Les concepts de smile de caplets et de surface de volatilit´e `a la monnaie (ATM) qui sont les informations principales de march´e disponibles. Nous analysons les smiles de caplets et les surfaces de volatilit´e de swaptions que le mod`ele peut g´en´erer. Ces instruments permettent de calibrer les mod`eles utilis´es dans la couverture de produits exotiques.
Volatilit´e implicite
Les prix des options sur le march´e d´ependent de certaines caract´eristiques comme le prix d’exercice (strike), la maturit´e et ´eventuellement le tenor sur le march´e des taux d’int´erˆet. La volatilit´e implicite lognormale (ou Black) correspond `a la volatilit´e du sous-jacent qu’il faut consid´erer pour retrouver le prix de l’option en supposant que ce dernier suit une dynamique lognormale. La volatilit´e implicite de normale (ou Bachelier) correspond `a la volatilit´e du sousjacent dans le cas d’une dynamique normale. Par cons´equent, dans le cas d’une swaption, la volatilit´e implicite Bachelier suppose une dynamique normale du taux de swap et la volatilit´e implicite Black suppose une dynamique lognormale du taux de swap. La volatilit´e implicite normale est assez standard dans le monde des taux d’int´erˆet dans la mesure o`u son ordre de grandeur est plus intuitif. En effet, il est plus ais´e d’interpr´eter la valeur de la volatilit´e d’un taux lorsque ce dernier est suit une dynamique normale. Pour plus de lisibilit´e, les volatilit´es implicites sont souvent exprim´ees et repr´esent´ees en points de base (1BP = 10−4 = 0.01%).
La volatilit´e ATM correspond au niveau de volatilit´e implicite lorsque le prix de l’option est ´egal au taux forward sous-jacent. Lorsque le prix d’exercice de l’option est diff´erent du taux forward sous-jacent, la volatilit´e de l’option est g´en´eralement diff´erente de celle constat´ee ATM. Ce constat est appel´e ”effet smile” dont l’´etude est un enjeu majeur de march´e. En
effet, les mod`eles cherchent `a capter au mieux ce ph´enom`ene afin de reproduire au mieux les prix d’options vanilles pour l’ensemble des dates et des prix d’exercice.
Smile de caplets
Les m´ethodes num´eriques permettent d’´evaluer les prix de caplets. Un caplet peut ˆetre vu comme un cas particulier d’une swaption et la m´ethode des moments permet de calculer les prix de caplets de maturit´e T et de prix d’exercice K associ´e au Libor L(T, T + δ) fix´e en T pour la maturit´e T + δ. On d´efinit un caplet T1∗ δ au prix d’exercice K comme l’option
d’achat de rentrer `a la maturit´e T1 sur un taux Libor L(T1, T1+ δ) au prix d’exercice K.
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A partir des prix de caplets, il est possible de consid´erer la volatilit´e implicite du sous-jacent qui permet de r´ecup´erer le prix obtenu. La structure de la volatilit´e implicite en maturit´e et en strike fournit les smiles de caplets. Pour l’ensemble de param`etre donn´e en 3.5, on repr´esente un exemple de smiles en fonction du prix d’exercice pour diff´erentes maturit´es.
Figure 3.3 – Smile de caplets sur le Libor 1 an pour diff´erentes maturit´es (en BP)
Le niveau du smile de caplets est g´en´eralement une fonction d´ecroissante de la maturit´e de l’option. Les formes de smiles sont assez restreintes en dimension 1 mais il est tout de mˆeme possible d’atteindre des configurations assez vari´ees.
Prix et volatilit´e implicite des swaptions
On pr´esente une ´etude rapide des prix de swaptions et de leur surface de volatilit´e implicite ATM. On analyse tout d’abord l’influence de la maturit´e T et du tenor TN− T sur les prix
par le ”level” de la swaption qui est donn´e par : Levelt(T, TN) = N X i=1 δBt(T, Ti).
En renormalisant le prix de swaption, il est plus commode d’interpr´eter l’impact des para- m`etres de l’option. En effet, en consid´erant Level0(T, TN) comme num´eraire ce qui revient
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a consid´erer le changement de probabilit´e suivant : dQLV L dQT |t= B(t, T ) Levelt(T, TN) N X i=1 e− RTi T rsds,
il est possible d’exprimer le prix renormalis´e de la swaption sous la forme : Sw(T, T0, TN, δ, K)
Level0(T, TN) = E
QLV L(S
T(T0, TN, δ) − K)+
Le prix renormalis´e est fonction du taux de swap forward qui est martingale sous la pro- babilit´e QLV L, et on pourra plus facilement interpr´eter les applications num´eriques. On
observe que le prix renormalis´e d’une swaption est une fonction croissante de la maturit´e quelque soit le tenor. On peut d’ailleurs repr´esenter l’´evolution du prix de swaptions en fonction de la maturit´e pour plusieurs tenors :
Figure 3.4 – Prix de swaptions en fonction de la maturit´e pour plusieurs tenor Ce r´esultat n’est pas forc´ement ´evident `a interpr´eter puisque le taux de swap augmente aussi avec la maturit´e. Cependant, on sait que le prix d’une option permettant de rentrer dans un swap fixe est une fonction croissante de la maturit´e ´etant donn´e le risque de volatilit´e
augmentant dans le temps. Le mod`ele fournit des prix de ces options qui v´erifient cette propri´et´e (voir Figure 3.5).
Figure 3.5 – Prix d’une option sur un swap fixe en fonction de la maturit´e
On regarde maintenant l’influence du tenor sur le prix des swaptions. Pour plusieurs ma- turit´es, on a calcul´e le prix de swaptions renormalis´e par le level en fonction du tenor pour plusieurs maturit´es. On constate le comportement classique d’un prix de swaption d´ecroissant du tenor.
Figure 3.6 – Prix de swaptions en fonction du tenor pour plusieurs maturit´es Enfin, on g´en`ere la surface de volatilit´e ATM associ´ee aux prix de swaptions pour diff´erentes maturit´es et diff´erents tenors. Cette configuration est assez standard sur les march´es avec
une forte d´ecroissance en tenor et une d´ecroissance moindre en maturit´e.
Figure 3.7 – Surface de volatilit´e implicite de swaption ATM en fonction de la maturit´e et le tenor (en BP)
On propose une ´etude tr`es qualitative des impacts des param`etres sur les surfaces de vo- latilit´e et les smiles de caplets. Cela sera assez utile pour un trader qui souhaite trouver un ensemble de param`etres permettant d’obtenir des prix de march´e vraisemblables. Cette analyse de l’impact des param`etres sur les surfaces de volatilit´e de swaptions et sur le smile de caplets est bien ´evidemment assez pauvre et il faudra effectuer des tests plus pouss´es avant d’utiliser le mod`ele.