Simulation numérique

Afin de mieux comprendre l‘effet de la présence d‘inclusions allongées sur les conditions d‘amorçage en fatigue, des simulations numériques pour évaluer le champ de contrainte le long des inclusions ont été réalisées.

Ces simulations par la méthode éléments finis ont été obtenues sur le logiciel Abaqus®. Une inclusion a été noyée dans une matrice élastique isotrope. La géométrie, l‘orientation ainsi que la nature de l‘inclusion ont été paramétrées. Le contact entre la matrice et l‘inclusion est supposé parfait. Concernant les caractéristiques mécaniques de l‘inclusion, deux configurations ont été testées. Pour la première, le module d‘Young et le coefficient de Poisson utilisés sont issus des travaux de Meynaud [Meynaud 95]. Pour la seconde, le module d‘Young est posé égal à 0. Cette configuration considère donc que la rigidité de l‘inclusion est nulle, le défaut peut alors être assimilé à une cavité (Tab. 29).

Module d‘Young, E(MPa) Coefficient de Poisson, ν Matrice 210 000 0,3

Inclusion (MnS) 103 000 0,3 Cavité 0 0,3

Tab. 29- Caractéristiques mécaniques de l‘inclusion et de la matrice, utilisées pour la simulation numérique.

Deux types de géométrie ellipsoïdale de défaut ont été testés. La première géométrie possède ses plus petits axes égaux et un grand axe 10 fois plus long (Fig. 116 b)). La seconde possède un rapport 3 entre ses plus petits axes ainsi qu‘un grand axe 10 fois plus long que le plus petit des axes (Fig. 116 c)).

L‘orientation de l‘inclusion par rapport à la charge appliquée est repérée par un angle 𝜃; lorsque 𝜃 est nul l‘inclusion est parallèle à la charge appliquée.

-153- a) b) c) X₂ X₃ X₁ a₁ a₂ a₃ B C A d)

Fig. 116-Illustration du modèle numérique : a) inclusion noyée dans une matrice élastique b) inclusion ellipsoïdale l=10, a=b=1 c) inclusion ellipsoïdale l=10, a=1, b=3

Fig. 117-Illustration du maillage utilisé pour les simulations numériques, 200 000 éléments Les éléments utilisés pour le maillage sont des éléments tétraédriques de type C3D4. Un raffinement plus élevé au niveau de l‘interface inclusion matrice est mis en place (environ 200 000 éléments, environ 100 000 ddl) (Fig. 117).

Le maximum de la contrainte de von- Mises est relevé pour chacune des configurations décrites précédemment et reporté sur la Fig. 118. Le choix du critère de von- Mises est arbitraire ; il permet simplement de représenter l‘intensité des contraintes observées.

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Fig. 118- Évolution du maximum de la contrainte de von- Mises normalisée par la contrainte appliquée, en fonction de l‘orientation du fibrage pour différents types d‘inclusions (au pôle B)

Les résultats reportés sur la Fig. 118 montrent que la contrainte de von-Mises maximale est très sensible à la nature de l‘inclusion. Le rapport de forme R entre les deux petits axes de l‘ellipsoïde a très peu d‘effet sur la contrainte maximale lorsque l‘inclusion possède un module d‘Young de 103 GPa. Lorsque le module d‘Young de l‘inclusion est nul, ce rapport de forme devient un paramètre très influent sur la contrainte maximale de von- Mises. Le rapport de forme n‘a donc d‘effet sur la nocivité du défaut que si l‘inclusion est peu rigide ou si l‘interface inclusion matrice est rompue.

On observe également sur la Fig. 118, que lorsque l‘angle entre l‘orientation de l‘inclusion et la contrainte appliquée augmente, la contrainte maximale de von- Mises augmente également. Cette augmentation est d‘autant plus faible que l‘inclusion est rigide. Notons que la contrainte maximale de von- Mises augmente fortement pour des angles allant de 0 à 45°, alors que lorsque cette angle devient plus élevé la contrainte maximale de von Mises tend à se stabiliser.

