Pour introduire la méthode des volumes finis, on se basera sur l’application au cas du système de Saint-Venant pour simplifier la description. Bien que la méthode est pré-sentée en une dimension d’espace, les méthodes proposées dans ce manuscrit s’étendent aisément en deux dimensions d’espace puisque la méthode des volumes finis permet de raisonner localement en 1Ddans la direction perpendiculaire aux interfaces. Les équations de Saint-Venant sont fondamentalement liées aux équations de Navier-Stokes ; le modèle de Saint-Venant dérive du système de Navier-Stokes et partage des similitudes quant au domaine d’application. Cette relation pourrait légitimement justifier l’utilisation de la mé-thode des éléments finis couramment utilisée pour la résolution du système de Navier-Stokes cependant elle s’avère mal adaptée au caractère hyperbolique et conservatif propre au système de Saint-Venant ainsi qu’à l’apparition de discontinuités et la préservation de la positivité de la hauteur d’eau.
Compte tenu des propriétés à satisfaire, la méthode des volumes finis semble plus adaptée. On peut remarquer que le système de Saint-Venant partage des propriétés ana-logues au système d’Euler pour lequel la méthode des volumes finis est communément utilisée. L’idée de la méthode repose sur l’intégration du système (1.8) sur un volume de contrôle obtenu à partir d’une discrétisation de l’espace et du temps ; le système est alors intégré sur une cellule du domaine spatial discret et un pas de temps. A la différence de la méthode des différences finies, la solution n’est pas approchée en un point d’espace mais
16 Introduction générale
à partir d’une valeur moyenne sur chaque cellule ; cette approche introduit une solution constante par morceaux et donc discontinue. De fait, il s’agit d’une méthode dite conser-vative à savoir que les flux pour les bilans de masse et de quantité de mouvement sont correctement décrits. En effet, on introduit également des termes de bords décrivant les flux moyens échangés à l’interface entre deux cellules ; le flux sortant d’une cellule équi-vaut au flux entrant dans la cellule voisine. Tout l’enjeu de la méthode des volumes finis se trouve dans l’approximation de ce flux moyen.
En une dimension d’espace et pour un maillage régulier (ce choix est dicté par souci de simplicité mais on pourra considérer un maillage irrégulier), l’espace est constitué de segment Ci := [xi−1/2, xi+1/2]centré autour du point xi := i∆xoù ∆x est le pas d’espace ou la taille de la cellule et l’indice en 1/2 correspond aux valeurs prises aux interfaces des cellules. De plus, la suite des instants (tn)n∈Nest définie par la relation tn+1= tn+ ∆tnoù ∆tndésigne le pas de temps entre les instants tnet tn+1avec t0donné. La solution W (tn, x) du système (1.9) est approchée par la solution moyenne discrète Wn
i , Win≈ 1 ∆x Z Ci W (tn, x)dx . (1.37)
De plus, le flux numérique défini aux interfaces entre deux cellules Ci et Ci+1 est donné par, ˆ Fi+1/2n ≈ 1 ∆tn Z tn+1 tn ˆ F (W (t, xi+1/2))dt . (1.38)
Avec cette notation, le schéma aux volumes finis s’écrit sous forme explicite,
Win+1− Win+∆t
n
∆x( ˆF
n
i+1/2− ˆFi−1/2n ) = ∆tnSˆin, (1.39) avec ˆSinla valeur moyenne du terme source sur la cellule Ciau temps tn. La formulation explicite constitue une limitation de l’approche en ce qu’elle nécessite la définition d’une condition CFL assurant la stabilité du schéma.
Dans le cadre de cette thèse, on s’intéressera principalement aux schémas numériques à trois points. Dans cette optique, l’approximation du flux numérique ˆFi+1/2n est obtenue à partir de la donnée de Wn
i et Wn i+1,
ˆ
Fi+1/2n =F(Win, Wi+1n ) . (1.40) Le flux numérique ainsi défini doit nécessairement vérifier les propriétés de consistance et de stabilité. De plus, un critère essentiel pour les schémas numériques concerne la préser-vation des états d’équilibre ; dans ce cas, les schémas sont dits équilibrés—ou encore dits well-balanced. Dans le cas non homogène, la présence de termes sources rend difficile l’écri-ture de flux numérique pouvant satisfaire la propriété d’équilibre ; comme précédemment évoqué, ce dernier point a fait l’objet de nombreux travaux (voir Equilibre dans1.1.3). On s’intéresse par la suite aux propriétés de consistance et de stabilité.
