La somme des premières valeurs propres d’un opérateur sous forme diver-

divergence

Nous présentons ici les résultats des chapitres 4 et 5 qui correspondent à [87] et [88]. Dans cette section nous étudions la régularité des ensembles optimaux pour la somme des premières valeurs propres, comptées avec multiplicités, d’un opérateur sous forme divergence avec une pénalisation en volume et sous une contrainte d’inclusion. Plus précisément, nous fixons un ouvert borné D ⊂ Rd, la boîte, et nous considérons pour un quasi-ouvert Ω ⊂ D les valeurs propres λi(Ω) de l’opérateur −b(x)−1div(A∇·) sur Ω avec condition de Dirichlet. En d’autres termes, pour chaque valeur propre λi(Ω)il existe une fonction propre ui∈ H1

0(Ω)telle que (

− div(A∇u_i) = λi(Ω) b ui dans Ω

ui= 0 sur ∂Ω.

Précisons que cet opérateur est plus général que celui avec un terme de transport considéré dans le Théorème 1.2.12 puisque ce dernier correspond au cas particulier où A = e−ΦId et b = e−Φ. Nous avons le résultat de régularité suivant.

Théorème 1.3.11. Soient D ⊂ Rdun ouvert borné, A : D → Sym+

d une fonction à valeurs dans les matrices symétriques qui est uniformément elliptique et dont les coefficients sont Höldériens, b ∈ L^∞(D) une fonction bornée telle que c−1

b ≤ b ≤ c_b pour une constante cb > 0 et Λ > 0. Alors le problème

minλ₁(Ω) + · · · + λk(Ω) + Λ|Ω| : Ω ⊂ D quasi-ouvert (1.3.7) admet une solution. De plus, les solutions Ω∗ sont des ouverts de périmètre fini. Par ailleurs, si b ∈ W1,∞(D)est une fonction lipschitzienne, alors la frontière libre ∂Ω∗∩ D =Reg(∂Ω∗∩ D) ∪ Sing(∂Ω∗∩ D) se décompose en deux ensembles disjoints tels que :

1. Reg(∂Ω∗∩ D) est localement le graphe d’une fonction de classe C1,α pour un α ∈ (0, 1). Si, en outre, ai,j ∈ Ck,δ(D) et b ∈ Ck−1,δ(D) pour certains δ ∈ (0, 1) et k ≥ 1, alors Reg(∂Ω∗∩ D)est localement le graphe d’une fonction de classe Ck+1,α.

2. pour une constante universelle d∗ ∈ {5, 6, 7}, Sing(∂Ω∗∩ D)est : • vide si d < d∗;

• discret si d = d∗;

• de dimension de Hausdorff au plus (d − d∗) si d > d∗.

Nous montrons dans un premier temps que les fonctions propres sur un ensemble opti-mal pour (1.3.7) sont localement lipschitziennes dans D, ce qui constitue une première étape

importante pour l’étude de la régularité de la frontière libre des ensembles optimaux. Concer-nant la première valeur propre du Laplacien, la régularité lipschitzienne de la première fonction propre sur un ensemble optimal a été obtenue par Briançon Hayouni et Pierre dans [10] (voir aussi Théorème 1.2.6). Dans [18] (Théorème 1.3.6), les auteurs considèrent des fonctionnelles F (λ₁(Ω), . . . , λ_k(Ω))bi-lipschitziennes par rapport aux valeurs propres λi(Ω) du Laplacien, un exemple modèle étant la somme λ1(Ω) + · · · + λ_k(Ω). En particulier, ils prouvent le caractère Lipschitzien des fonctions propres sur un ensemble minimisant la somme des k premières valeurs propres du Laplacien parmi les quasi-ouverts Ω ⊂ Rdde mesure fixée. Ces résultats s’inspire des travaux d’Alt, Caffarelli et Friedman pour la régularité de problèmes à frontière libre ([2, 3]). Plus précisément, une fonction u ∈ H1(R^d) est lipschitzienne si elle harmonique dans Ωu = {u 6= 0} et qu’elle vérifie une condition de quasi-minimalité pour l’énergie de Dirichlet R_Rd|∇v|2dx. La preuve, qui repose de manière cruciale sur la combinaison de la formule (1.2.11) et de l’estimation |∆|u||(B_r(x)) ≤ Cr^d−1, ne permet par contre pas de traiter le cas de l’opérateur −b−1div(A∇·) puisque, par exemple, la formule (1.2.11) ne possède pas de généralisation pour cet opérateur (comme c’était néanmoins le cas pour l’opérateur avec un terme de transport considéré dans le Théorème 1.2.12).

