4 Solution simpliée

3.3 Bilan

Le bilan de cette tentative de création d'overdrive par l'utilisation des deux modèles pré-sentés dans les chapitres 6 et7 est assez mitigé. En eet, pour chacune des équations étudiées, l'utilisation d'un logiciel de calcul numérique est nécessaire à sa résolution ; cette méthode de résolution ne peut être intégrée dans un circuit pour LCD. Cependant, cette étude n'est pas in-utile car elle permet en théorie un remplissage de la mémoire de correction de manière plus rapide. En eet, contrairement à la solution en boucle fermée présentée par la gure 8.3 page 120

qui tente d'arriver à la correction optimale en eectuant une estimation pas à pas, notre solution trouve une première valeur de correction, proche de la solution optimale et utilise ensuite la même boucle de régulation pour arriver au résultat souhaité. La gure9.2montre le schéma de notre solution.

Fig. 9.2  Méthode de remplissage de L.U.T. à l'aide des modèles

Dans le cas d'un algorithme de type overdrive, le temps de réponse de l'ensemble Tx est une fonction monotone (croissante ou décroissante) avec comme paramètre la valeur nale de la transition y (avec y < x pour dans le cas de ↓

Tx et y > x pour ↑

Tx). Ainsi, il n'existe qu'une seule et unique valeur optimale de correction (pas de solution optimale locale). De ce fait, avec notre méthode, la boucle de régulation est beaucoup moins utilisée du fait que le point de départ de la recherche de la valeur optimale est proche de cette valeur.

Cependant, cette solution ne nous convient que partiellement ; en eet, celle-ci contient tou-jours une L.U.T. ce qui l'empêche d'être exible par rapport au paramètre de l'écran. Dans l'objectif d'eectuer ces mêmes calculs "à la volée", c'est-à-dire directement au sein du circuit, nous proposons d'écarter cette solution et de nous focaliser uniquement sur les solutions sans L.U.T. Pour cela, nous allons eectuer dans la section suivante une approximation des équations mises en jeu an d'obtenir une écriture simpliée des solutions.

4 Solution simpliée

Nous avons vu que résoudre directement de manière formelle les précédentes équations pose certaines dicultés qu'il est possible de contourner en simpliant les diérentes équations mises en jeu. C'est ce que nous proposons de faire dans cette section an d'obtenir des valeurs de correction pouvant être facilement calculées.

130 Chapitre 9. Réduction du temps de réponse basée sur les modélisations 4.1 Pour les transitions à valeur initiale nulle

Le principale problème de l'équation 9.5 provient de l'absence de véritable point de départ de la tangente hyperbolique et par conséquent, la présence du retard tε est problématique. Ainsi, il est dicile de quantier précisément sur ce modèle l'instant ¹

f. Une solution que nous préco-nisons est l'approximation du premier ordre du modèle en tangente hyperbolique, consistant à une linéarisation de la fonction.

On se retrouve ainsi dans la conguration du modèle linéaire présenté dans la section 2.2

du chapitre 5 page84. Cependant, nous supposons que nous conservons toutes les relations qui ont été préalablement établies comme par exemple la connaissance de l'évolution des temps de réponse de T0.

Soit Ty

0 la transition estimée et Cy(t)la fonction représentant cette transition. Pour rappel, C_y(t)est déni comme suit :

• Pour t < 0, Cy(t) = 0 • Pour 0 6 t 6 τ (0,y) 0.8 , Cy(t) = ^{0.8 · y · t} τ (0, y) • Pour t > τ (0,y) 0.8 , Cy(t) = y

Nous désirons toujours que, pour les transitions avec τ(0, y) > ¹

f, on obtienne Cy(¹_f) = y; le moyen employé reste la modication de y en y0 (et donc de τ(0, y) en τ(0, y0)). On obtient ainsi l'équation 9.10.

C_y0(¹ f^{) =}

0.8 · y⁰·¹_f

τ (0, y0) ^{= y} (9.10)

Nous allons maintenant remplacer dans la précédente équation τ(0, y0) par sa représentation polynomiale en y0 de degré n (i.e. τ(0, y0) =

k=n

X

k=0

a_k· y^0k). L'équation (9.11) obtenue est aussi un polynôme de degré n qu'il faut maintenant résoudre.

