5.7 L’op´erateur des ondes
5.7.5 Solution de Poisson
Consid´erons un probl`eme avec une condition de Dirichlet non homog`ene. Cherchons u∈ D0(R×Rn−1×]0,+∞[) qui v´erifie
( (−∆ +D2t)u= 0 dansR×Rn−1×]0,+∞[ u|xn=0 =δ, u|t<0 = 0
Siu est le prolongement deu par 0 dans xn<0 et v=Dxnu|xn=0, on a (−∆ +Dt2)u=−δ(t, x0)⊗δ0(xn)−v(t, x0)⊗δ(xn) donc
u =−DxnEn−En∗(v⊗δ).
En prenant la transform´ee de Fourier inverse partielle par rapport `a (t, x0), on obtient, si xn>0,
ˆ
u(τ, ξ0, xn) = 1
2 (e−xn√
|ξ0|2−(τ−i0)2 −ˆv(τ, ξ0)e−xn√
|ξ0|2−(τ−i0)2
p|ξ0|2−(τ−i0)2).
Vu la condition limite, on a ˆ
v(τ, ξ0) =−q|ξ0|2−(τ −i0)2 et
ˆ
u(τ, ξ0, xn) =e−xn√
|ξ0|2−(τ−i0)2. Ainsi
u=−2DxnEn.
Appendix A
Le th´ eor` eme des traces
La trace d’une distribution sur une hypersurface n’est en g´en´eral pas d´efinie. L’objet de cet appendice est de montrer que des traces peuvent ˆetre d´efinies pour les solutions d’´equations aux d´eriv´ees partielles non caract´eristiques par rapport `a l’hypersurface. Ce r´esultat permet de poser des probl`emes aux limites avec des donn´ees fronti`ere dans le cadre des distributions.
D´efinition A.0.3 SoitU un ouvert deRn−1 etT >0. Une distributionu∈D0(U×]0, T[) est dite `a trace dansU×[0, T[ s’il existe une fonction [0, T[→D0(U) :xn7→uxn telle que xn7→uxn(ϕ0) soit de classe C∞ dans [0, T[ pour tout ϕ0∈D(U) et
u(ϕ) = Z T
0 uxn(ϕ(., xn))dxn
pour tout ϕ∈D(U×]0, T[).
Etablissons quelques r´esultats auxiliaires li´es `a cette d´efinition.
a) Une fonction [0, T[→ D0(U) :xn7→ uxn est dite de classe Cp si xn 7→uxn(ϕ0) est de classe Cp dans [0, T[ pour tout ϕ0 ∈D(U). Pour toutj≤p, les formes lin´eaires
D(U)3ϕ0 7→(Djxnuxn)(ϕ0) =Dxjn[uxn(ϕ0)]
sont alors des distributions en vertu du th´eor`eme 1.21.
Si xn 7→ uxn est de classe Cp dans [0, T[ alors xn 7→ uxn(ϕ(., xn)) est de classe Cp dans [0, T[ pour tout ϕ∈D(U×]−T, T[). On a
Dxn[uxn(ϕ(., xn))] = (Dxnuxn)(ϕ(., xn)) +uxn(Dxnϕ(., xn)) et
u:ϕ7→
Z T
0
uxn(ϕ(., xn))dxn est une distribution dans U×]−T, T[.
89
Par le th´eor`eme de Banach-Steinhaus, pour tout compactK de U et tout S ∈[0, T[, il existe C >0 et m∈IN tels que
|uxn(ϕ0)| ≤C sup
|α0|≤m
sup
K |Dα0ϕ0| si ϕ0 ∈D(K),xn∈[0, S].
Montrons que la fonction F : (xn, yn) 7→ uxn(ϕ(., yn)) est de classe Cp dans [0, T[2. Soit (s, t)∈[0, T[2. Ecrivons
uxn(ϕ(., yn)−us(ϕ(., t)) =uxn(ϕ(., yn)−ϕ(., t)) +uxn(ϕ(., t))−us(ϕ(., t)).
