Nouvelle condition d’entraînement à la frontière latérale

Dans les écoulements à surface libre la condition de paroi glissante à la frontière latérale, de par son caractère imperméable, ne peut être appliquée que pour des domaines de dimensions relativement grandes devant le diamètre de l’orifice Dj. On cite dans la littérature une largeur

du domaine Rmax ≥ 4Dj. Dans le cadre des écoulements incompressibles, Ruith et al. (2004)

ont testé plusieurs types de conditions aux limites (paroi glissante, condition de Neumann et condition de libre convection).

Concernant l’écoulement de jet à masse volumique variable avec un taux d’entraînement de fluide considérable, notamment dans les cas des jets froids, la largeur du domaine de cal- cul doit être plus grande pour éviter une réflexion de la paroi, d’où la motivation d’explorer d’autres types de conditions plus physiques. Nous avons donc proposé une nouvelle condition de frontière perméable pour permettre l’entraînement de fluide à travers la frontière latérale du domaine. Cette condition permet de lever la contrainte sur les dimensions du domaine de calcul, posée par la condition de paroi glissante.

Condition d’entraînement latéral (frontière perméable)

La condition d’entraînement de fluide à la frontière (r = Rmax) consiste à prendre une

4.7. Conclusion et (ρvz), celles-ci s’écrit ∂(ρvθ) ∂r (θ, Rmax, z) = 0, (4.115) ∂(ρvr) ∂r (θ, Rmax, z) = 0, (4.116) ∂(ρvz) ∂r (θ, Rmax, z) = 0. (4.117)

Cette condition se traduit par un flux radial constant à travers la surface latérale du cylindre (r = Rmax).

Nous représentons sur la figure (4.3) le nouveaux système de conditions aux limites.

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FIG. 4.3 – Conditions aux limites appliquées aux équations de conservation de la quantité de mouvement avec entraînement latéral.

L’introduction de cette nouvelle condition sur la composante (ρvr)aurait des implications

dans la résolution numérique des équations de quantité de mouvement. Nous détaillons dans le prochain chapitre les modifications apportées aux conditions aux limites appliquées à l’équa- tion de Poisson pour la pression.

4.7 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons mis sous forme adimensionnelle les équations de Navier- Stokes compressibles auxquelles nous avons appliqué les développements asymptotiques à faible nombre de Mach.

Nous avons montré que l’analyse asymptotique mono-échelle de temps et d’espace conduit aux équations à faible nombre de Mach d’ordre zéro. Dans ce modèle, la pression est décom- posée en la somme d’une pression thermodynamique globale et d’une pression dynamique “incompressible”. Cette dernière intervient seulement dans les équations de quantité de mou- vement. La masse volumique et la température étant reliées à la pression thermodynamique par l’équation d’état, toute variation de la “faible”pression dynamique ne peut affecter ni la masse volumique, ni la température. Par conséquent, les effets acoustiques sont supprimés des équations à faible nombre de Mach.

Les variations de la masse volumique sont régies par une équation d’évolution issue de la combinaison des équations de conservation de la masse, de l’énergie et de l’équation d’état des gaz parfaits. Le système d’équations à faible nombre de Mach est exprimé en coordonnées cylindriques.

Enfin, nous avons introduit une nouvelle condition pour permettre l’entraînement de fluide à travers à la frontière latérale. Cette condition est moins contraignantes sur le plan numérique car elle permet de réduire considérablement la taille du domaine de calcul.

Chapitre 5

Résolution numérique des équations de

Navier-Stokes à faible nombre de Mach

5.1 Introduction . . . 97 5.2 Domaine de calcul et maillage . . . 97

5.2.1 Maillage non-uniforme dans la direction radiale . . . 100

5.3 Discrétisation spatiale : méthode de différences finies . . . 102

5.3.1 Notations préliminaires . . . 103 5.3.2 Interpolation linéaire . . . 103

5.4 Calcul discret des termes convectifs et diffusifs . . . 105

5.4.1 Dérivation discrète . . . 106

5.5 Schéma à variation totale décroissante (TVD) appliqué aux équations d’évolution scalaires . . . 111

5.5.1 Équation d’évolution de la masse volumique . . . 111

5.6 Méthode de résolution pour écoulement à faible nombre de Mach . . . . 112 5.7 Schéma explicite d’Adams-Bashforth . . . 113

5.7.1 Algorithme 1 . . . 113

5.8 Schéma prédicteur-correcteur d’Adams-Bashforth/Adams-Moulton . . . 116

5.8.1 Algorithme 2 . . . 116

5.9 Schéma semi-implicite d’Adams-Bashforth/Crank-Nicolson avec schéma d’Euler explicite pour l’équation de la masse volumique . . . 119

5.9.1 Algorithme 3 . . . 120

5.10 Schéma explicite d’Adams-Bashforth avec schéma d’Euler explicite pour l’équation de la masse volumique . . . 122

5.10.1 Algorithme 4 . . . 122

5.11.1 Conditions discrètes appliquées à l’équation de la masse volumique 123 5.11.2 Conditions appliquées aux équations de conservation de la quan-

tité de mouvement et à l’équation de Poisson . . . 123 5.11.3 Conditions aux limites appliquées à l’équation de Poisson . . . 127 5.11.4 Correction de la masse dans la cellule (Nz− 1) . . . 128

5.1. Introduction

5.1 Introduction

Nous nous proposons dans ce chapitre de résoudre les équations de Navier-Stokes tridi- mensionnelles en coordonnées cylindriques pour un écoulement visqueux à masse volumique variable avec l’hypothèse d’un faible nombre de Mach. Nous avons développé un code numé- rique pour implémenter la simulation numérique directe des écoulements de jet visqueux à masse volumique variable. Nous commençons par décrire la discrétisation spatiale qui utilise une méthode de différences finies avec une localisation décalée des inconnues. Nous exposons ensuite les différentes variantes de schémas temporels proposées, basées toutes sur la méthode à pas fractionnaire étendue pour résoudre les équations de Navier-Stokes à masse volumique et viscosité variable avec l’approximation à faible nombre de Mach.

Les algorithmes que nous allons détailler utilisent les schémas temporels suivants : 1- Un schéma totalement explicite d’Adams-Bashforth d’ordre deux en temps.

2- Un schéma prédicteur-correcteur explicite d’Adams-Bashforth/Adams-Moulton d’ordre deux en temps.

3- Un schéma d’Euler explicite d’ordre un pour l’équation de la masse volumique et un schéma semi-implicite d’Adams-Bashforth/Crank-Nicolson d’ordre deux en temps.

4- Un schéma d’Euler explicite d’ordre un pour l’équation de la masse volumique et un schéma explicite d’ Adams-Bashforth d’ordre deux en temps.

Cette démarche s’inscrit dans la volonté de construire un schéma pouvant simuler les écou- lements avec des grands rapports de masse volumique, en particulier la combustion.