Spécialisation progressive sur la LM aux dépens de sa richesse perceptive

Mas em geral, ´e imposs´ıvel encontrar um modo de estima¸c˜ao, dentre todos tipos de limiariza¸c˜ao, que minimize o erro produzido pela limiariza¸c˜ao dos coeficientes. Donoho e Jonhstone [Donoho e Johnstone 1995] prop˜oem um limiar para minimizar o erro do estimador quando o ru´ıdo ´e aditivo gaussiano. Este limiar ´e dado por

T = σn2 log(N)

em que σ2

Cap´ıtulo 4: Aplica¸c˜ao da transformada wavelets na redu¸c˜ao do ru´ıdo speckle 33 Conhecendo o valor de N, o problema se resume na determina¸c˜ao de σn. No

Cap´ıtulo 2, ´e considerada uma imagem como uma representa¸c˜ao por regi˜ao. Ent˜ao, assumindo que a imagem possui regi˜oes suaves com n´ıvel de cinza constante poder-se estimar a variˆancia localmente, mesmo se ´e perdida a qualidade de bordas. Neste caso, a limiariza¸c˜ao se aplica `as componentes da decomposi¸c˜ao wavelet, que apresenta as caracter´ısticas da imagem, suas bordas em diferentes n´ıveis de precis˜ao. Ent˜ao desta vez, ao contr´ario do Cap´ıtulo 2, a imagem ´e considerada como uma representa¸c˜ao por bordas, e a variˆancia n˜ao pode ser estimada localmente. A id´eia ´e de considerar a totalidade dos coeficientes de uma componente e de observar que a maioria dos coeficientes wavelets provieram do ru´ıdo e que eles tˆem valores pequenos.

Seja N o tamanho do sinal observado possuindo ent˜ao N/2 coeficientes de wavelets `a escala a mais fina. O coeficiente |xl,k| ´e fraco quando o sinal X ´e regular, o que

d´a |yl,k| ≈ |nl,k|. Nestas regi˜oes, os coeficientes s˜ao ent˜ao aproximadamente iguais

aos |nl,k| de variˆancia σn2. De um outro lado, |yl,k| ´e alto se X varia brutalmente

no suporte de ψl,k. Um sinal regular por partes gera ent˜ao poucos coeficientes de

grandes amplitudes relativamente aos N/2. `A escala mais fina, a componente do sinal influencia s´o poucos coeficientes |yl,k| e que s˜ao de grande amplitude. Um estimador

robusto de σn ´e ent˜ao obtido a partir da mediana dos m´odulos desses coeficientes,

Figura 4.4: exemplo de reparti¸c˜ao dos coeficientes wavelets de um sinal 1D tendo N amostras.

Se M ´e o valor mediano de {|yl,k|, 0 ≥ k ≥ N/2}, pode-se mostrar que quando

o ru´ıdo ´e aditivo gaussiano: E[M] = 0, 6745σn [Donoho e Johnstone 1995]. Pode-se

ent˜ao estimar σn por

ˆ σn=

M 0, 6745.

Para ilustrar a qualidade deste estimador, pode-se aplicar um ru´ıdo aditivo gaus- siano de variˆancia σn = 25 `as imagens. Os resultados s˜ao dados na Tabela 4.1.

lena baboon cameraman peppers Ru´ıdo aditivo gaussiano (σn= 25) 25,9451 28,4015 25,3470 25,6785

Ru´ıdo multiplicativo(σn = 0.2) 0,2512 0,2607 0,2649 0,1863

Tabela 4.1: estima¸c˜ao do ˆσ em imagens corrompidas por um ru´ıdo aditivo gaussiano ou por ru´ıdo multiplicativo.

