Le th´eor`eme de Paley-Wiener (cas n = 1)

4.4 Le th´ eor` eme de Paley-Wiener (cas n = 1 )

Notation: u_b pour la transform´ee de Fourier n´egative (d’une fonction, d’une distribution temp´er´ee).

Introduction

Propri´et´e 4.4.1 Sif est localement int´egrable et `a support compact alors sa transform´ee de Fourier s’´etend `a une fonction holomorphe dans Cet il existe C >0 tel que

|f^b(z)| ≤C e^A|=z|, ∀z∈C o`u A >0 est tel que [f]⊂[−A, A].

Cette propri´et´e s’´etend au cas des distributions `a support compact et la r´eciproque est vraie. Ce (double) r´esultat s’appelle le th´eor`eme de Paley-Wiener.

Pour rappel, siu est une distribution dansR`a support compact, c’est une distribution temp´er´ee dont la transform´ee de Fourieru<sub>b</sub>est la distribution temp´er´ee associ´ee `a la fonction y7→u_(x)(e^−ixy). Cette fonction se prolonge en une fonction holomorphe dansC. Par abus de langage et de notation, on dit et ´ecrit que le prolongement holomorphe de la transform´ee de Fourier deu est la fonction u(z) =_b u_(x)(e^−ixz).

Th´eor`eme 4.4.2 (Paley-Wiener I) Si u est une distribution dans R dont le support est inclus dans [−A, A] alors il existe C, N >0 tels que

|u(z)b | ≤C (1 +|z|)^N e^A|=z|, ∀z∈C.

Preuve. Soitχ∈ D(R) une fonction qui vaut 1 au voisinage de [−A, A] et dont le support est inclus dans [−A−δ, A+δ] (o`uδ >0). La majoration de continuit´e deu donne alors l’existence de C >0 et k ∈Ntels que

|u(f)|=|u(f ψ)| ≤C sup

|x|≤A+δ, α≤k|D_x^α(χf(x))| ≤C⁰ sup

|x|≤A+δ, α≤k|D_x^αf(x)|, ∀f ∈C_∞(R) o`u C⁰ est C multipli´e par une autre constante strictement positive qui ne d´epend que de k et de χ.

Soit alorsz∈C. Par l’in´egalit´e pr´ec´edente, on obtient

|u_(x)(e^−ixz)| ≤C⁰ sup

|x|≤A+δ, α≤k|D_x^αe^−ixz| ≤C⁰(1+|z|)^k sup

|x|≤A+δ|e^−ixz| ≤C⁰(1+|z|)^ke^(A+δ)|=z|. Pour z de partie imaginaire nulle, on a donc l’in´egalit´e annonc´ee:

|u(z)b |=|u_(x)(e^−ixz)| ≤C⁰(1 +|z|)^ke^(A+δ)|=z|=C⁰(1 +|z|)^ke^A|=z|.

Si la partie imaginaire de z n’est pas nulle, on proc`ede comme suit. On poseε= 1/|=z| et on prend une fonction ψε ∈ D(R), ´egale `a 1 au voisinage de [−A, A], dont le support est inclus dans [−A−ε, A+ε] et telle que

|D^αψ_ε| ≤C₀ε^−α, ∀α≤k.

On obtient

|u_(x)(e^−ixz)|=|u_(x)(ψ_ε(x)e^−ixz)| ≤ C⁰ sup

|x|≤A+ε, α≤k|D_x^αψ_ε(x)e^−ixz|

≤ C⁰C₀ sup

|x|≤A+ε, α≤k

Xα

j=0

C_α^jε^−j|z|^α−je^x=z

≤ C⁰C02^k (1 +|z|)^k e^(A+ε)|=z|

= C⁰C₀2^ke(1 +|z|)^k e^A|=z|. D’o`u la conclusion. 2

Lemme 4.4.3 Soit f une fonction holomorphe dans C. Supposons qu’il existe A >0 tel que, ∀N ∈N, ∃C_N >0 tel que

|f(z)| ≤CN (1 +|z|)^−N e^A|=z|, ∀z∈C. Alors il existe ϕ∈D([−A, A]) tel que

b

ϕ(ξ) =f(ξ), ∀ξ∈R (et mˆeme dans C).

Preuve. La restriction `a R de f est une fonction int´egrable. Pour conclure, il suffit d`es lors de montrer que F⁺f appartient `aD([−A, A]).

Comme on a

|f(x)| ≤ C_N

(1 +|x|)^N, x∈R

pour tout N ∈N, la transform´ee de Fourier de f est ind´efiniment continˆument d´erivable dans R.

Fixons y∈Ret δ >0. On a successivement Fy⁺f = lim

R→+∞

Z _R

−Re^ixyf(x) dx

= lim

R→+∞ − Z

V_R,δf(z)e^iyz dz + Z

V_R,δ⁰ f(z)e^iyz dz + Z

D_R,δf(z)e^iyz dz

!

= lim

R→+∞

Z

D_R,δf(z)e^iyz dz= Z

R

f(t+iδ)e^iy(t+iδ) dt

4.4. LE TH ´EOR `EME DE PALEY-WIENER (CAS N = 1) 63 o`u V_R,δ est le chemin t∈[0, δ] 7→R+it, o`uV<sub>R,δ</sub><sup>0</sup> est le chemin t∈[0, δ]7→ −R+it et o`u D_R,δ est le chemin t∈[−R, R]7→t+iδ. On obtient donc

Fy⁺f≤C_Ne^−yδ Z

R

1

(1 +|t|)^N e^Aδ dt≤C_N⁰ e^δ(A−y). D`es lors, si A−y <0, on obtient lim_δ→+∞e^δ(A−y)= 0 donc

Fy⁺f = 0, ∀y > A.