Il existe un compact K de U et S > 0 tels que [ϕ] ⊂ K ×[−S, S]. Ainsi, vu l’in´egalit´e pr´ec´edente,
|uxn(ϕ(., yn)−us(ϕ(., t))|
≤C sup
|α0|≤m
sup
x0∈K|Dxα00(ϕ0(x0, yn)−ϕ(x0, t))|+|uxn(ϕ(., t))−us(ϕ(., t))|
tend vers 0 si (xn, yn) converge vers (s, t). Sip >0, la fonctionF est d´erivable dans ]0, T[2 en vertu du th´eor`eme 1.16. Ses d´eriv´ees sont continues vu ce qui pr´ec`ede. En it´erant ce raisonnement, on voit que F est de classe Cp. La r`egle de d´erivation annonc´ee r´esulte du th´eor`eme de d´erivation des fonctions compos´ees.
Montrons que u est une distribution. Soit K un compact de U et S ∈ [0, T[. Si ϕ∈D(U×[−S, S]), on a, en utilisant l’in´egalit´e d´eduite du th´eor`eme de Banach-Steinhaus,
| Z T
0
uxn(ϕ(., xn))dxn| ≤CS sup
|α0|≤m
sup
K×[0,S]|Dαx00ϕ|. D’o`u la conclusion.
b)Si xn7→uxn est continu et Z T
0
uxn(ϕ(., xn))dxn= 0
pour tout ϕ∈D(U×]0, T[) alors uxn = 0pour tout xn. De fait, pour tout ϕ0 ∈D(U) et tout ψ∈D(]0, T[), on a
Z T
0 uxn(ϕ0)ψ(xn)dxn= 0.
Ainsiuxn(ϕ0) = 0 pour tout ϕ0 ∈D(U) et xn∈]0, T[.
c) Si u∈D0(U×]0, T[)v´erifie Dmxnu= 0 alors il existe u0, . . . um−1∈D0(U) tels que u(ϕ) =
Z T
0 (
mX−1
j=0
xjn
j!uj)(ϕ(., xn))dxn.
Proc´edons par r´ecurrence sur l’ordre de d´erivationm. Supposons tout d’abordm= 1.
Siϕ∈D(U×]0, T[) est tel que Z T
0 ϕ(x0, xn)dxn= 0
91 pour tout x0∈U alors u(ϕ) = 0. De fait,
u(ϕ) =−(Dxnu)(x)( Z xn
0 ϕ(x0, xn)dxn) = 0.
Soit ψ∈D(]0, T[) une fonction d’int´egrale ´egale `a 1. Pour toutϕ∈D(U×]0, T[), il vient 0 =u(x)(ϕ(x)−ψ(xn)
Z T
0 ϕ(x0, s)ds) donc
u(ϕ) = Z T
0 u(x)(ϕ(x0, s)ψ(xn))ds.
On peut prendreu0(ϕ0) =u(ϕ0⊗ψ). Supposons le r´esultat acquis pour une d´eriv´ee d’ordre m−1 etDmxnu= 0. On a DxnDxmn−1u= 0 donc il existeum−1∈D0(U) tel que
Dxmn−1u(ϕ) = Z T
0
um−1(ϕ(., xn)dxn. La distribution
v(ϕ) =u(ϕ)− Z T
0
xmn−1
(m−1)!um−1(ϕ(., xn))dxn est annul´ee parDxmn−1. On conclut en utilisant l’hypoth`ese de r´ecurrence.
d) Soit [0, T[→ D0(U) : xn 7→ uxn une fonction continue. D´efinissons Dkxnuxn pour tout entierk ≤0 par la formule de r´ecurrence
D0xnuxn =uxn , Dxk−n1uxn(ϕ0) = Z xn
0
Dksus(ϕ0)ds.
Avec cette notation,si uxn est de classeCp,k ∈ZZ et p−k ≥0alorsDkxnuxn est de classe Cp−k et Z
T 0
uxn(ϕ(., xn))dxn = (−1)j Z T
0
D−xnjuxn(Djxnϕ(., xn))dxn si ϕ∈D(U×]−T, T[)et j ≥0.
C’est imm´ediat en int´egrant par parties car
uxn(ϕ(., xn)) =Dxn[(Dx−n1u)(ϕ(., xn))]−(Dx−n1u)(Dxnϕ(., xn)).
e)Une distributionu est `a trace dansU×[0, T[ si et seulement si elle est `a trace dans V ×[0, S[ pour tout 0< S < T et tout ouvertV d’adh´erence compacte dans U.
