Simulations numériques des équations à faible nombre de Mach

Sur le plan numérique, il y a deux approches principales préconisées dans le développe- ment des algorithmes de calcul pour les écoulements à faible nombre de Mach. La première consiste en la modification, en baissant le nombre de Mach, des solveurs compressibles density- based; elle traite des écoulements supersoniques jusqu’aux écoulements à faible Mach en pas- sant par l’aéroacoustique. La deuxième approche repose sur l’extension des solveurs incom- pressibles pressure-based vers ce régime. Elle est adaptée aux écoulements incompressibles en remontant vers les écoulements avec des variations de masse volumique, aussi importantes soient elles, indépendamment des fluctuations de la pression.

Approche compressible

Concernant la première approche, les schémas d’avancement en temps explicites sont les plus souvent utilisés pour la résolution des équations de Navier-Stokes compressibles insta- tionnaires. Toutefois, à la limite M → 0, ces derniers se heurtent à la difficulté liée à la disparité des échelles de temps acoustique et convective. Cette raideur (échelles de temps d’amplitudes fortement variables) a été citée dans (Turkel, 1987). Dans ce cas, la limitation de choisir un petit pas de temps imposé par les conditions de stabilité numérique de type CFL rend ces schémas inefficaces. Cette condition s’écrit

∆t

∆xmax(c + |v|) ≤ 1. (1.30)

En effet, le pas de temps ∆t requis est inversement proportionnel au maximum de la vitesse des ondes acoustiques (c + |v|). Cela nécessiterait des temps de calcul excessifs pour résoudre des problèmes pratiques. Pour éviter cette limitation, certains termes associés au taux de pro- pagation du son lorsque M → 0 doivent être traités de manière implicite ; cette démarche a été adoptée en premier par Harlow et Amsden (1968a) et développée plus tard par plusieurs au- teurs (Casulli et Greenspan, 1984) et (Klein, 1995). L’identification de ces termes soniques dans la littérature ne se fait pas de manière unique (voir (Abarbanel et al., 1989; Casulli et Greenspan, 1984) et (Hirt et al., 1974)). Les termes de convection liés au mouvement lent du fluide peuvent toujours être traités explicitement avec une condition CFL non restrictive liée à la vitesse de convection

∆t

Dans ces solveurs compressibles, appelés density-based, souvent formulés sous la forme conser- vative, la masse volumique est une variable dépendante primitive extraite de l’équation de continuité alors que la pression est déterminée via l’équation d’état. Pour les faibles nombres de Mach la pression et la masse volumique deviennent très faiblement liées, c’est ce qu’on reproche notamment à ce genre de solveurs.

Une alternative est la technique de pré-conditionnement local pour éliminer la disparité des échelles temporelles. Elle a été utilisée dans (Darmofal et Van Leer, 1998), (Turkel, 1987) et (Weiss et Smith, 1995) pour obtenir des solutions stationnaires des équations d’Euler et de Navier-Stokes. Il s’agit ici de choisir les échelles temporelles pour avoir le même ordre de gran- deur entre les vitesses du fluide et les vitesses des ondes acoustiques permettant d’éviter la restriction sur le pas de temps. Cette technique peut également être utilisée pour les équations de Navier-Stokes instationnaires (Sabanca et al., 2000).

Approche quasi-incompressible

Cette approche consiste à considérer le système d’équations de Navier-Stokes dérivées avec l’approximation à faible nombre de Mach et adapter les solveurs incompressibles (SIMPLE, méthode de projection) pour traiter les variations de masse volumique.

Dans ces solveurs, la pression est une variable primitive et la masse volumique est dé- duite à partir de l’équation d’état. Notons qu’avec ces schémas la variation de la pression reste finie indépendamment du nombre de Mach. La première implémentation de ces schémas in- compressibles basés sur la pression pour résoudre l’écoulement compressible est attribuée au travail initiateur de Harlow et Amsden (1968a) et Harlow et Amsden (1968b). Ils ont utilisé un algorithme semi-implicite de différences finies.

Karki et Patankar (1989) ont appliqué ces schémas pressure-based avec des volumes finis pour développer une extension compressible des schémas SIMPLE (Semi-Implicit Pressure Lin- ked Equations) à l’origine conçus par (Patankar et Spalding, 1970) pour les écoulements incom- pressibles. En effet, la condition de divergence nulle sur la vitesse est remplacée par l’équation de continuité d’un fluide compressible. L’équation de correction de la pression est obtenue en exprimant la masse volumique en termes de pression via l’équation d’état. Cette procédure a été formulée pour un écoulement barotrope et le schéma est d’ordre un en temps. Par ailleurs, si l’équation d’état dépend aussi de la température, alors une équation d’énergie interne ou de température doit être résolue avec une procédure itérative (Rhie, 1989).

L’adaptation du schéma SIMPLE pour l’écoulement à faible nombre de Mach a été effec- tuée par Munz et al. (2003) en utilisant des variables multiples pour la pression (MPV) associée chacune à une grandeur physique différente pour tenir compte, séparément, des effets thermo- dynamiques, des effets acoustiques et des effets dynamiques. Des procédures similaires ont été adoptées par Bjil et Wesseling (1998), Mary et al. (2000) et Roller et Munz (2000). Plus récem- ment, dans le contexte de la méthode des éléments finis, Zienkievicz et al. (1999), Zienkievicz

1.2. Écoulement à faible nombre de Mach et Codina (1995) et Zienkievicz et Taylor (2000), ont introduit la procédure CBS (characteristic- based-split) ; cette implémentation est un schéma de correction de pression de Taylor Galerkin, recommandé pour les deux régimes d’écoulement incompressible et compressible.

De nombreuses études qui traitent des écoulements à faible nombre de Mach utilisent des schémas développés à partir de la méthode de projection. Les différentes extensions de cette méthode font partie des schémas pressure-based.