Smeared crack models

Ce type de formulation est bas´e sur la m´ecanique des milieux continus, avec une application de l’in´egalit´e de Clausius-Duhem [7, 133, 139]. L’´energie de dissipation associ´ee au processus de fissuration permettra de mettre en place les lois de comportement du solide endommag´e, et aucune repr´esentation de la cin´ematique de la fissure n’est n´ecessaire `a l’´etude du probl`eme [96].

2. Comportement m´ecanique du b´eton

2.5.1.1 Formulation du probl`eme

Consid´erons un corps non fissur´e sur lequel sont d´efinis les trois champs de d´eplacement, d´eformation et contrainte not´es respectivement u, E et T. La fronti`ere de Ω, not´ee ∂Ω est divis´ee en deux sous-ensembles ∂Ω_uet ∂Ω_t sur lesquels les d´eplacements et les efforts sont respectivement impos´es.

Le tenseur des d´eformations est d´eduit du champ de d´eplacement grˆace `a la relation cin´ematique :

E= sym Gradu (2.19)

et l’´equilibre m´ecanique est d´efini par :

DivT+ρb=0 (2.20)

Avec :

• ρ : masse volumique,

• b : vecteur densit´e de force massique appliqu´e sur Ω.

La relation entre les tenseurs de d´eformation et de contrainte est donn´ee par la loi de compor-tement :

T= E; := tenseur de raideur du mat´eriau (2.21)

Conditions aux limites:

Les efforts t sont impos´es sur∂Ω_t :Tn=t (2.22) et les d´eplacements u sont impos´es sur∂Ω_u :u= ¯u (2.23)

b

PSfrag replacements F

t n

Ω ∂Ω

∂Ω_t

∂Ω_u

Fig. 2.5. Conditions aux limites appliqu´ees `a Ω

2.5.1.2 Bande de discontinuit´e faible

Consid´erons maintenant une bande de discontinuit´e faibleS^h de largeur h, param´etr´ee dans sa largeur par le scalaire ζ, et s´eparant les deux autres sous-domaines Ω⁺ et Ω⁻ (cf. figure 2.6).

Le champ de d´eplacements ˆu du solide est consid´er´e comme la superposition des champs de d´eplacements de ce mˆeme domaine sans tenir compte de la bifurcation (not´e u), et d’une contri-bution de la bande de localisation (not´e ˜u) :

ˆ

u=u+ ˜u; u˜ =H_s^h[|u|] (2.24)

[|u|] ´etant le saut de d´eplacement `a travers la surface de discontinuit´eS^h tel que : [|u|] =u|x∈Ω⁺∩S^h−u|x∈Ω⁻∩S^h

etH_s^h´etant la fonction rampe d´efinie parH_s^h=











0 sur Ω⁻

Fonction rampe croissante surS^h(cf. figure 2.6) 1 sur Ω⁺

Le champ des d´eformations total du corps s’´ecrit alors sous la forme [139, 7, 141] :

Eˆ = sym Grad(u) + sym Grad(H_s^h[|u|]) (2.25a)

=E+ 1

hµ^h_s sym([|u|]⊗n) (2.25b)

Avec :µ^h_s=







1 ∀x∈S^h 0 ∀x∈Ω\S^h

Fig.2.6. Cin´ematique d’une discontinuit´e faible - [139]

2. Comportement m´ecanique du b´eton

2.5.1.3 Bande de discontinuit´e forte

La description d’une bande de discontinuit´e forte est similaire `a celle d´evelopp´ee pr´ec´edemment et correspond au cas limite h → 0 [139, 141], la fonction rampe H_s^h d´efinissant le champ de d´eformation est alors remplac´ee par une fonction Heaviside H_S d´efinie sur Ω\S [7] telle que H_S=







0 ∀x∈Ω⁻\S 1 ∀x∈Ω⁺\S

Fig.2.7. Cin´ematique d’une discontinuit´e forte - [139]

Le champ de d´eformations s’´ecrit dans ce cas :

Eˆ = sym Grad(u) +H_Ssym Grad[|u|] +δ_S sym([|u|]⊗n) (2.26)

δ_S ´etant la fonction Dirac d´efinie par : δ_S= lim_h→0µ^h_s=







∞ ∀x∈S 0 ∀x∈Ω\S 2.5.1.4 Condition de continuit´e

La m´ecanique des milieux continus impose naturellement :

T|x∈dΩ⁺∩S^hn=T|x∈dΩ⁻∩S^hn=T|x∈S^hn (2.27) Cette relation permet de tenir compte du domaineS^h dans les ´equations de la m´ecanique des milieux continus [139].

2.5.1.5 Comportement

On peut, pour les deux types de discontinuit´e, formuler le mod`ele m´ecanique de fa¸con similaire.