0.8 · y⁰· ¹ f ^{= y ·} k=n X k=0 a_k· y^0k (9.11)

La résolution formelle de cette équation dépendant de n, nous obtenons au nal la solu-tion (9.12) pour n = 1 (i.e. τ(0, y0) = a₁ · y0 + a₀) et la solution (9.13) pour n = 2 (i.e. τ (0, y⁰) = a₂· y⁰²+ a₁· y⁰+ a₀). casn = 1 y⁰ = _0.8^{a0· y} f − a₁· y) (9.12) casn = 2 y⁰ = 0.8 f ·y − a₁+^q(a1− 0.8 f ·y)2− 4 · a₂· a₀ 2 · a₂ (9.13)

4. Solution simpliée 131 Au nal, les solutions proposées ici sont représentées de manière simple et ne nécessitent pas d'intervention de solveur numérique pour leur calcul. Nous allons maintenant continuer nos simplications avec les autres transitions.

4.2 Pour les autres transitions

En ce qui concerne les transitions de T∗, nous sommes parvenus dans la première section de ce chapitre à une impasse sur la résolution des équations. Contrairement à précédemment, nous ne sommes nullement confrontés à la présence d'un retard mais uniquement aux dicultés de ré-solution des équations. Pour ce faire, nous allons procéder de la même manière que la précédente sous-section en eectuant au modèle en tangente hyperbolique une approximation du premier ordre. Malgré cette simplication du modèle, nous considérons que les relations des précédentes modélisations (relation de superpsoition, relation entre les temps de réponse, ...) sont toujours valides.

Soit Ty

x la transition estimée et Cx,y(t)la fonction représentant cette transition. Pour rappel, C_x,y(t)est déni comme suit :

• Pour t < 0, Cx,y(t) = x • Pour 0 6 t 6 τ (x,y) 0.8 , Cx,y(t) = ^{0.8 · (y − x) · t} τ (x, y) ^{+ x} • Pour t > τ (x,y) 0.8 , Cx,y(t) = y

Notre objectif principal reste que, pour les transitions avec τ(x, y) > ¹

f, on obtienne la relation Cx,y(_f¹) = y comme le montre la gure9.3.

Fig. 9.3  Représentation de la transition utilisée pour le calcul de la correction de T56 32

132 Chapitre 9. Réduction du temps de réponse basée sur les modélisations Le moyen employé reste la modication de y en y0 (et donc de τ(x, y) en τ(x, y0)). On obtient ainsi l'équation 9.14.

C_x,y0(¹ f^{) =}

0.8 · (y⁰− x) · ¹_f

τ (x, y0) ^{+ x = y} (9.14)

Contrairement aux transitions de T0, le problème de cette équation provient de la représen-tation de τ(x, y0) par R(p0) · τ (0, y⁰) avec p0 = ^x

y⁰. En eet, pour obtenir la valeur de correction désirée, il faudrait extraire de R(p0) la valeur y0 ce qui n'est pas possible de manière simple. An de contourner cette diculté et obtenir ainsi une solution simple à représenter, nous allons remplacer dans R(p0)la valeur p0 par p = ^x

y et eectuer ensuite une boucle de correction comme le montre l'algorithme ci dessous.

τ (x, y⁰) ← ^{τ (0, y} 0) 4 · ln(3)^{· ln(1 +} 16 1.8 ·^x_y + 0.2⁾ y⁰ ← ^{f · (y − x)} 0.8 ^{· τ (x, y} 0) + x y⁰⁰ ← y⁰ Tant que (^{ky0− y00k} ky0k < ) faire τ (x, y⁰⁰) ← ^{τ (0, y} 00) 4 · ln(3)^{· ln(1 +} 16 1.8 · _y^x00 + 0.2⁾ y⁰⁰ ← ^{f · (y − x)} 0.8 ^{· τ (x, y} 00) + x Fin Tq Retourner y00

Alg. 1: Algorithme de correction pour Ty x

Au nal, comme pour les transitions issues de T0, les solutions proposées sont représentées de manière simple, malgré la présence d'une boucle de correction et cette approche ne nécessite pas de solveur numérique. Dans la prochaine section, nous allons nous pencher sur les résultats numériques et visuels de nos deux solutions.