c – Simulation numérique de l' effet de défauts intentionnels sur le bruit

i) Objectifs

Après avoir mis en évidence la perturbation apportée par le contact or-polymère dans la mesure de bruit (chapitre V), la géométrie a été modifiée. Il est apparu néanmoins une nouvelle source de perturbation indépendante des problèmes de surface.

La suggestion faite au paragraphe VI.1.bii) et justifiée par simulation "expérimentale", est que des défauts extrinsèques peuvent modifier l'amplitude de bruit d'échantillon à

échantillon plus fortement que l'hétérogénéité intrinsèque inhérente au réseau percolant.

Cependant le mécanisme reste identique : de même qu'à l'approche du seuil de percolation le squelette, porteur de courant, contient des zones où se concentre une fraction de plus en plus grande de courant, un défaut extrinsèque (coupure, fissure, impuretés...) peut, selon sa géométrie, créer des concentrations de courant à son interface avec le matériau sain. Dans les deux cas apparaissent ainsi des valeurs de courants locaux qui modifient la distribution du côté des forts courants, dont la trace reste peu visible sur le second moment (résistivité) mais le devient sur le quatrième moment (bruit).

Intuitivement, on peut comprendre que l'influence d'un défaut extrinsèque dépende de la proximité au seuil. Très schématiquement:

• loin du seuil, le réseau sain reste assez homogène et le défaut constitue la seule hétérogénéité; l'échantillon endommagé peut être beaucoup plus bruyant que l'échantillon sain.

• prés du seuil, le défaut n'est qu'une hétérogénéité de plus parmi les défauts intrinsèques et le niveau de bruit n'est modifié que marginalement.

Cette intuition qualitative est d'une certaine façon vérifiée quantitativement sur le niveau de bruit macroscopique par la "simulation expérimentale" (Figure VI.6). Nous avons cherché à l'observer au niveau même des distributions de courant et de leurs moments par simulation numérique. Il s’ agit d’ un calcul élémentaire. Le principe et les résultats sont décrits dans les deux paragraphes suivants.

ii) Principe de la simulation

Le calcul est effectué pour un réseau aléatoire construit sur un réseau 2 D carré (Figure II.1). Chaque lien est occupé par une résistance unité avec probabilité p et une résistance infinie avec probabilité 1-p. Le réseau contient 1024 lignes entre ses électrodes et 128 colonnes avec conditions de bord périodiques. Tous les sites de la première ligne (électrodes) sont au potentiel unité, ceux de la dernière ligne au potentiel zéro. Les équations de Kirchhoff sont résolues à l'aide d'un algorithme multigrille [14], ce qui fournit le potentiel en chaque nœ ud du réseau. Les courants dans chaque lien intègre (r=1) sont donc égaux à la différence de potentiel aux bornes du lien. On calcule ensuite les moments de la distribution. Le courant total I est la somme des courants dans une ligne quelconque parallèle aux électrodes. La conductance totale du réseau est G=I.∆V. La gamme de fraction de liens intègres étudiée est

0.5≤p≤0.7 divisé en 400 points en moyenne.

Cinq configurations ont été étudiées. La première est le réseau aléatoire sain, les quatre autres contiennent des défauts intentionnels, introduits après création du réseau aléatoire de "concentration" p :

1) un trait de coupe sur la moitié de la largueur de l'échantillon, à mi-distance des deux électrodes

2) deux traits de coupe à 1/3 et 2/3 de la distance inter-électrode 3) un trait de coupe sur les ¾ de la largeur d'échantillon

Le système utilisé pour la simulation est le plus simple possible; il ne contient pas de distribution de la valeur des résistances élémentaires. Les résultats exposés dans le paragraphe suivant montrent que l'effet recherché est visible pour la percolation sur réseau. On peut supposer que le passage à une percolation continue apporterait des différences quantitatives mais pas qualitatives; ceci est tout de même à vérifier. Une autre hypothèse est faite dans le calcul: quelle que soit l'intensité du courant local, tous les liens restent "ohmiques". Un effet non linéaire à l'échelle du lien pourrait également être introduit en liaison avec le problème de la dépendance SV∝Vβ.

iii) Résultats

On présente ci-dessous les résultats bruts du calcul pour la taille de réseau spécifiée plus haut. L’ effet de taille finie est visible sur l’ exposant t qui vaut environ 1.2 au lieu de 1.3.

1 10 100 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 sain 1 coupure 1/2 trou 1/2 2 coupures 1/2 <i 4 > p (a) 0,001 0,01 0,1 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 G p 1 10 100 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 sain 1 coupure 1/2 1 coupure 3/4 <i 4 > p (b) 0,001 0,01 0,1 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 G p

Figure VI.8 : Comparaison du moment d’ ordre 4 et de la conductance des réseaux endommagés avec le réseau sain. (a) En niveau et dispersion, les échantillons 1, 2 et 4 se comportent de manière voisine ; (b) l’ échantillon 3 qui possède un « goulot » est plus bruyant et la dispersion est forte. Une très légère dispersion est également

Les données pour le réseau sain sont faiblement dispersées tant qu’ on ne s’ approche pas près du seuil. Les niveaux et la dispersion des valeurs augmentent comme attendu pour les différents types de défauts introduits. La dispersion devient particulièrement forte en présence d’ un « goulot », même si celui-ci est encore loin d’ un lien unique (Figure VI.8). L’ écart entre réseau sain et endommagé reste très faible en ce qui concerne la conductance, à toute concentration. Il s’ estompe, pour les fluctuations, lorsque la concentration se rapproche du seuil.

Les grandeurs statistiques associées à R et SR sont montrées sur la Figure VI.9. On peut

ainsi se représenter qualitativement comment un échantillon réel peut se comporter « normalement » dans la mesure de résistance et « sortir du rang » quant au bruit.

0,1 1 10 100 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 sain 1 coupure 1/2 1 coupure 3/4 <i 2 >/ I 2 p (a) 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 sain 1 coupure 1/2 1 coupure 3/4 <i 4 >/ I 4 p (b) 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 0,1 1 10 100 y = 5,4916e+07 * x^(2,75) R= 0,89928 <i 4 >/I 4 <i2>/I2 (c)

Figure VI.9 : Évolution des (a) 2nd _{et (b) 4}ème _{moments de la distribution des courants locaux en valeur relative}

en fonction de la concentration. Ce sont les grandeurs associées à R et SR. (c) Evolution de SR en fonction de R.

On a par ailleurs tracé sur la figure VI.9 (c) la corrélation entre SR et R. La théorie

2+w=2.75, ce qui est une nouvelle manifestation de l’ effet de taille finie. L’ alignement en échelle log-log est néanmoins excellent.