section 13.3.2.
3Cette précaution permet de considérer tout type de bruit d’observation, notamment un bruit gaussien à support dans R tout entier
Stabilité asymptotique pour le BOT 179 tel que h(u0, tk+1) = [Yk+1. Alors, il vient
|z0− F z| ≤ |z0− Xk+1| + |Xk+1− F Xk| + kF k |Xk− z| .
À présent, on souhaite établir, comme on l’a fait au chapitre 13, un contrôle de la quantité
D[(Yk, tk), (Yk+1, tk+1)] dont le rôle est de localiser les états cachés afférents. Il s’agit donc de relier cette variable aléatoire avec le contrôle d’états par de mesures d’angles, contrôle fourni par l’implication (3). Ceci nous amène à formuler l’hypothèse suivante :
(H) La trajectoire porteur t 7→ O(t) est telle que
{Xk}k≥0∈ Y
k≥0
K[O(tk)] P − p.s.
Sous cette hypothèse, il vient
D[(Yk, tk), (Yk+1, tk+1)] ≤ ϕ(εk+1) + |ζk| + kF k ϕ(εk) . (9) Utilisant la décroissance de γ−, on a log ε−∆[(Yk−1, tk−1), (Yk, tk)] ≥ −Zk∆où, pour tout entier k ≥ 1 et ∆ > 0, Z∆
k est défini par
Zk∆def= − log γ−{(1 + kF k)[ϕ(∆) + vmax− vmin] + ϕ(εk+1) + |ζk| + kF k ϕ(εk)} .
Proposition 14.1. On considère la chaîne de Markov cachée {Xk, Yk}k≥1 associée au modèle de trajecto-graphie passive décrit par les équations (1-2). On suppose que l’hypothèse (H) est satisfaite et que, pour tout ∆ > 0,
E|Z1∆| < ∞ . Alors, pour toutes lois de probabilités ν0, ν et ν0 sur (X, X ), on a
lim sup
n→∞ n−1log°°φν,n[Y0:n, t0:n] − φν0,n[Y0:n, t0:n]°°TV< 0, Pν0 − p.s.
Démonstration. La preuve est identique à celle de la proposition 13.4 du chapitre 13 sous réserve
d’avoir, pour une valeur ∆ > 0 fixée, λLeb[C∆(y, t)] ≥ δ, pour tout (y, t) ∈ R × [0, 1] avec δ > 0 qui ne dépend que de ∆. Cette dernière condition est facilement vérifiée puisque l’on a
λLeb[C∆(y, t)] = 2∆(Rmax− Rmin) × (vmax− vmin)2 .
2∆ Rmin Rmax x1 x2 v1 v2 vmin vmin vmax vmax y
On peut adapter de manière identique la convergence en espérance décrite par la proposition 13.5.
L’hypothèse (H) peut sembler fortement restrictive puisqu’elle contraint la cible à évoluer dans une zone à distance bien délimitée par rapport à la trajectoire porteur. Ceci conditionne directe-ment le noyau de transition de la chaîne {Xk}k≥0 et exclut le cas le plus usité en trajectographie, à savoir un noyau gaussien. Cette condition relance une autre question qu’est celle de la com-mande du porteur. En effet, l’hypothèse n’a de sens que si le porteur agit pour que la cible soit dans une zone où la trajectographie est matériellement réalisable. Donc, l’hypothèse, bien que très contraignante au regard d’une modélisation théorique, est tout à fait raisonnable sur le plan pratique.
Intuitivement, cette contrainte n’est pas aberrante puisque, d’une certaine manière, elle permet de retrouver l’ergodicité que l’on n’exige pas dans la chaîne d’état. Cependant, en cherchant à suivre la trame des majorations mises en œuvre au chapitre 13, on s’oblige à des calculs fins alors qu’une majoration assez grossière est possible et qui permet d’établir les mêmes résultats. Pour tout t ∈ [0, 1] et (u, v) ∈ K[O(t)]2, on a
|h(u, t) − h(v, t)| ≤ ∆ =⇒ |u − v| ≤ Rmax+ Rmin+ vmax− vmin ,
par des conditions géométriques évidentes. Avec cette nouvelle majoration, on peut réécrire la proposition 14.1 en modifiant de manière ad hoc la suite de variables aléatoires {Z∆
k }k≥0 et l’hy-pothèse de moment.
Ces considérations laissent penser que la formulation de l’hypothèse (H) est sans doute trop restrictive. Toutefois, nous ne voyons pas à ce jour comment relâcher cette hypothèse quitte à contraindre davantage la trajectoire porteur afin de pouvoir, par exemple, traiter le cas d’un noyau de transition gaussien .