L’approche que l’on présente repose sur la résolution de problèmes de Riemann ; on définit un problème de Riemann comme un problème de Cauchy pour lequel la solution à l’état initial présente une discontinuité séparant deux états constants. Pour une discréti-sation de l’espace donnée, partant d’une solution constante par morceaux à un temps tn, l’idée de base de la méthode de type Godunov proposée repose sur la résolution d’un pro-blème de Riemann aux interfaces entre chaque cellule. Ce faisant, la solution approchée au temps tn+1est obtenue à partir d’une moyenne pondérée de la juxtaposition de toutes les solutions obtenues sur chaque cellule.
On introduit pour le système sous forme vectorielle (1.34)-(1.35), un problème de Rie-mann à trois ondes λL, λ0et λRen imposant une onde nulle (λ0 = 0), une onde négative
20 Introduction générale
(λL60) et une onde positive (λR>0) avec les conditions initiales,
˜
W (0, x) = ˜WL, x < 0, (2.1)
˜
WR, x > 0, (2.2)
où ˜WLet ˜WRdéfinissent deux états constants. Le solveur de Riemann ainsi défini introduit deux états intermédiaires W⋆
L et W⋆
R. Etant consistant au sens intégral avec le système (1.34), le solveur définit des états intermédiaires (six inconnues du problème) vérifiant la relation de consistance, F ( ˜WR)− F ( ˜WL)− ˜S ˜ WL, ˜WR = λL( ˜WL⋆− ˜WL) + λR( ˜WR− ˜WR⋆) , (2.3) où ˜S ˜ WL, ˜WR
est une approximation du terme source S( ˜W ) et satisfait pour un pas d’espace ∆x > 0, lim ˜ WL, ˜WR→W˜ ∆x → 0 1 ∆xS˜ ˜ WL, ˜WR = S( ˜W ) . (2.4)
Finalement, le schéma que l’on obtient pourra simplement s’écrire sous la forme classique suivante, ˜ Wi+1n = ˜Win−∆t n ∆x(F − i+1/2− Fi−1/2+ ), (2.5) avec F−
( ˜Wi, ˜Wi+1)et F+( ˜Wi, ˜Wi+1)les flux numériques gauche et droit.
Afin de compléter le système (2.3) qui fournit trois équations pour six inconnues, on impose deux équations de continuité sur la cote de la surface libre et le débit. Enfin, la sixième relation est donnée par un problème de minimisation pour la variable de topo-graphie sous la contrainte donnée par la relation de consistance satisfaite par cette même variable,
minG(b⋆L, b⋆R) = ||bL− b⋆L||2+||bR− b⋆R||2 (2.6) u.c.H(b⋆L, b⋆R) = λL(b⋆L− bL) + λR(bR− b⋆R)− (qs(hR, uR)− qs(hL, uL)) = 0 . Ce problème de minimisation constitue un des deux points clés de la méthode. Résoudre ce problème permet de déterminer les deux cotes topographiques aux états intermédiaires b⋆
L et b⋆
R. Ces deux états sont alors utilisés pour obtenir les états intermédiaires des in-connues hydrauliques ; cette dépendance des états hydrauliques aux états solides tient du terme source faisant apparaître un terme de pente pour la conservation de la quantité de mouvement.
Par ailleurs, il est possible de définir la fonctionnelle à minimiser G d’une manière diffé-rente, constituant ainsi une possibilité d’enrichir facilement le schéma en lui ajoutant des propriétés physiques (par exemple au travers d’une énergie à minimiser).
Enfin, l’autre point clé se situe dans l’approximation des vitesses d’onde. En effet, le calcul des valeurs propres associées à la matrice jacobienne du système de Saint-Venant– Exner passe par la recherche des racines d’un polynôme de degré 3. Dans la philosophie de solveur simple que l’on adopte, il n’est pas nécessaire de déterminer exactement les vitesses d’onde. En revanche, il est essentiel que les vitesses d’onde retenues encadrent
2. Simulation numérique du système de Saint-Venant–Exner. 21
les vitesses d’onde exactes. Pour ce faire, on a recours à la méthode de Nickalls [133] qui permet d’encadrer avec précision les racines de tout polynôme de degré n ∈ N à racines réelles.
Bien qu’on ne le fasse pas apparaître dans (1.34), on rappelle qu’il est nécessaire de considérer le terme de frottement. Celui-ci sera traité numériquement par une approche implicite [140] reprise dans le chapitre2.
Enfin, en appliquant quelques corrections, on assure au schéma de satisfaire des pro-priétés importantes telles que la positivité et l’équilibre.
Positivité. Il apparaît que le signe de la hauteur d’eau dépend du signe de la différence de topographie en deux points d’espace. Une correction en fonction du signe de cette diffé-rence est introduite pour ne considérer que les valeurs positives des hauteurs d’eau ; cette dernière a été initialement présentée dans [8]. L’idée consiste à prendre le valeur maxi-male entre la hauteur d’eau et zéro. Aux états intermédiaires, on définit deux hauteurs d’eau intermédiaires. Ainsi, en appliquant ce traitement à une des hauteurs d’eau, on doit s’assurer que la positivité est également vérifiée pour la seconde.
Equilibre. La propriété d’équilibre est satisfaite pour une discrétisation du terme source adaptée. Cette dernière est une extension d’une discrétisation centrée de ce terme.
Dégénérescence. Cette propriété revient à considérer un transport solide nul dans le système de Saint-Venant–Exner,
qs= 0.
Le système (1.34) se réduit alors au système de Saint-Venant. Concernant le schéma numé-rique, il s’avère que ce dernier dégénère bien vers un solveur de Riemann approché pour le modèle de Saint-Venant. Plus particulièrement, ce solveur de Riemann adopte la même ap-proche que celle développée pour Saint-Venant–Exner et que l’on a décrit précédemment. De façon similaire, il vérifie les propriétés de positivité et d’équilibre et se révèle satisfaire numériquement la propriété de décroissance d’entropie. Tous les traitements pour obtenir les deux premières propriétés sont identiques à ceux décrits aux paragraphes précédents. Le solveur de Riemann approché pour Saint-Venant–Exner est une extension du même type de solveur appliqué au système de Saint-Venant. Le lien entre les deux solveurs est naturel dans la mesure où le système de Saint-Venant–Exner peut être vu comme un cas particulier du modèle de Saint-Venant à fond mobile. La différence réside dans le fait que dans le cas Saint-Venant, la cote du fond topographique est une donnée du problème alors qu’elle est une inconnue dans le cas Saint-Venant–Exner d’où la nécessité d’une relation de consistance associée à l’équation d’Exner et de l’introduction d’un problème de mini-misation pour assurer la fermeture du système (deux relations qui ne sont pas présentes dans le cas Saint-Venant).
Compte tenu des liens mis en lumière, on applique,
22 Introduction générale
• avant de l’étendre directement au cas de Saint-Venant–Exner dans le chapitre