et model-checking (AT&MC)
4.2.1 Genèse de l’approche AT&MC
Partant des acquis de modélisation de l’ATP 99/60 (cf. §4.1), la thèse d’Arnaud Hélias (2001-2003 ; cf. Hélias, 2003) a eu pour ambition d’uni…er les approches déjà utilisées, en développant un formalisme cohérent permettant de représenter toutes les situations envi-sageables de gestion des e- uents d’élevage. Par souci de modularité, nous nous sommes orientés vers la composition de modèles élémentaires représentant des ensembles d’unités de production (UP) et de consommation (UC) de ces matières. Le formalisme des automates temporisés a été utilisé pour représenter le fonctionnement des UP et des UC, et les tech-niques de model-checking, pour véri…er les possibilités de transfert au sein de réseaux formés d’UP et d’UC. Cette thèse, co-encadrée par Jean-Philippe Steyer (directeur de thèse) et par moi-même, a été réalisée en alternance dans l’équipe Gestion des déchets organiques (Gdor, Cirad, La Réunion) et au Laboratoire de biotechnologie de l’environnement (LBE, Inra, Narbonne).
4.2.2 Représentation des connaissances par automates temporisés
Toute action d’épandage est vue comme la synchronisation de deux types de processus : – l’o¤re des UP, dépendant de stocks de MO modélisés par un système d’équations
– la demande des UC, dépendant d’événements culturaux (e.g., dates de plantation, récolte, fertilisation,...) modélisés par des fonctions discrètes.
Tout réseau composé d’UP et d’UC comprenant, à la fois, des sous-systèmes continus (les UP) et discrets (les UC) est donc un système dynamique hybride (Zaytoon, 2001). Après avoir réalisé un état de l’art sur les nombreux formalismes de représentation de tels systèmes, nous avons opté pour un formalisme unique : celui des automates temporisés (Alur et Dill, 1994). Un automate temporisé est un automate à états …nis12 auquel on peut associer des contraintes temporelles par l’intermédiaire d’« horloges » locales, simulant un temps continu, et des propositions ou des étiquettes permettant de les caractériser. Ce formalisme présente plusieurs avantages : modularité (le produit d’automates est un automate) ; facilité d’introduction de contraintes temporelles (temps continu) ; possibilité d’analyse automatique par model-checking (états discrets) (Bérard et al., 2001). Ce choix a cependant impliqué de trouver une procédure de discrétisation pour transformer le système d’EDO, représentant la dynamique des UP, en automates temporisés.
Les conditions élémentaires d’acceptation d’un apport d’e- uents par une UC sont re-présentées par trois types d’événements génériques : événements avec délai, événements sans délai, dates déterminées par un calendrier. Chaque condition est représentée par un automate temporisé. La composition de ces automates permet alors de représenter par un automate unique l’ensemble des cas de demande d’une UC particulière (culture ou unité de traitement). Par exemple, la demande en MO de la canne à sucre résulte du produit de 3 automates représentant les contraintes suivantes :
1. le premier épandage peut avoir lieu 4 semaines après la coupe (événement sans délai) ; 2. un second épandage peut avoir lieu 3 mois après le premier (événement avec délai) ; 3. tout épandage doit avoir lieu entre la date de début de la coupe et le mois de mars
de l’année suivante (calendrier).
Les automates temporisés correspondant aux principales cultures existant à la Réunion ont, ainsi, été dé…nis (Hélias et al., 2003).
L’o¤re d’une UP est décidée selon l’état de son stock, dont l’évolution (continue) est représentée par un système d’EDO classique (‡ux entrants ‡ux sortants). Pour re‡éter l’imprécision des données, l’état initial et les entrées des stocks des UP sont encadrés par des intervalles numériques. Ceci permet de générer un double système d’EDO extrêmales, dont la simulation permet d’obtenir l’enveloppe des trajectoires possibles des stocks des UP. L’obtention de cette enveloppe est garantie si la « coopérativité » du système d’EDO initial est véri…ée (Smith, 1995), sinon, un algorithme de calcul des états min et max à chaque pas de temps, par échantillonnage dans l’espace d’imprécision, peut être utilisé pour l’approximer. L’espace d’état des UP est alors discrétisé sur la base de seuils prédéterminés pour chaque stock. Par exemple, une capacité maximale de stockage et un seuil minimal d’épandage permettent de dé…nir trois situations de gestion du stock : niveau au-dessous du seuil minimal (pas de transfert possible), niveau compris entre le seuil minimal et la capacité maximale (transfert possible), stock au-dessus de la capacité maximale (transfert urgent car débordement). Les paramètres de franchissement calculés pour chaque seuil (dates au plus tôt et au plus tard, sens de franchissement croissant ou décroissant) permettent de construire les automates temporisés représentant le fonctionnement de chaque UP par ses états discrets. Cette méthode de discrétisation de système continu en système discret, qui est en quelque sorte un méta-modèle du système d’EDO initial, est décrite dans (Hélias et al., 2004a; Hélias et al., 2004b).
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Système discret représenté par un graphe dont les sommets correspondent à l’ensemble des états pos-sibles et les arcs aux transitions instantanées entre états.
La combinaison d’un ensemble d’automates temporisés représentant di¤érentes UP et di¤érentes UC permet, alors, de générer un automate temporisé unique, sur lequel on peut appliquer les outils de model-checking pour analyser le système global ainsi formé.