Le th´eor`eme que nous avons en vue est le suivant.
Th´eor`eme A.0.4 Soit U un ouvert de Rn−1, T > 0, u ∈D0(U×]0, T[) une distribution prolongeable dans U×]−T, T[ et
L(x, D) =am(x)Dxmn+ X
k<m
Lk(x, D0)Dkxn
un op´erateur de d´erivation dont les coefficients sont de classe C∞ dans U×]−T, T[. Si am ne s’annule pas dans U ×[0, T[ et Lu est `a trace dans U ×[0, T[ alors u est `a trace dans U×[0, T[.
Preuve. Soit V un ouvert d’adh´erence compacte dans U et 0 < S < T. Par le th´eor`eme 1.18, il existe une fonctionf continue dansRn et α∈INn tels que
u(ϕ) =
Montrons que pour tout op´erateur de d´erivation P(x, D) `a coefficients de classe C∞ dans V ×[0, S[, il existe une fonction continue vxn telle que
P u(ϕ) = Z S
0 vxn(Dαxnn+m−1ϕ(., xn))dxn
pour tout ϕ∈D(V×]0, S[).
Proc´edons par r´ecurrence sur l’ordre maximal de d´erivation par rapport `axn. Si P(x, D) = X
k<m
Pk(x, D0)Dxkn est d’ordre strictement inf´erieur `am, on a
P u(ϕ) = Dans ce cas, on peut donc prendre
vxn = X
k<m+αn
Dkx−nm+1−αn(tQk(x, D0)Fxn).
Supposons le r´esultat acquis lorsque le degr´e deP par rapport `aDxn est au plusd−1.
Si P est de degr´e d par rapport `a Dxn, il existe un op´erateur Q(x, D) et un op´erateur R(x, D) de degr´e au plus ´egal `a d−1 par rapport `a Dxn tels que P = QL+R. Vu l’hypoth`ese de r´ecurrence, on peut ´ecrire
(P u)(ϕ) = (QLu)(ϕ) + (Ru)(ϕ)
93
si t
Q(x, D) =X
(k)
(−Dxn)kQk(x, D0).
Cela ´etant, pour tout j≥αn+m−1, il existe une fonction continueu(j)xn telle que (Dxjnu)(ϕ) =
Z S
0 u(j)xn(Dxαnn+m−1ϕ(., xn))dxn
= (−1)j−αn−m+1 Z
(Dαxnn+m−1−ju(j)xn)(Djxnϕ(., xn))dxn. En utilisant le point c) ci-dessus, on obtient des distributions uj,k telles que
u(ϕ) = Z S
0 ((−1)αn+m−1Dxαnn+m−1−ju(j)xn +X
k<j
xkn
k!uj,k)(ϕ(., xn))dxn. Par construction, la fonction
xn7→(−1)αn+m−1Dxαnn+m−1−ju(j)xn +X
k<j
xkn k!uj,k
est de classe Cj−αn−m+1 dans [0, S[. Par le point b) elle est ind´ependante de j donc de classe C∞. Ceci ach`eve la d´emonstration. 2
Table des mati` eres
1 Introduction 3
1.1 D´efinitions et exemples . . . 3
1.2 Probl`eme bien pos´e . . . 6
1.3 Distributions . . . 7
1.4 En guise de conclusion et d’introduction `a la suite. . . 11
2 El´ements de la th´eorie des distributions 13 2.1 Fonctions test . . . 13
2.1.1 Supports . . . 13
2.1.2 Convergence . . . 14
2.2 Distributions . . . 16
2.3 D´erivation des distributions . . . 18
2.3.1 D´efinition . . . 18
2.3.2 Quelques propri´et´es . . . 18
2.3.3 Exemples . . . 19
2.3.4 Propri´et´es-suite . . . 21
2.4 Support d’une distribution . . . 22
2.4.1 D´efinition . . . 22
2.4.2 Extension par supports . . . 24
2.4.3 Th´eor`eme d’annulation . . . 25
2.4.4 Distributions `a support ponctuel . . . 27
2.5 Distributions de fonctions param´etriques . . . 29
2.5.1 D´erivation . . . 29
2.5.2 Int´egration . . . 31
2.6 Limites de distributions . . . 34
2.6.1 Rappels sur les espaces de Fr´echet . . . 34
2.6.2 Convergence des distributions . . . 39
3 Produit de composition 43 3.1 Ferm´es composables . . . 43
3.2 Composition d’une distribution et d’une fonction . . . 44