2. Simulation numérique du système de Saint-Venant–Exner. 17
Consistance.
On dit que le schéma (1.39)–(1.40) est consistant avec le système continu (1.9) si le flux numérique (1.40) vérifie la relation de consistance,
F(W, W ) = ˆF (W ), ∀W ∈ R2. (1.41)
Stabilité.
Il est important que le flux numérique puisse préserver les propriétés de stabilité du sys-tème continu. Comme évoqué lors de l’introduction des équations de Saint-Venant, la pro-priété d’entropie permet d’établir un critère de stabilité. On définira une version discrète en se référant au système de Saint-Venant pour lequel on avait introduit l’inégalité d’en-tropie (1.16).
Définition 1.2. (Bouchut, 2004 [20]) On dit que le schéma (1.39)–(1.40) satisfait une inégalité d’entropie discrète associée à l’entropie convexe ˜Epour (1.9), s’il existe une fonction de flux d’entro-pie G( ˜Wi, ˜Wi+1, bi, bi+1)consistante avec le flux d’entropie exact G (dans le sens où ˜G(W, W, b, b) =
˜
G(W, b)), telle que sous une certaine condition CFL, les valeurs discrètes obtenues par (1.39)–(1.40) satisfont,
˜
E(Win+1, bi)− ˜E(Win, bi) + ∆t
n
∆x( ˜Gi+1/2− ˜Gi−1/2) 6 0 , (1.42) avec ˜Gi+1/2 = ˜G(Wi, Wi+1, bi, bi+1).
Entre autres, un critère important basée sur l’existence d’un domaine invariant consiste à assurer la positivité de la hauteur d’eau,
∀i ∈ Z, hni >0 =⇒ hn+1i >0 . (1.43) La stabilité du schéma de type volumes finis explicite en temps nécessite l’introduction d’une condition CFL —Courant-Friedrichs-Lewy [42]. Celle-ci permet d’évaluer à chaque instant tnun pas de temps ∆tnvérifiant,
∆tn6 ∆x
max
i∈Z|λi+1/2|, (1.44) où λi+1/2 est une approximation des vitesses d’onde du système continu. Il apparaît que cette condition peut être contraignante ; le pas de temps est variable et dans le cas où sa valeur devient petite, le temps calcul peut devenir important.
De nombreux schémas numériques ont été proposés et on pourra consulter les ou-vrages [80,174,117,20] pour plus de détails.
2 SIMULATION NUMÉRIQUE DU SYSTÈME DESAINT-VENANT–EXNER.
A la section 1.3.2, on a souligné l’importance d’un traitement du couplage pour les équations de Saint-Venant–Exner adapté au type d’écoulement, en particulier en raison des échelles de temps qui peuvent différer entre l’écoulement et l’évolution du fond. Dans
18 Introduction générale
le cadre de la thèse, on s’intéresse de prime abord à l’écriture d’une méthode numérique pour la résolution du système de Saint-Venant–Exner qui satisfait les propriétés d’équi-libre et de positivité, tout en étant adaptée à tout régime d’écoulement (la question de l’existence d’une inégalité d’entropie discrète se pose alors, ce qui n’est pas le cas pour le système de Saint-Venant–Exner qui ne possède pas en général une énergie associée). De plus, on s’assurera que le schéma est capable de dégénérer vers un schéma pour Saint-Venant lorsque le flux de sédiments sera nul. D’un point de vue pratique, le schéma aura pour finalité d’être testé sur des cas d’intérêt. Ainsi, il est nécessaire qu’il s’exécute en un temps raisonnable et soit simple à implémenter.
Dans cette perspective, on présente les travaux que l’on a menés et qui ont abouti à un schéma répondant à ces contraintes et satisfaisant les propriétés précédentes. Ces travaux sont décrits dans les chapitres1et2.