4.2.3 Simulation par AT&MC
Cette procédure, alliant discrétisation d’EDO et composition d’automates, a été im-plémentée avec Matlab. Elle est utilisée, en pratique, dès qu’apparaît l’o¤re d’une UP (franchissement d’un seuil d’épandage) ou la demande d’une UC (atteinte d’une période d’apport possible). Les tests d’interaction entre UP et UC alors réalisés prennent en compte les contraintes de compatibilité et de préférence de transfert entre les unités mises en jeu, ainsi que la propriété que l’on cherche à véri…er sur le modèle. De ce fait, l’automate global construit ne correspond qu’à la partie pertinente du système pour répondre à la question posée. L’espace d’état à explorer ainsi réduit permet d’éviter le risque d’explosion combi-natoire si l’on considérait un système complet comprenant de nombreuses UP et UC.
Le logiciel Kronos (Yovine, 1997), couplé avec Matlab, permet cette véri…cation en utilisant la logique TCTL13 (Henzinger et al., 1994) pour formuler des questions d’attei-gnabilité d’état telles que :
« Etant donnés les états initiaux de chaque couple (UP,UC), existe-t-il un chemin (i.e., une séquence de sommets de leurs automates) qui permette à cette UP et à cette UC d’atteindre un état où une action de transfert est possible (i.e., tel que les contraintes — temporelles, de non débordement, de préférence... — attachées aux sommets ou aux arcs des automates soient satisfaites) ? » .
Cette approche a été appliquée de façon satisfaisante aux trois situations de gestion rencontrées pour les e- uents d’élevage, dans des con…gurations mettant en jeu plusieurs di-zaines d’UP et d’UC (Hélias et al., 2004c) : transferts intra-exploitation (tels que traités par Magma), transferts inter-exploitations (tels que traités par Biomas), approvisionnement d’unités de transformation d’e- uents (tels que traités par Approzut). Elle a également été appliquée au diagnostic d’états critiques d’un procédé d’épuration par digestion anaérobie représenté par un système d’EDO de dimension quatre (Hélias et al., 2004a). Dans ce cas, les domaines de valeurs des variables d’état du système ont été discrétisés (à la manière de Simao, cf. §3.1), par des valeurs seuils permettant de caractériser une variable par des états qualitatifs tels que : normal, élevé, critique,...
4.2.4 Comparaison d’AT&MC avec d’autres approches.
L’approche AT&MC, en partie inspirée par les travaux de Lunze (Lunze, 1999; Lunze et al., 1999), constitue par maints aspects une voie originale d’intégration de représentations quantitative (UP continues) et qualitative (UC discrètes) que j’avais en perspective quelques années plus tôt (cf. §3.5). Des analogies peuvent, en e¤et, être trouvées avec plusieurs concepts fondateurs du Raisonnement qualitatif :
– toute variable réelle est discrétisée par la partition de son domaine de valeurs en intervalles numériques (cf. Simao, §3.1) ;
– toute variable discrète est décrite par un automate dont les sommets, correspondent à des états symboliques (cf. la notion d’espace des quantités, introduite par Hayes, 1985), et les arcs, aux transitions entre états (cf. la notion d’envisionnement de de Kleer et Brown, 1984) ;
– tout modèle (également un automate) peut être construit et simulé « à la demande » , par composition de modèles élémentaires (cf. la notion de compositional modeling de Falkenheiner et Forbus, 1991).
Cette représentation conserve, cependant, l’essentiel de l’information numérique, notam-ment, la représentation d’un temps continu (notions de date, durée, contrainte temporelle) qui fait défaut aux formalismes qualitatifs.
4.2.5 Bilan de l’approche AT&MC
L’approche de modélisation de réseaux de ‡ux développée dans cette thèse consiste à : 1. représenter le fonctionnement des UC comme des suites d’événements discrets par
des automates temporisés ;
2. discrétiser les équations di¤érentielles ordinaires représentant les UP en transformant leurs résultats de simulation en automates temporisés, sur la base de seuils tenant compte de l’imprécision des états initiaux et des entrées ;
3. représenter tout réseau composé d’UP et d’UC en e¤ectuant le produit des automates les représentant ;
4. véri…er les propriétés de l’automate global ainsi obtenu pour déterminer dynamique-ment les fenêtres temporelles, où les transferts des UP vers les UC sont possibles, et simuler leur réalisation.
L’intérêt de cette approche, par rapport à celles suivies dans l’ATP 99/60 (§4.1), est d’abord sa modularité, permettant de réaliser des modèles complexes par agrégation auto-matique de modèles élémentaires. De là, découle sa capacité à représenter toute con…gu-ration de systèmes composés d’UP et d’UC et, donc, sa généricité par rapport à Magma, Biomas ou Approzut dédiés à un type de con…guration. L’autre intérêt est de pouvoir simuler dynamiquement la con…guration de ces réseaux en fonction de contraintes tem-porelles. Plus que la simulation de transferts, c’est cet aspect que je souhaite exploiter prochainement dans nos projets (cf. §5.1).
Ce travail a été réalisé dans l’équipe Gestion des déchets organiques (Cirad, La Réunion) et au Laboratoire de biotechnologie de l’environnement (Inra, Narbonne). Outre la thèse d’A. Hélias (Hélias, 2003), il a donné lieu à une publication dans une revue à comité de lecture (cf. Annexe C.3, n 16) et six communications à des conférences à comité de sélection (cf. Annexe C.5, n 31 et 33 à 37). Deux articles pour des revues à comité de lecture sont en cours de préparation. Le logiciel implémentant ce travail a été développé avec Matlab-Simulink et le model-checker Kronos (cf. Annexe B).
Un article, publié dans les actes de la 3rd Conference on Management and Control of Production and Logistics (MCPL 2004), est joint en Annexe D.5 pour illustrer ce travail.