3.3 Composition de distributions . . . 46
3.4 Support singulier d’une distribution . . . 49 95
4 Distributions temp´er´ees 53
4.1 Fonctions `a d´ecroissance rapide . . . 53
4.2 Distributions temp´er´ees et transformation de Fourier . . . 55
4.3 Distributions p´eriodiques . . . 58
4.4 Le th´eor`eme de Paley-Wiener (cas n= 1) . . . 61
5 Equations aux d´eriv´ees partielles 65 5.1 Solution ´el´ementaire . . . 65
5.2 Premi`eres cons´equences . . . 69
5.3 Une introduction aux espaces de Sobolev . . . 70
5.3.1 Une premi`ere approche . . . 70
5.3.2 Espaces de Sobolev, une suite . . . 70
5.4 Le principe du maximum pour les fonctions harmoniques . . . 74
5.5 Le probl`eme de Dirichlet . . . 75
5.5.1 Existence et unicit´e de la solution . . . 75
5.5.2 Le probl`eme de Dirichlet dans une boule . . . 76
5.6 Le probl`eme de Cauchy pour l’op´erateur de la chaleur . . . 80
5.7 L’op´erateur des ondes . . . 81
5.7.1 Solution classique en dimension un . . . 82
5.7.2 Solution ´el´ementaire . . . 83
5.7.3 Le probl`eme de Cauchy . . . 85
5.7.4 Solution de Green . . . 87
5.7.5 Solution de Poisson . . . 88
A Le th´eor`eme des traces 89
R´ ef´ erences
[1] Adams,Sobolev spaces, Academic Press 1975.
[2] Bastin F., Schneiders J.-P.,Cahier d’exercices d’analyse, 2CM, 1993.
[3] Dautray R. et Lions J.L.,Analyse math´ematique et calcul num´erique 1,2,3, Masson, 1987.
[4] Egorov Yu. V. et Shubin M.A., Partial Differential Equations I, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 30, Springer, 1992.
[5] H¨ormander L., The analysis of linear partial differential equations, Springer, 1983-1984.
[6] Schwartz L.,Th´eorie des distributions, Hermann, 1950.
[7] Taylor M. E. Partial Differential equations, Applied Mathematical Sciences 115, 116,117, Springer, 1997.
EDP 2006-2007
Exercices
5 F´evrier 2007
Nous reprenons les d´efinitions et notations du cours.
1 Chapitres 1 et 2
Exercice 1 a) Dans D(Ω), le produit de deux suites convergentes converge vers le produit des limites.
b) Tout ´el´ement deD(Ω) se prolonge en une fonction deD(Rn). Tout ´el´ement de D(Rn) est uniform´ement continu surRn.
c) Sif est localement int´egrable sur Ω et si R
f(x)ϕ(x)dx = 0 pour toutϕ∈D(Ω), alorsf est nul pp dans Ω.
Exercice 2 Siu, v sont deux distributions dans Ω telles queu(ϕ) =v(ϕ) pour toutI=Qn
j=1]aj, bj[ tel que Qn
j=1[aj, bj]⊂Ω et toutϕ∈D(I), alorsu=v dansD0(Ω).
Exercice 3 Sif est localement int´egrable dans ]a, b[ et s’il existe une fonction localement int´egrable gdans ]a, b[ telle queDuf =ug(c’est-`a-direDf est localement int´egrable), alorsf est ´egal presque partout dans ]a, b[ `a une fonction continue.
De mˆeme, si f est localement int´egrable dans ]a, b[ et s’il existe des fonctions localement int´egrables g, h dans ]a, b[ telles que Duf = ug et D2uf = uh alors f est ´egal presque partout dans ]a, b[ `a une fonction de classeC1 dans ]a, b[.
Exercice 4 Montrer que l’application
u: D(R2)→C ϕ7→u(ϕ) = Z
R
ϕ(x, x)dx
est une distribution dansR2 qui v´erifie (Dx+Dy)u= 0.