Quel que soit le type de bande de localisation, le champ de d´eformation se d´ecompose en une partie r´eguli`ere ¯E et une partie singuli`ere ˜E [7, 139] :

• Discontinuit´e faible

E¯ = sym Grad(u) et E˜ = 1

hµ^h_s sym([|u|]⊗n) (2.28)

• Discontinuit´e forte :

E¯ = sym Grad(u) +HSsym Grad[|u|] et E˜ =δS sym([|u|]⊗n) (2.29) Au vu de 2.28 et 2.29, il est naturel d’introduire une constante ztelle quez= ^µ_h^hs dans le cas d’une discontinuit´e faible, et z=δ_S dans le cas d’une discontinuit´e forte. Le comportement de la bande de localisation peut alors ˆetre d´ecoupl´e du comportement du solide consid´er´e comme sain [7] :

Ψ(E, κ) = ¯Ψ( ¯E,κ) +¯ zΨ( ˜˜ E,κ)˜ (2.30) Ψ¯ est l’´energie libre associ´ee au comportement r´egulier du corps tandis que ˜Ψ est associ´ee `a l’´evolution de la bande de discontinuit´e. ¯κrepr´esente un ensemble de variables internes caract´erisant la r´eponse in´elastique du mat´eriau contenu dans Ω/S^h, tandis que ˜κ repr´esente la contribution in´elastique sur le domaine S^h. Par cons´equent l’in´egalit´e de Clausius Duhem ´ecrite sous forme int´egrale est :

Z

Ω

T¯ ·EdΩ +˙¯

Z

Γh

T˜ ·[|u˙|]dΓ_h ≥0 (2.31) Le tenseur des contraintes ˜T´etant d´efini par :

Z

Ω

T·E˙˜ = Z

Ωx

T·zsym([|u˙|]⊗n)dΩ_x = Z

Γh

T˜ ·[|u˙|] (2.32)

La bande de discontinuit´e h´erite des propri´et´es du mod`ele constitutif original (du solide non fissur´e) [8, 141] et la m´ethode de Coleman et Noll permet `a travers les expressions de ¯Ψ et ˜Ψ, de mettre en place les lois de comportement d´ecrivant le syst`eme [7].

2.5.1.6 Longueur caract´eristique - Comportement adoucissant

La description des discontinuit´es fortes met en jeu un champ de d´eformations infinies (cf.

´equation 2.26). Pour des questions de faisabilit´e, l’impl´ementation de ce type de mod`ele s’effectue grˆace `a une description de type discontinuit´e faible (voir §2.5.1.2), associ´ee `a une largeur h petite.

Ce scalaire devient alors une longueur caract´eristique du mod`ele de fissuration [139].

De plus, les conditions g´en´erales d’´equilibre qui r´egissent l’´evolution du solide sont d´efinies `a partir d’un champ de contraintes suppos´e born´e. Pour justifier l’application d’un tel mod`ele, il est donc n´ecessaire d’introduire un module d’adoucissement limitant les amplitudes du champ de contraintes au sein de la bande de discontinuit´e [8, 139, 141, 196].

2. Comportement m´ecanique du b´eton

2.5.1.7 Couplage entre le comportement local et le comportement global

On ach`eve le couplage entre les ´echelles micro et macro en ´egalisant la dissipation due `a l’´evolution de la discontinuit´e, `a celle due au comportement macro du solide. L’´egalit´e m`ene `a l’´equation [7] :

Z

Ω

T·( ˆE−E) = 0 (2.33)

La formulation est alors compl´et´ee et permet le calcul des champs de d´eplacements u et ˆu [7].

2.5.1.8 Remarques

Plusieurs auteurs [139, 141, 7, 196] ont utilis´e cette formulation dans des probl`emes de propa-gation de fissure(s) au sein du b´eton. Elle semble donner de bons r´esultats concernant les courbes effort-d´eplacements, ces donn´ees ´etant relativement ind´ependantes du mode de discr´etisation. Ce n’est pas le cas concernant le trajet des fissures qui reste d´ependant du maillage [147] : ce type de mod`ele n´ecessite un raffinement du maillage dans la zone de localisation de mani`ere `a localiser le gradient de d´eformation. Il est donc n´ecessaire de connaˆıtre `a priori la direction de propagation des fissures. Ceci se traduit par une d´ependance des r´esultats `a l’alignement et aux dimensions du maillage [196].

Il se pose de plus un probl`eme de blocage dˆu `a un transfert de contrainte `a travers une fissure ouverte [96, 105]. Ce transfert de contrainte est dˆu `a une mauvaise repr´esentation de la cin´ematique autour d’une zone de macro fissuration.

On remarque que cette m´ethode a introduit un nouveau param`etre (largeur de la bande de discontinu´e) influant lui aussi sur les r´esultats des calculs.

Enfin, il est `a noter que ce mod`ele pose un probl`eme d’interpr´etation physique (description continue d’un milieu discontinu), et il est primordial de ne pas perdre de vue le but de notre ´etude : un calcul de perm´eabilit´e bas´e sur ce type d’approche m`enerait forc´ement `a des lois empiriques sp´ecifiques.