Afin d‘analyser plus en détail le champ de contrainte sur le pourtour de l‘inclusion, des simulations ont été réalisées avec un maillage davantage raffiné. Notons que ces dernières simulations sont constituées de plus d‘un million de degrés de libertés (2 700 000 éléments). Ces dernières simulations sont coûteuses en temps de calcul, pour cette raison les nombreuses simulations présentées précédemment ont été réalisées sur des modèles avec un nombre moins important d‘éléments.

Pour une orientation de fibrage à 90°, les résultats issus de la simulation numérique sont comparés aux résultats de Moschovidis obtenus par calcul numérique sur une inclusion considérée creuse en appliquant la méthode d‘Eshelby [Moschovidis et Mura 75]. Nos résultats obtenus par simulation numérique aux pôles sont très proches des résultats de Moschovidis (Tab. 30 et Fig. 119).

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 22,5 45 67,5 90

σ

(m

ax

) /

σ

angle (°)

inclusion E=103 GPa, R=1 inclusion E=0 GPa, R=1 inclusion E=103GPa, R=3 inclusion E=0 GPa, R=3

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a₁ a₂ a₃ Orientation _{point A} ^{S22 au} _{point B} ^{S22 au}

Moschovidis 1 1 10 90° 3 3

Simulation Abaqus 1 1 10 90° 2,3 3

Moschovidis 1 3 10 90° 7 7

Simulation Abaqus 1 3 10 90° 6,8 5

Tab. 30- Comparaison de l‘intensité des contraintes obtenus au pôle entre la méthode développée par Moschovidis et celles obtenues par simulation numérique

laminage

Pôle A

Pôle B S₂₂

S₂₂

-156-

laminage a)

b)

Fig. 120- Évolution de la plus grande contrainte principale sur le pourtour de l‘inclusion dans le plan (X₁,X₂) pour un fibrage orienté à 90° et différents rapport de forme a)R=1, b) R=3

A partir des résultats de simulation numérique présentés sur la Fig. 120, il est possible de tracer l‘évolution de la contrainte de von- Mises en fonction de la distance au bord de l‘inclusion.

1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 σ^VM / σ⁰ distance normalisée R=1, E=0 GPa, f=90° R=3, E=0 GPa, f=90°

Fig. 121- Évolution de la contrainte de von- Mises en fonction de la distance à l‘inclusion, fibrage orienté à 90° au pôle B

Sur la Fig. 121 est représentée l‘évolution de la contrainte de von- Mises en fonction de la distance de l‘inclusion pour une orientation de fibrage à 90°. On observe sur cette figure que l‘inclusion modifie le champ de contraintes sur son pourtour à une distance du même ordre de grandeur que son demi grand axe.

Les conclusions obtenues à partir de ces simulations numériques sont fondamentales car elles permettent de mieux comprendre les mécanismes d‘endommagement observés au sein du Metasco MC.

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Tout d‘abord, nous avons pu observer que la valeur maximale du critère de von- Mises est localisée au niveau des pôles des inclusions. Cette première remarque est en accord avec les observations de fissure réalisées en surface pour une orientation de fibrage à 90° où l‘amorçage à partir des défauts est localisé au niveau de leurs pôles (Fig. 122 a) et b)). Le second point important concerne la formation des fissures au sein d‘un amas d‘inclusions. Les simulations numériques ont permis de montrer que le champ de contrainte sur le pourtour d‘une inclusion est modifié sur une distance de l‘ordre de la longueur de son demi grand-axe. On comprend désormais mieux pourquoi des fissures apparaissent très tôt au sein d‘un amas d‘inclusions pour donner naissance à une fissure de la taille de l‘amas (Fig. 122 c) et d)).

laminage 5µm 5µm 5µm _5µm a) b) c) d) σ σ σ σ ^σ σ σ σ

Fig. 122- Fissures partant d‘inclusions, observation en surface, fibrage orienté à 90°.