Exercice 5 Soit I = Qn
j=1]aj, bj[ ⊂ Rn. Si ϕ ∈ D(I) est tel que R
ϕ(x)dx = 0, alors il existe ϕ1, . . . , ϕn∈D(I) tels que
ϕ= Xn j=1
Dxjϕj.
Exercice 6 Si u∈D0(]a, b[) et si f localement int´egrable dans ]a, b[ sont tels que u(ϕ) = 0 pour tout ϕ∈D(]a, b[) tel que Rb
af(x)ϕ(x)dx= 0 alors il existe une constantectelle queu=ucf. Exercice 7 Soitm∈N0. Il existe une distribution qui co¨ıncide avec la distribution associ´ee `a 1/xm dans ]0,+∞[.
1
dans ]0,+∞[.
Exercice 9 Il existe une distributionudansRet une fonctionf ∈C∞(]0,+∞[) telles que|f(x)|= e1/x et telles queuco¨ıncide avec la distribution associ´ee `af dans ]0,+∞[.
Exercice 10 Siu∈D0(Ω) etf ∈C∞(Ω), alors [f u]⊂[u]∩[f].
Exercice 11 Soituune distribution dans Ω etf ∈C∞(Ω) tel que [u]∩[f] soit compact. Alors (Dαu)(f) = (−1)αu(Dαf).
Si en outreg∈C∞(Ω) est tel que [u]∩[f] etf =g dans un voisinage du support de u, alors u(f) =u(g).
Exercice 12 Calculer la d´eriv´ee de la distribution associ´ee `a la fonctionf(x) =|x|, x∈R. Exercice 13 Soientλ∈R, m∈N0, ω∈R0. Soient aussi les fonctionsf, g, hdonn´ees par
f(x) =Y(x)eλx, g(x) =Y(x) xm−1
(m−1)!, h(x) =Y(x)sin(ωx) ω . Calculer
(D−λ)uf, Dmug, (D2+ω2)uh.
Exercice 14 D´eterminer la structure g´en´erale des distributions dans Rdont le support est form´e de deux points distincts.
Exercice 15 R´esoudre dansD0(R) (v∈D0(R) est donn´e etuest l’inconnue).
1)xu= 0 2)xu= 1 3)xu=δ0
4)xu=u 5)xu=v 6)x2u+u= 0
7)x2u= 0 8)x2u= 1 9)x2u=δ0
10)x2u=vp(1/x) 11)xDu=δ0 12)xDu+u= 0 13)x2Du+u= 0
Exercice 16 Montrer que sif est une fonction localement int´egrable dansRn0 pour laquelle il existe C >0 tel que|f(x)| ≤C/|x|msi|x| ≥1, alors il existe une distributionudansRn telle que
u(ϕ) =uf(ϕ), ∀ϕ∈D(Rn
0).
Exercice 17 Soientuune distribution dansRn et soitϕ∈D(Rn). Montrer que l’on a ϕu= 0 ⇒u(ϕ) = 0
mais que la r´eciproque est fausse.
Exercice 18 Soitf une fonction localement int´egrable dansR.
2
a) Montrer que siDuf est une distribution associ´ee `a une fonction localement int´egrable alors
h→0lim
f(.+h)−f(x)
h =Df
dansD0(R).
b) R´eciproquement, montrer que s’il existe une fonction localement int´egrablegtelle que lim
h→0
f(.+h)−f(x)
h =g
dansD0(R), alorsDuf est associ´ee `a une fonction localement int´egrable.
Exercice 19 Montrer qu’au sens distribution on a1 f(.+h)−f(.) =
Z 1 0
(Df)(t+.)dt
pourf localement int´egrable tel queDuf soit associ´ee `a une fonction localement int´egrable (not´ee Df).
Exercice 20 Soient les suitesfm, gm(m∈N0) d´efinies par fm(x) =
0 si|x| ≥1/m
m2 si|x|<1/m gm(x) =
0 si|x| ≥1/m m si|x|<1/m
Montrer que ces suites convergent vers 0 pp dansR, que la suiteufm ne converge pas dansD0(R) et que la suiteugm converge dansD0(R) (vers 2δ0).
Exercice 21 Soitψ ∈D(Rn). Pour tout ε >0, on poseψε(x) =ε−nψ(x/ε). Montrer qu’il existe une distributionudansRn telle queuψε →udansD0(Rn) et calculer cette distribution.