En s’inspirant des résultats de [77] (Théorème 1.3.8), il est possible de montrer que le vecteur U = (u₁, . . . , u_k) des k premières fonctions propres sur un ensemble optimal pour (1.3.7) est un quasi-minimiseur pour la fonctionnelle

H₀¹(D, R^k) 3 V = (v1, . . . , vk) 7→ Z

D

A∇V · ∇V dx + Λ|{|V | > 0}|,

où on utilise la convention A∇V · ∇V = A∇v1· ∇v₁+ · · · + A∇v_k· ∇v_k. L’idée pour montrer que de tels quasi-minimiseurs U sont Lipschitziens est, comme dans le Théorème 1.2.15, de geler les coefficients afin que la fonction U, dans de nouvelles coordonnées près de x, devienne un quasi-minimiseur pour une fonctionnelle à coefficients constants. Bien sûr, ce changement de variables dépend du point x. Ensuite, nous adaptons la stratégie de David et Toro développée dans [34] où les auteurs prouvent que les quasi-minimiseurs pour les fonctionnelles à une et deux phases à coefficients constants sont des fonctions lipschitziennes (voir aussi [33] pour des résultats de régularité de la frontière libre). Nous obtenons le résultat suivant.

Théorème 1.3.12. Soient D ⊂ Rd un ouvert borné et Ω ⊂ D un quasi-ouvert. Soit A : D → Sym+

d uniformément elliptique et à coefficients δA-Höldériens et soit f = (f1, . . . , fk) ∈ L^∞(D, R^k). Supposons que U = (u1, . . . , u_k) ∈ H₀¹(Ω, R^k) est une fonction qui vérifie

• U est solution de l’équation

− div(A∇U ) = f dans Ω, (1.3.8)

• U satisfait la condition de quasi-minimalité suivante : pour tout C1 > 0, il existe des constantes ε ∈ (0, 1) et C > 0 telles que

Z

D

A∇U · ∇U dx + Λ|{|U | > 0}| ≤ 1 + CkU − ˜U k_L1

Z

D

A∇ ˜U · ∇ ˜U dx + Λ|{| ˜U | > 0}|, pour tout ˜U ∈ H₀¹(D, R^k)tel que kU − ˜U k_L1 ≤ εet k ˜U k_L∞ ≤ C₁.

Alors U est une fonction localement lipschitzienne dans D.

Précisons que presque au même moment, David, Engelstein, Smit Vega Garcia et Toro ont prouvé dans [32] la régularité lipschitzienne des quasi-minimiseurs pour une fonctionnelle à deux phases avec des coefficients variables sans supposer que les quasi-minimiseurs satisfassent une équation. La question d’écarter l’hypothèse (1.3.8), qui n’est utilisée dans la preuve du Théorème 1.3.12 que pour montrer que U est bornée et pour appliquer la formule de monotonie de Mate-vosyan et Petrosyan dans [75], n’est ici pas abordée puisque nous sommes surtout intéressés par

47 1.3. Les valeurs propres d’ordre supérieur

la régularité des fonctions propres sur un ensemble optimal au problème (1.3.8) pour lesquelles l’équation (1.3.8) est satisfaite.

La régularité de la frontière libre d’un ensemble minimisant la somme des premières valeurs propres du Laplacien de Dirichlet a été démontrée dans [77] (Théorème 1.3.8) qui constitue la principale source d’inspiration pour la preuve du Théorème 1.3.11. Précisons que le problème (1.3.7) n’est pas invariant par translation à cause de la contrainte imposée par la boîte ainsi que la présence des coefficients variables, ce qui implique en particulier que, contrairement à [77], les ensembles optimaux Ω∗ pour (1.3.7) ne sont a priori pas connexes. Néanmoins, il est possible de montrer que les composantes connexes de Ω∗ ne se touchent pas dans D. Puisqu’elles sont aussi solution d’un problème similaire à (1.3.7), il suffit en fait de prouver la régularité d’une composante connexe de Ω∗, notée Ω∗

1, où la première fonction propre u1 est strictement positive. La preuve consiste ensuite à montrer que Ω∗

1 est non-tangentiellement accessible (NTA) près des points réguliers de Ω∗

1, puis à prouver que les fonctions propres U = (u1, . . . , uk) vérifient un principe de Harnack aux points réguliers de la frontière ∂Ω∗

1. Ceci permet alors de montrer que u1 satisfait une condition d’optimalité sur la partie régulière de Ω∗

1 et ainsi d’appliquer un résultat de De Silva pour la régularité des problèmes à frontière libre à une phase (voir [36]). Les fonctions propres sont lipschitziennes

Commençons par préciser que l’opérateur −b−1div(A∇·)étant autoadjoint dans L2(Ω, bdx), ses valeurs propres sur un quasi-ouvert Ω ⊂ D forment une suite de réels strictement positifs et sont caractérisées par

λk(Ω) = min V sous-espace de dimension k de H₀¹(Ω) max v∈V \{0} R ΩA∇v · ∇v dx R Ωv2b dx ^.