Cap´ıtulo 4: Aplica¸c˜ao da transformada wavelets na redu¸c˜ao do ru´ıdo speckle 35 de um ru´ıdo n˜ao-gausiano, cujo a simula¸c˜ao ´e descrita na sub-sec¸c˜ao seguinte. A Tabela 4.1 mostra a sua estima¸c˜ao para algumas imagens. Os resultados mostram que a qualidade do estimador ´e correta no caso n˜ao-gaussiano tamb´em.

O limiar constru´ıdo por Donoho e Johnstone n˜ao ´e o limiar ´otimo para o caso de um ru´ıdo speckle, pois o ru´ıdo ´e n˜ao gaussiano e conseq¨uentemente uma adapta¸c˜ao deve ser realizada. Por´em, deste estudo guardaremos a estima¸c˜ao da variˆancia que ser´a ´util adiante.

4.1.3

Aplica¸c˜ao

Da teoria de wavelets, encontra-se que as pequenas varia¸c˜oes contidas em uma pe- quena regi˜ao s˜ao expressas pelas wavelets finas e est˜ao representadas por um pequeno valor. Isto acontece exatamente para os valores oriundos do ru´ıdo aditivo. Ent˜ao a partir desta observa¸c˜ao, a id´eia de aplicar um limiar aos coeficientes por um dos m´etodos de limiariza¸c˜oes precedentes pode ser eficiente.

Mas, no caso em que o ru´ıdo ´e de natureza multiplicativo, obt´em-se um mau resultado. Em uma superf´ıcie homogˆenea de alto valor, as diferen¸cas entre dois pixels vizinhos pode ser enorme. O exemplo seguinte ilustra o problema.

A simula¸c˜ao do ru´ıdo speckle ´e aquela utilizada no Matlab. Considera-se a imagem sobre [0, 1], a modelagem para o ru´ıdo speckle ´e: J = I + nI, em que I ´e a imagem original, n segue uma lei uniforme de m´edia nula e de variˆancia 0, 04 e J ´e a imagem resultante.

exemplo: considerando uma regi˜ao homogˆenea representada pela matriz I

I = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 150 150 150 150 150 150 150 150 150 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ A imagem J ruidosa resultante ´e

J = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 107 97 160 192 137 193 132 95 130 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

As grandes diferen¸cas aparecendo entre I e J, explicam que algumas wavelets finas provocam grandes coeficientes e que s˜ao ent˜ao guardados pela limiariza¸c˜ao, mesmo estando-se numa regi˜ao homogˆenea.

Para resolver um pouco esta dificuldade, toma-se o logaritmo da imagem corromp- ida e se aplica a limiariza¸c˜ao sobre a imagem resultante. Obt´em-se ent˜ao um ru´ıdo aditivo log(1 + n) e a limiariza¸c˜ao ´e finalmente mais adaptada.

Os resultados da Tabela 4.2 mostram a melhor rela¸c˜ao sinal/ru´ıdo (expresso em dB) encontrado dentre diferentes limiares e conservando uma boa qualidade de ima- gem. A melhora qualidade foi obtida ao utilizando uma limiariza¸c˜ao suave.

lena baboon cameraman peppers

SNR original 9,7020 9,5055 9,5763 9,6073

SNR da imagem limiarizada 18,8761 14,9794 19,5648 20,0451 Tabela 4.2: resultados da limiariza¸c˜ao sobre 4 imagens corrompidas por um ru´ıdo

speckle artificial.

Cap´ıtulo 4: Aplica¸c˜ao da transformada wavelets na redu¸c˜ao do ru´ıdo speckle 37 A grande vantagem desta abordagem ´e o baixo tempo de processamento obtido gra¸cas a decomposi¸c˜ao r´apida em wavelets. A Tabela 4.3 confirma este resultado:

64 × 64 128 × 128 256 × 256 512 × 512 Tempo de execu¸c˜ao 0, 26 sec 0, 35 sec 0, 6 sec 1, 6 sec

Tabela 4.3: tempo de execu¸c˜ao do algoritmo em fun¸c˜ao do tamanho da imagem.