On proc`ede de mani`ere analogue pour obtenir

Fy⁺f = 0, ∀y <−A.

2

Th´eor`eme 4.4.4 (Paley-Wiener II) Soit f une fonction holomorphe dans C. Sup-posons qu’il existe A >0, C >0, N ∈N tels que

|f(z)| ≤C (1 +|z|)^N e^A|=z|, ∀z∈C.

Alors il existe une distribution u `a support compact inclus dans [−A, A] telle que f(z) =u(z),b z∈C.

Preuve. Vu les hypoth`eses sur f, cette fonction d´efinit une distribution temp´er´ee. Par abus de langage, notons f<sup>b</sup>la transform´ee de Fourier de cette distribution. Pour conclure, nous allons montrer que celle-ci est `a support compact inclus dans [−A, A].

Soit ψ ∈ D([−1,1]) d’int´egrale ´egale `a 1; posons ψm(x) = mψ(mx). On sait que ψ_m∗ϕ → ϕ dans D(R) pour tout ϕ ∈ D(R). Par un calcul direct, on montre que pour tout naturel M, il existe une constante C_M,m telle que

Fz⁺ψ_m≤ C_M,m

(1 +|z|)^Me^|=z|/m, ∀z∈C.

D`es lors, pour toutm et toutM ∈N, il existe des constantes C_M,m>0 telles que f(z)Fz⁺ψ_m≤ C_M,m

(1 +|z|)^Me^(A+m1)|=z|, ∀z∈C. Le lemme pr´ec´edent fournit alors

ϕ_m∈ D([−A− 1

m, A+ 1

m]) tel que F⁺ϕ_m=fF⁺ψ_m pour tout m.

La suite de fonctions 2πϕ_m =f^b∗ψ_m (m ∈N) converge au sens distributions vers la distribution f^b. Comme le support deϕ_m est inclus dans [−A− _m¹, A+ _m¹], on en d´eduit aussi directement que le suppport de f^best inclus dans [−A, A].2

Chapitre 5

Equations aux d´ eriv´ ees partielles

L’objet de ce chapitre est de mettre en oeuvre les outils des chapitres pr´ec´edents dans des probl`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles.

Nous construisons des solutions ´el´ementaires de l’op´erateur de Laplace, de l’op´erateur des ondes et de l’op´erateur de la chaleur. La transform´ee de Fourier des distributions temp´er´ees s’y av`ere un outil essentiel. Ces solutions ´el´ementaires sont utilis´ees pour r´esoudre quelques probl`emes aux limites typiques des op´erateurs consid´er´es.

5.1 Solution ´ el´ ementaire

Soit

P(D) = ^X

|α|≤m

a_αD^α

un op´erateur de d´erivation d’ordrem `a coefficients constants dans Rⁿ.

D´efinition 5.1.1 Une distribution E∈D⁰(Rⁿ) est une solution ´el´ementaire de P(D) si P(D)E =δ0.

L’importance d’une solution ´el´ementaire provient en bonne partie du fait qu’elle fournit un “inverse bilat`ere” de l’op´erateur dans l’espace des distributions `a support compact. Si E est une solution ´el´ementaire deP(D), on a

P(D)(E∗u) =u , E∗P(D)u=u pour toute distribution `a support compact u.

Donnons quelques exemples.

Exemple 5.1.2 Dans R, une solution ´el´ementaire de D_x est donn´ee par la distribution d’Heaviside

Y(ϕ) = Z _+∞

0

ϕ(x)dx.

65

C’est imm´ediat.

Exemple 5.1.3 Dans CI, une solution ´el´ementaire de l’op´erateur de Cauchy-Riemann D_z= ¹₂(D_x+iD_y) est d´efinie par la fonction localement int´egrable 1/πz.

Exemple 5.1.4 Dans Rⁿ, une solution ´el´ementaire de l’op´erateur −∆ est d´efinie par la fonction localement int´egrable

Pourn= 2, on utilise les coordonn´ees polaires comme dans l’exemple pr´ec´edent. Dans ces coordonn´ees, le laplacien s’´ecrit

∆ = 1

5.1. SOLUTION ´EL ´EMENTAIRE 67

Pourn≥3, on peut utiliser la distributionTα introduite au chapitre pr´ec´edent. On a Z

Exemple 5.1.5 DansR×Rⁿ, une solution ´el´ementaire de l’op´erateur de la chaleur −∆+

D_t est donn´ee par est localement int´egrable dansR×Rⁿ: de fait, elle est positive et

Z

Rⁿ

(4πt)^−n/2e^−|x|2/4tY(t)dx=Y(t)

est localement int´egrable dansR. Elle d´efinit une distribution temp´er´ee car (1+t)⁻²F(t, x) est int´egrable dans R×Rⁿ.

Calculons sa transform´ee de Fourier. On a (F⁺T)(ϕ) =

= lim est localement int´egrable dansR×Rⁿcar

Z ₁

Exemple 5.1.6 En ce qui concerne l’op´erateur des ondes, on a le r´esultat suivant, d´emontr´e plus loin.

Pour n = 1,2,3 des solutions ´el´ementaires E_n de l’op´erateur des ondes sont donn´ees par

Exemple 5.1.7 Les ´equations de Lam´e qui gouvernent les d´eformations d’un corps ´elastique s’´ecrivent P u=f avec

P(D) =µ∆ + (λ+µ) grad div

o`u λ, µ sont des constantes physiques du milieu qui v´erifientµ >0 et λ+µ >0.

Par d´efinition, une solution ´el´ementaire deP est une matrice E de distributions telle que P(D)E =δI.

Sin= 2, une solution ´el´ementaire E₂ est d´efinie par la fonction localement int´egrable E₂(x) = 1