De plus, les fonctions propres (uk)_k≥1 sur Ω forment une famille orthonormale de L2(Ω; bdx), c’est-à-dire R_Ωu_iu_jbdx = δ_ij. De cette formulation variationnelle des valeurs propres il dé-coule l’existence d’un quasi-ouvert Ω∗ optimal pour (1.3.7) et, par ailleurs, que le vecteur U = (u₁, . . . , u_k) des k premières fonctions propres sur Ω∗ est une solution du problème sui-vant min  Z D A∇V ·∇V +Λ|{|V | > 0}| : V = (v1, . . . , vk) ∈ H₀¹(D, R^k), Z D vivjb dx = δij  . (1.3.9) Il est alors possible de s’affranchir de la contrainte d’orthogonalité en utilisant une idée tirée de [77, Lemma 2.5] qui est basée sur la procédure d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Plus précisément, si ˜U ∈ H₀¹(D, R^k) est une petite perturbation de U (en norme L1), alors le vecteur V obtenu en orthonormalisant ˜U a une énergie proche de celle de ˜U, de sorte qu’en utilisant (1.3.9) il vient que U vérifie la condition de quasi-minimalité du Théorème 1.3.12. Le caractère Lipschitzien des fonctions propres sur Ω∗, et par conséquent l’existence d’un ensemble optimal ouvert pour (1.3.7), sont donc une conséquence du Théorème 1.3.12.

Il s’agit maintenant de montrer qu’une fonction coordonnée u := ui, pour i = 1, . . . , k, de U = (u1, . . . , uk) donné par le Théorème 1.3.12 est localement lipschitzienne dans D. Pour cela, on effectue comme au Théorème 1.2.15 le changement de variables en x ∈ D donné par la fonction Fx(ξ) := x + A¹x^/2[ξ], ξ ∈ Rd. On note ux:= u ◦ F_xafin de faire apparaître la dépendance en le point x (ici, ux n’est donc pas une fonction blow-up de u...). La fonction ux est alors un quasi-minimiseur pour l’énergie de Dirichlet, au sens où pour tout rayon r ≤ r0,

Z Br |∇u_x|² ≤ (1 + Cr^δA) Z Br |∇˜u|²+ Cr^d, (1.3.10) pour tout ˜u ∈ H1(R^d) tel que ux− ˜u ∈ H₀¹(B_r) et k˜ukL∞ ≤ ku_xk_L∞. Cette condition de quasi-minimalité permet en particulier de montrer que la moyenne ω(ux, r) := ^R−

Br|∇u_x|2
1/2

peut pas croître trop vite quand r → 0. Plus précisément, en comparant ux avec son extension harmonique dans des boules de rayon 2−kr, on obtient par un argument itératif l’estimation ω(u_x, s) ≤ Cω(u_x, r) + C log ^r_s

pour tous 0 < s ≤ r ≤ r0. Pour y, z ∈ Br(x)à une distance δ = |x − y|, en utilisant en particulier l’inégalité de Poincaré il vient |u(x)−u(y)| ≤ Cδ(1+ω(uy, cδ)) de sorte qu’avec l’estimation précédente on obtient

|u(y) − u(z)| ≤ C^1 + ω(u_x, r) + log ^r |y − z|



|y − z|.

La fonction u est donc continue dans D et même localement Höldérienne dans D.