Exercice 22 Soitψ∈D(Rn) tel queR
xαψ(x)dx= 0 si|α|< k. Pour tout ε >0, on pose uε(ϕ) =ε−n−k
Z
ψ(x/ε)ϕ(x)dx, ϕ∈D(Rn).
Montrer qu’il existe une distribution udans Rn telle que uε → u dans D0(Rn) et calculer cette distribution.
Exercice 23 Soit k ∈ N0. Pour tout naturel strictement positif m, soit la fonction fm(x) = mkeimx, x ∈ R. Montrer que la suite de distributions associ´ee `a ces fonctions converge dans D0(R) vers une distributionu; d´etermineru.
Exercice 24 Pour tout naturel strictement positif m, soit la fonctionfm(x) = meimxY(x), x∈R. Montrer que la suite de distributions associ´ee `a ces fonctions converge vers une distribution et d´eterminer cette distribution.
Exercice 25 Pour toutε >0, soient
fε±(x) = ln(x±iε) = ln|x±iε|+iarg(x±iε), x∈R;
1et comparer avec une exemple de l’introduction
3
x±iε π(x +ε ) x +ε a) Montrer que si
f±(x) =
lnx six >0 ln|x| ±iπ six <0 alors
lim
ε→0+ufε± =uf±
dansD0(R).
b) Calculer la d´eriv´ee deuf±. c) Montrer que
lim
ε→0+ug±
ε =∓iπδ0+pf(1 x).
En d´eduire que limε→0+uhε =δ0 et limε→0+ulε=pf(x1).
Exercice 26 Pour toutε >0, on consid`ere la fonctionfε(x) =ε2|x|ε−1,x∈R0. Montrer qu’au sens distribution, on a limε→0+ufε =δ0.
Exercice 27 Pour toust >0 etx∈R2, on pose ft(x) =tsin
t
|x|2−1
. Examiner la limite suivante dansD0(R2
0) et dansD0(R2): limt→+∞uft.
2 Chapitres 3 et 4
Exercice 1 Soit u une distribution dansRn et soient f, g deux fonctions deC∞(Rn). D´emontrer que si [u],[g] sont composables, alors [f u] et [g] sont composables.
Exercice 2 Soitρ∈D(Rn) une fonction positive d’int´egrale ´egale `a 1. Pour tout ε >0, on pose ρε(x) =ε−nρ(x/ε), x∈Rn.
D´emontrer que
a) limε→0+uρε(f) =f(0) pour toutf ∈C∞(Rn),
b) pour toute distributionudansRn, on a limε→0+uu∗ρε =uau sens distribution.
Exercice 3 CalculerD2δ0 ∗ u|x|.
Exercice 4 Soit f(x) = sin(ex), x ∈ R. Montrer que la d´eriv´ee de f d´efinit une distribution temp´er´ee mais que l’on n’a pas d’estimation du type|Df(x)| ≤C(1 +|x|)N.
Exercice 5 Soituune distribution temp´er´ee.
a) Montrer que, pour toutα∈Nn, la distributionDαuest aussi temp´er´ee.
b) Montrer que, pour toutα∈Nn, on a
F±(Dαu) = (∓iξ)αF±u, Dα(F±u) = (±i)αF±(xαu).
4
c) Montrer que siuest associ´ee `af ∈L2(Rn), alors la transform´ee de Fourier deuest associ´ee
`
a la transform´ee de Fourier de f.
d) Siuv´erifie2u(ϕ) =u(ϕ) (resp.e u(ϕ) =−u(ϕ)) pour toute ϕ∈D(Rn) alors la tranform´ee de Fourier deua la mˆeme propri´et´e.
Exercice 6 Apr`es avoir constat´e que tout polynˆome d´efinit une distribution temp´er´ee, calculer la transform´ee de Fourier d’un polynˆome.
Exercice 7 Calculer la transform´ee de Fourier de la distribution associ´ee `a la fonction f(x) =
|x|, x∈R, apr`es avoir montr´e que celle-ci d´efinit bien une distribution temp´er´ee.
Exercice 8 Calculer la transform´ee de Fourier de la distributionpf(1/x), apr`es avoir montr´e que celle-ci d´efinit bien une distribution temp´er´ee.
