Nous nous int´eressons aux effets d’un mouvement des param`etres sur les smiles de caplets et sur les surfaces de volatilit´e. Quelques ph´enom`enes sont int´eressants `a relever permettant de comprendre l’influence des param`etres. Pour cela, nous consid´erons une courbe initiale des taux croissante ainsi qu’un processus de variance peu explosif en supposant V∞ ∼ V0.
D’autres configurations pourraient ´evidemment ˆetre ´etudi´ees de mani`ere similaire.
En dehors de la corr´elation ρ qui contrˆole la pente du smile de caplets en fonction du prix d’exercice (skew), on teste l’influence d’un mouvement des param`etres sur la surface de volatilit´e des swaption `a la monnaie. On fixe une valeur initiale raisonnable des param`etres, on consid`ere un choc additif de 10% d’un des param`etres. On regarde l’´ecart qu’il existe entre la surface de volatilit´e d´eform´ee avec la surface de volatilit´e initiale. On parlera d’une influence positive si l’augmentation de la valeur du param`etre entraˆıne une mont´ee du niveau de volatilit´e implicite et d’une influence n´egative si elle engendre une baisse du niveau de volatilit´e implicite.
Influence du param`etre ρ
On peut par exemple regarder l’influence du param`etre ρ sur les prix de caplets afin de voir si le mod`ele a le comportement attendu. Le smile de caplets est fortement influenc´e par le param`etre de corr´elation ρ et en particulier que le signe de la pente est contrˆol´e par le signe de ρ.
Figure 3.8 – Influence de ρ sur le smile de caplets (T = 10Y, U = 11Y )
La corr´elation ρ influence aussi le niveau global de la surface de volatilit´e implicite ATM mais n’a pas d’impact localis´e en fonction de la maturit´e ou du tenor de la swaption comme les autres param`etres du mod`ele.
Figure 3.9 – Influence de ρ sur la surface de volatilit´e ATM (en BP)
Comme le pr´evoyait le mod`ele de Heston, le param`etre ρ pilote le signe du skew de smile de caplets et a une influence globale sur le niveau de la surface de volatilit´e des swaptions
ATM.
Remarque 3.1. La corr´elation ρ est souvent suppos´ee strictement n´egative puisqu’on ob- serve que lorsque les taux augmentent, leur volatilit´e diminue et inversement. Ainsi, on observe g´en´eralement un smile de caplets d´ecroissant en strike. Plus la corr´elation est pe- tite en valeur absolue, plus le smile de caplets est convexe.
Influence du param`etre λ
Le param`etre λ est le param`etre de vitesse de convergence de la moyenne du taux court vers sa valeur `a l’infini. Plus le param`etre λ est grand, plus l’effet de retour `a la moyenne est intense ce qui fait que la moyenne du taux court converge rapidement vers sa valeur `a l’infini l. On observe la d´eformation de la surface de volatilit´e r´esultant d’une augmentation du param`etre λ.
Figure 3.10 – Influence de λ sur la surface de volatilit´e ATM (en BP)
Ce param`etre a une ”influence n´egative” assez faible qui augmente `a mesure que les tenors augmentent. L’influence de ce param`etre d´epend tr`es peu de la maturit´e de la swaption. Influence du param`etre θ
Le param`etre θ correspond au niveau moyen de la volatilit´e `a l’infini. Plus le param`etre θ augmente, plus le niveau long terme de la volatilit´e va ˆetre important. Lorsque le param`etre θ est de l’ordre de V0, la volatilit´e est contrainte `a rester assez proche de son niveau initial.
Le param`etre θ a une ”influence positive” importante sur la surface de volatilit´e localis´ee sur les grandes maturit´es. Ce comportement est assez intuitif puisque ce param`etre joue sur le niveau long terme de la volatilit´e.
Figure 3.11 – Influence de θ sur la surface de volatilit´e ATM (en BP) Influence du param`etre κ
Le param`etre κ est le param`etre de vitesse de convergence de la moyenne de la volati- lit´e vers sa valeur `a l’infini. Plus le param`etre κ est grand, plus on se rapproche du cas o`u la moyenne de la volatilit´e converge rapidement vers θ. Les rˆoles de κ et de θ sont donc ´etroitement li´es. On observe la d´eformation de la surface de volatilit´e r´esultant d’une augmentation du param`etre κ.
Figure 3.12 – Influence de κ sur la surface de volatilit´e ATM (en BP)
Le param`etre κ a une ”influence n´egative”qui s’intensifie `a mesure que la maturit´e augmente. Alors que le param`etre λ de vitesse de retour `a la moyenne du taux a un impact important pour les grands tenors, le param`etre κ a lui un impact sur les options de grandes maturit´es. Ainsi, on observe des rˆoles assez dissym´etriques des param`etres pilotant la dynamique du taux par rapport `a ceux contrˆolant la dynamique de la volatilit´e.
Influence du param`etre
Le param`etre est le param`etre de volatilit´e de la volatilit´e du taux court. Un param`etre autorise cette volatilit´e `a varier plus ou moins brutalement autour de la valeur θ.
Figure 3.13 – Influence de sur la surface de volatilit´e ATM (en BP)
Le param`etre de volatilit´e de la volatilit´e a une ”influence positive”. On remarque que l’influence est importante pour les petites maturit´es et/ou les petits tenors. Cette influence est assez sp´eciale dans la mesure o`u c’est le seul param`etre qui joue `a la fois sur les petits tenors et les petites maturit´es. Ainsi, pour des temps petits, ce param`etre a une influence importante puisque les dynamiques des processus n’ont pas encore atteint leur r´egime long terme.
Bilan sur l’influence des param`etres
Cette ´etude r´ev`ele une influence vari´ee des param`etres sur la matrice de volatilit´e : l’aug- mentation de certains param`etres peut soit faire baisser le niveau de volatilit´e soit l’aug- menter. Nous remarquons que les param`etres de vitesse de retour `a la moyenne (λ et κ) ont un impact n´egatif sur le niveau de la surface de volatilit´e ATM alors que les autres ont un impact positif.
De plus, nous constatons que l’impact n’est pas uniforme et que chaque param`etre a une influence localis´ee sur la surface de volatilit´e. Les param`etres ont des influences vari´ees et nous pouvons essayer d’adapter les param`etres de mani`ere `a ajuster la surface de volatilit´e sur l’ensemble des maturit´es et tenors. D’ailleurs, nous observons des comportements assez diff´erents des param`etres de la dynamique du taux par rapport `a ceux de la dynamique de la volatilit´e.