Cette stratégie permet aussi de montrer que u est lipschitzienne dans un voisinage de x où u ne change pas de signe. Ceci est dû au fait que la preuve de l’estimation précédente sur ω(ux, r) repose essentiellement sur une comparaison entre ux et son extension harmonique hr à Br. Or si ux est strictement positive dans Br, alors hr l’est aussi par le principe du maximum, de sorte que quand on compare ux avec hr à l’aide de la condition de quasi-minimalité du Théorème 1.3.12, les termes de mesures se simplifient. De plus, u étant α-Höldérienne, le terme d’erreur en norme L1 est contrôlé par rd+α. Par conséquent, si ux est strictement positive dans Br, alors ux vérifie (1.3.10) avec maintenant ˜u = hr et un terme d’erreur en rd+α (au lieu de rd). En reprenant la stratégie précédente avec ce terme d’erreur plus précis, on obtient en particulier l’estimation ω(ux, s) ≤ Cω(u_x, r) + Cr^α. Par conséquent, il vient que u est lipschitzienne dans B_r/2(x) avec k∇ukL∞(B_r/2(x)) ≤ C(1 + ω(u_x, r)). En fait, u est dans ce cas de classe C1,β pour un certain β ∈ (0, 1).

Ensuite, on considère la situation où ω(ux, r) ≥ κpour une certaine constante κ > 0 suffi-samment grande et on distingue alors deux cas. Sous une hypothèse supplémentaire, qui exprime que la quantité 1

r  ^R−

Bru_x est grande, il est possible de montrer que la fonction ux est de signe constant dans une petite boule Bcr, de sorte que l’on est ramené au cas précédent ; en particulier, |∇u(x)| ≤ C(1+ω(u_x, r)). Si cette hypothèse n’est pas satisfaite, alors on montre que la moyenne ω(u_x, r) décroit pour un plus petit rayon. Plus précisément, il vient ω(ux, r/3) ≤ ¹₂ω(u_x, r). La preuve de ce résultat utilise en particulier une formule de monotonie tirée de [75] pour des opérateurs sous forme divergence.

Pour conclure que u est lipschitzienne, on fixe x ∈ D, r > 0 et on considère la fonction ux dans des boules Br_k de rayon rk= 3^−kr. D’après ce qui précède, pour tout k ≥ 0, l’une des trois assertions suivantes et vérifiée :

(i) ux est de signe constant dans Bcrk et en particulier |∇u(x)| ≤ C(1 + ω(ux, r_k)), (ii) ω(ux, r_k+1) ≤ ¹₂ω(ux, r_k),

(iii) ω(ux, rk) ≤ κ.

Par suite, on considère le plus petit entier k0 pour lequel la condition (i) est satisfaite. Puisque pour tout k < k0 l’une des conditions (ii) ou (iii) est vérifiée, on obtient par récurrence que ω(u_x, r_k) ≤ max{2^−kω(u_x, r), κ} pour tout 0 ≤ k ≤ k0. Or la condition (i) étant satisfaite pour k₀, il vient |∇u(x)| ≤ C(1 + ω(ux, r_k0)) ≤ C(1 + ω(u_x, r)). Précisons que si k0 n’existe pas (i.e. le cas (i) n’est jamais vérifié), alors ω(ux, r_k) ≤ κpour tout k suffisamment grand, de sorte que l’on obtient |∇u(x)| ' |∇ux(0)| = lim inf_k→+∞ω(u_x, r_k) ≤ κ pour tout point x de Lebesgue pour ∇u ∈ L2 (puisque 0 est alors un point de Lebesgue pour ∇ux).

Régularité de la frontière libre

On commence par étudier les blow-ups du vecteur U = (u1, . . . , uk) ∈ H₀¹(D, R^k) des k premières fonctions propres sur un ensemble optimal Ω∗ pour (1.3.7). Pour x0 ∈ D et rn ↓ 0, on définit la suite de fonctions Bn(ξ) = _r¹

nU (x₀+ r_nξ) qui converge vers une fonction limite B₀ ∈ H1

loc(R^d, R^k) puisque U est localement lipschitzienne dans D. Afin d’étudier les blow-ups B₀, on effectue le changement de variables précédent Fx0(ξ) = x + A¹x^/0²[ξ]de sorte que la fonction

49 1.3. Les valeurs propres d’ordre supérieur

Ux0 := U ◦ Fx0 vérifie une condition de quasi-minimalité pour la fonctionnelle

J ( ˜U , r) = Z

Br

|∇ ˜U |²dx + Λ|{| ˜U | > 0} ∩ B_r|. (1.3.11)

