5.4 Généralisation
6.1.3 Simulations
, (6.2)
où l’on a noté ¯αk la sous-séquence ¯
αk= {¯αk′, k′ ∈ N (k)} .
On appelle cet estimateur le Windowed Group-LASSO (WG-LASSO). No-tons que contrairement à l’approche de la renumérotation précédente, chaque coefficients k utilise son propre voisinage, à la place d’un groupe entier. Comparé au théorème 5.1, le coefficient estimé ˆαg,m est obtenu à partir des observations ¯xg,m en le multipliant par un masque qui dépend maintenant de l’indice k = (g, m). Notons aussi que ce nouvel opérateur de seuillage n’est plus associé à un simple problème variationnel. La figure 6.3 montre un exemple d’une fenêtre glissante utilisée pour grouper un canal avec son voisinage, où m est l’indice du canal et g l’indice temps-fréquence.
Fig.6.3 – Un exemple de fenêtre glissante.
6.1.3 Simulations
On considère ici une décomposition d’un signal multicanal (échantillonné à 44100 Hz) sur une base MDCT donnée (avec une fenêtre longue de 23.3 millisecond) :
xm[t] = X
m∈Λ
Chapitre 6. Le seuillage en pratique : simulations
où g est ici un indice temps-fréquence et m indexe les canaux. Λ = {g : xg,m 6= 0} est la carte de signifiance, ou carte temps-fréquence, et est sup-posée être la même pour tous les canaux. On note alors x = (x1, . . . , xM) ∈ RN ×M le signal multicanal.
Dans ce contexte, les groupes indexés par g et les membres indexés par m correspondent respectivement à l’indice temps-fréquence et aux canaux. En d’autres termes, le modèle suppose une dépendance «entre les canaux».
Deux signaux multicanaux sont simulés comme suit
1. On choisit un pourcentage de coefficients non nuls, et on génère deux cartes temps-fréquence Λ1 et Λ2 avec les pourcentages choisis.
2. On simule deux ensembles de coefficients temps-fréquences i.i.d. selon une loi normale N (0, 1), xg,m, m = 1, . . . 4 et g ∈ Λ1 (resp.m = 5, . . . 8 et g ∈ Λ2).
3. On synthétise les signaux avec le modèle (6.3).
Les signaux simulés ont alors M = 8 canaux. Les quatre premiers partagent la carte temps-fréquence Λ1 et les quatre derniers partagent la carte temps-fréquence Λ2.
Les divers opérateurs de seuillage généralisés décrit ci-dessus sont com-parés dans le contexte d’un problème de débruitage. Un bruit blanc gaussien est ajouté au signal multicanal de manière à obtenir un rapport signal à bruit (SNR) égal à 10 dB. Dans un soucis de simplicité, le SNR n’est pas calculé canal par canal, mais en considérant l’ensemble du signal multicanal :
SN R(x, ˆx) = 20 log kxk2 kx − ˆxk2 (6.4) où k.k2 est la norme de Fröbenius du signal multicanal. Ce SNR peut être différent de la moyenne des SNR de tous les canaux, mais cette différence est inférieure à 1 dB et n’a aucune influence sur le comportement des courbes obtenues.
Les estimateurs considérés sont les suivants – Le LASSO, qui correspond au problème
ˆ
α= argmin
α∈RN ×Mk¯x − αk22+ λkαk1 .
Tous les coefficients «canal-temps-fréquence» sont indépendants, l’es-timation est obtenue par seuillage doux.
– Le G-LASSO 1, qui correspond au problème ˆ α= argmin α∈RN ×Mk¯x − αk22+ G X g=1 M X m=1 |αg,m| !2 .
Pour un indice temps-fréquence donné, tous les canaux sont rassemblés pour créer les groupes du G-LASSO. Les groupes sont indépendants. Cela correspond au regroupement donné sur la figure 6.2 (à gauche).
6.1. Sélection de groupes pertinents
– G-LASSO 2, qui exploite l’information a priori sur les deux cartes temps-fréquence Λ1 et Λ2, correspond à min α∈RN ×Mk¯x − αk22+ G X g=1 4 X m1=1 |αg,m1| 2 + 8 X m2=5 |αg,m2| 2 .
Pour un indice temps-fréquence, les quatre premiers canaux sont ras-semblés en un groupe, et les quatre derniers dans un autre groupe. Les groupes sont indépendants et correspondent au regroupement donné sur la figure 6.2 (à droite).
– Le WG-LASSO, qui correspond à l’estimation donnée par l’équa-tion (6.2). Les deux plus proches voisins d’un canal sont rassemblés en utilisant une fenêtre glissante. Cela correspondant au groupement donné sur la figure 6.3.
Ces différents estimateurs ont été utilisés pour plusieurs valeurs de λ. L’in-tervalle de valeur pour λ a été choisi de manière à obtenir des estimations avec différents degrés de parcimonie, de très peu de coefficients mis à zéro à beaucoup de coefficients nuls. Plus λ est gros, plus les estimations sont parcimonieuses.
Les courbes de la figure 6.4 montrent l’évolution du SNR comme une fonction du nombre de coefficients (qui dépend de la valeur de λ) de diffé-rents estimateurs pour le signal simulé en utilisant la carte de la figure 6.1 (i.e. 8.5% de coefficients non nuls). Des résultats similaires sont obtenus en utilisant une carte de signifiance plus parcimonieuse (1% de coefficients non nuls) sont montrés sur la figure 6.5.
Fig.6.4 – Comparaison entre le LASSO, 2 types de G-LASSO et le WG-GLASSO. Le comportement de ces estimateurs dépend clairement du degré de par-cimonie du signal d’entrée. Dans les deux cas considérés, le G-LASSO 2 (qui
Chapitre 6. Le seuillage en pratique : simulations
Fig.6.5 – Comparaison entre le LASSO, 2 types de G-LASSO et le WG-GLASSO. utilise plus d’a priori que les autres) atteint le meilleur SNR, et donne un meilleur SNR que les autres estimateurs lorsque le nombre de coefficients sélectionnés est proche du véritable nombre de coefficients non-nuls.
Le WG-LASSO est bien meilleur que le LASSO sur les deux courbes, sauf pour les grandes valeurs de λ (lorsqu’un grand nombre de coefficients sont mis à zéro) ; cependant, ce cas doit être évité si l’on veut avoir un bon estimateur (le SNR s’effondre rapidement).
Malgré leur aspect globalement différent, les courbes des figures 6.4 et Fig. 6.5 montrent des comportements qualitativement proches. Dans les deux cas, les meilleurs résultats sont obtenus lorsque les groupements sont connus à l’avance. Lorsqu’une telle information n’est pas disponible, le WG-LASSO est une bonne alternative pour exploiter les dépendances entre les coeffi-cients. De plus, si les coefficients ne peuvent pas être classés en groupes, mais possèdent une relation de voisinage, le WG-LASSO est capable d’ex-ploiter cette dernière.