Exercice 9 Soituune distribution `a support compact. Montrer que la fonction f(ξ) =u(x) ei<x,ξ>
, ξ∈Rn est un ´el´ement deC∞(Rn).
Montrer ensuite que siu, v sont deux distributions `a support compact alors elles sont compos-ables et leur produit de composition est une distribution temp´er´ee v´erifiant
F±(u∗v) =uf g o`u
f(ξ) =u(x) ei<x,ξ>
, ξ∈Rn, g(ξ) =v(x) ei<x,ξ>
, ξ∈Rn.
Exercice 10 Si g∈ S(R) etv est une distribution temp´er´ee, alorsv∗g existe. Si en outrev est `a support compact, alorsv∗g∈ S(R) et on auF±(v∗g)=F±g F±v.
Exercice 11 Montrer que la transform´ee de Fourier d’une distribution `a support compact dans R existe toujours et que c’est mˆeme la distribution associ´ee `a une fonction deC∞(R) qui se prolonge en une fonction holomorphe dansC.
3 Chapitre 5
Exercice 1 Pour tout naturel strictement positifm, on d´efinitNmcomme le produit de composition demfois la fonction caract´eristique de [0,1].
a) Montrer que [Nm]⊂[0, m], que la restriction deNm`a tout intervalle de type [k, k+ 1] (avec k entier) est un polynˆome de degr´em−1 et que, sim≥2, alorsNm∈Cm−2(R).
b) Pour quelles valeurs des∈Ra-t-onNm∈Hs(R)?
c) CalculerDm−1uNm et DmuNm.
Exercice 2 Si s > n/2 et si u ∈ Hs(Rn), alors u est la distribution associ´ee `a une fonction uniform´emment continue surRn qui tend vers 0 `a l’infini (donc est born´ee).
2on dit respectivement queuest pair, impair
5
f(ξ) = 1 (1 +ξ2)1/2
1 + ln(p
1 +ξ2), ξ∈R.
Montrer que la transform´ee de Fourier de la distribution associ´ee `af est dansH1/2(R) mais n’est pas int´egrable.
Exercice 4 Soitα∈]0,1[. Pour quelles valeurs des∈Rla distribution associ´ee `a 1/|x|αest-elle dansHs(R)?
Exercice 5 Soients un r´eel et k un r´eel non nul. Montrer que pour tout f ∈Hs(Rn il existe une unique distributionu∈Hs+2(Rn) telle que (−∆ +k2)u=f.
Exercice 6 Montrer que la loi
u: ϕ∈D(R2) 7→ 1 2 Z
t≥|x|
ϕ(t, x)dtdx d´efinit une distribution dansR2 qui v´erifie (D2t −D2x)u=δ0.
6
EXEMPLES DE QUESTIONS d’EXAMENS (exercices) 2003-2004
1. Calculer (si elle existe) la limite dans D0(R) de la suite de distributions um (m ∈ N0), associ´ees aux fonctions
fm(x) = rm
πe−mx2, x∈R.
2. Montrer que la distributionuassoci´ee `a la fonctionf(x) = sinx χ[0,+∞[(x), x∈R, v´erifie D2u+u=δ0 dans D0(R).
3. Montrer que la fonction
f(x) =
lnx six >0 ln(|x|) +iπ six <0.
d´efinit bien une distributionuf surR. D´eterminer ensuite la distributionDuf. 4. Montrer directement que la loi
u: ϕ∈D(R)7→
+∞X
m=−∞
ϕ(m)
est une distribution temp´er´ee.
5. Pour toutε >0, on poseuε=δε−εδ−ε. Montrer que ces distributions convergent dansD0(R) si ε→ 0+ vers une distribution u`a d´eterminer ´egalement. Cette distribution uest-elle la distribution associ´ee `a une fonction localement int´egrable? Pourquoi?
6. Soitaun r´eel fix´e et soitf(x) =eiax. Calculer les transform´ees de Fourier de la distribution associ´ee `a la fonctionf.
7. D´emontrer que
+∞X
m=−∞
ϕ(m) =
+∞X
m=−∞
F2+πmϕ, ϕ∈D(R).
2004-2005
1. On se place dansR. Si uest la distribution associ´ee `a la fonction constante 1 et siv =Dδ0
(d´eriv´ee de la distribution de Dirac), calculer (si possible) la compos´ee deuet v.