On en déduit que Ux0 est non-dégénérée en s’inspirant de [34], et on montre une formule de monotonie de Weiss pour Ux0. Ainsi, la suite Bn◦ A^1/2

x0(ξ) = _r¹

nU_x0(r_nξ) converge vers un blow-up B0◦ A^1/2

x0 de Ux0 en 0 qui est non-trivial (non-dégénérescence de Ux0), 1-homogène (formule de monotonie de Weiss) et qui est un minimiseur global de la fonctionnelle (1.3.11). De plus, il existe un vecteur unitaire ξ ∈ ∂B1 ⊂ Rdtel que B0◦ A_x^1/₀² = |B0◦ A¹_x^/₀²| ξ, de sorte que la fonction |B₀◦ A^1/2

x0|est alors une solution globale de la fonctionnelle d’Alt-Caffarelli R_Rd|∇u|2dx + Λ|{u > 0}|. En conséquence, le vecteur U satisfait au sens de la viscosité la condition d’optimalité suivante

|A¹/2∇|U || =^√Λ sur ∂Ω∗∩ D. (1.3.12) Ensuite, la stratégie est, comme dans [77], de se ramener à un problème à frontière libre à une phase. Rappelons que les composantes connexes de Ω∗ ne se touchent pas dans D et qu’il est donc suffisant de prouver la régularité d’une composante connexe Ω∗

1 de Ω∗ où la première fonction propre u1 est strictement positive. En reprenant une idée de [70] on montre que u1 est non-dégénérée près de ∂Ω∗

1. Plus précisément, pour une certaine constante C1 > 0 il vient C1u1 ≥ |U | dans Ω∗

1, de sorte que la non-dégénérescence de U implique celle de u1. En conséquence, on en déduit une estimation de la densité de Ω∗

1. Par suite, un point x0∈ ∂Ω^∗₁∩ D est dit régulier si 1

r(Ω^∗₁− x₀) converge vers un demi-espace quand r → 0. On montre alors, en utilisant la formule de monotonie de Weiss, que les points réguliers correspondent aux points x₀ ∈ ∂Ω^∗₁ ∩ D tels que la densité de {|Ux0| > 0} en 0 vaut 1

2. Avec le fait que les frontières ∂{|B_n| > 0}convergent vers ∂{|B0| > 0}pour la distance de Hausdorff, on en déduit que Ω∗

1 est Reifenberg plat au voisinage des points réguliers, ce qui signifie en un certain sens que la frontière ∂Ω^∗₁ près d’un point régulier peut être approchée par des hyperplans. En particulier, la partie régulière de Ω∗

1 est tangentiellement accessible (NTA) par un résultat de Kenig et Toro dans [66]. On montre alors un principe de Harnack pour les fonctions propres près des points réguliers x0 de la frontière ∂Ω∗

1. Plus précisément, on montre que les limites gi(x0) = limx→x0

ui(x)

u1(x), i = 2, . . . , k, existent et définissent des fonctions gi : ∂Ω^∗₁∩ B_r(x0) → R qui sont Höldériennes. La preuve de ce résultat utilise un principe de Harnack à la frontière pour des fonctions harmoniques par rapport à un opérateur sous forme divergence sur un ensemble NTA (voir [63]). Ici, les fonctions propres ui sont solutions de l’équation − div(A∇ui) = λi(Ω^∗)bui dans Ω∗

1 avec un membre de droite qui fait en particulier intervenir la fonction b. La preuve s’inspire d’une idée dans [82, Appendix A] pour les fonctions propres du Laplacien avec b = 1. Précisons que c’est le seul résultat dans la preuve du Théorème 1.3.11 où le caractère lipschitzien de b est utilisé. Ce principe de Harnack permet ensuite d’obtenir une condition d’optimalité satisfaite par u1. De manière heuristique, en écrivant u1 = g|U |avec g = (1+g2+· · ·+g_k)^−1/2on obtient formellement que A1/2∇u₁ = gA¹/2∇|U |+|U |A¹/2∇g, de sorte qu’en utilisant la condition d’optimalité (1.3.12), et puisque U = 0 sur Ω∗

1, il vient |A1/2∇u₁| = g^√Λ sur ∂Ω∗

1∩ B_r(x0). On montre alors que cette condition d’optimalité est en fait satisfaite au sens de la viscosité. Il suit alors, puisque l’on a prouvé que la fonction g est Höldérienne sur ∂Ω∗

1∩ B_r(x₀), que la partie régulière de Ω∗ 1 est de classe C1,α par un résultat de De Silva dans [36]. Il est aussi possible de montrer un principe de Harnack d’ordre supérieur pour les fonctions propres, ce qui avec le résultat de Kinderlehrer et Nirenberg dans [67] implique en particulier que la partie régulière est de classe C∞ si les coefficients de l’opérateur sont de classe C∞. Enfin, on montre qu’il est possible d’appliquer les résultats de Weiss dans [92] afin d’obtenir l’estimation de l’ensemble singulier.