2. On consid`ere les lois
u : ϕ∈D(R)7→
X+∞
m=−∞
mϕ(m), v : ϕ∈D(R)7→
+∞X
m=−∞
ϕ(2πm).
- Montrer queuetv sont des distributions temp´er´ees.
- D´eterminer le support deu.
- Calculer la transform´ee de Fourierubdeuet montrer que l’on aiub= 2πDv.
7
f(x) = xex six >0.
Siud´esigne la distribution associ´ee `af et siP est l’op´erateur de d´erivationP(D) =D2− 2D+ 1, calculer la distribution
P(u∗δ1).
4. On se place dans R. Si uest la distribution associ´ee `a la fonction χ]0,+∞[ et si v = Dδ0
(d´eriv´ee de la distribution de Dirac), calculer (si possible) la compos´ee deuet v.
5. On consid`ere la loi
u : ϕ∈D(R)7→
X+∞
m=1
1 m2ϕ(m).
- Montrer queuest une distribution temp´er´ee.
- D´eterminer le support deu.
- Calculer la transform´ee de Fourierubdeuet montrer que cette transform´ee est associ´ee `a une fonction de classeC∞ dansRqui se prolonge en une fonction holomorphe dansC. 6. Pour tout naturel positif ou nulm, on d´efinit l’espace de Sobolev d’ordre m dans ]−1,1[
comme ´etant l’espace des fonctions deL2(]−1,1[) dont les d´eriv´ees jusqu’`a l’ordrem sont associ´ees `a des fonctions deL2(]−1,1[), c’est-`a-dire l’espace
Hm(]−1,1[) =
f ∈L2(]−1,1[) :Dkuf = distr. associ´ee `a une fonction deL2(]−1,1[),∀k= 0, . . . , m . Montrer que la fonctionf(x) = x+|x|, x ∈]−1,1[, appartient `aH1(]−1,1[) mais pas `a
H2(]−1,1[).
7. Calculer (si elle existe) la limite dans D0(R) de la suite de distributions um (m ∈ N0), associ´ees aux fonctions
fm(x) = rm
πe−mx2, x∈R.
8. Montrer que la distributionuassoci´ee `a la fonctionf(x) = sinx χ[0,+∞[(x), x∈R, v´erifie D2u+u=δ0 dans D0(R).
9. Montrer que la fonction
f(x) =
lnx six >0 ln(|x|) +iπ six <0.
d´efinit bien une distributionuf surR. D´eterminer ensuite la distributionDuf. 10. Montrer directement que la loi
u: ϕ∈D(R)7→
+∞X
m=−∞
ϕ(m) est une distribution temp´er´ee.
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2005-2006
1. Parmi les applicationsu, v, wsuivantes, lesquelles sont des distributions? Lesquelles sont des distributions temp´er´ees? Justifier vos r´eponses.
a)u(ϕ) =R
Rϕ2(x)dx, ϕ∈ D(R).
b)v(ϕ) =R
Rln(|x|)ϕ(x)dx, ϕ∈ D(R).
c)w(ϕ) =R
Rexϕ(x)dx, ϕ∈ D(R).
2. Calculer (si elle existe) la limite dans D0(R) de la suite de distributions um (m ∈ N0), associ´ees aux fonctions
fm(x) = m
√πe−m2x2, x∈R.
3. Montrer que les expressions suivantes ont un sens et les comparer (u1∗Dδ0)∗uY, u1∗(Dδ0∗uY)
(δ0 est la distribution de Dirac en 0;u1 est la distribution associ´ee `a la fonction constante 1 etuY est la distribution associ´ee `a la fonction caract´eristique de l’intervalle ]0,+∞[).
4. On d´efinit les loisuetv surD(R) par u(ϕ) = lim
ε→0+
Z
|x|≥ε
ϕ(x) x dx
!
, v(ϕ) = lim
ε→0+
Z
|x|≥ε
ϕ(x)
x2 dx − 2ϕ(0) ε
! . a) Montrer queuet v sont des distributions dansR.
b) Les comparer aux d´eriv´ees de la distribution dansRassoci´ee `a la fonctionx7→ln|x|. c) La distributionuest-elle associ´ee `a une fonction localement int´egrable? Pourquoi?
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