L’objectif de cette partie est d’étudier le potentiel électrique et les ondes harmoniques afin de comprendre leur impact sur le déplacement des particules. Cette simulation a été réalisée en utilisant la méthode des éléments finis (FEM) à l'aide du logiciel commercial COMSOL Multiphysics®. La Figure III.3 représente les conditions aux limites fixées dans cette simulation pour laquelle la densité de charge d’espace est négligée et l’équation de Laplace est résolue :
R@
R3@ +RR1@@ = 0, 0 ≤ 3 ≤ 26, 0 ≤ 1 ≤ ∞ ( III.14)
Les conditions aux limites sur les électrodes sont données par la condition de type Dirichlet = 1, 2 et 3 pour les électrodes $, et %, respectivement. Par contre, des
conditions de Neumann sont fixées sur les limites de l’espace en direction de l’axe des 1. Une
condition périodique a été fixée sur les limites de l’axe des 3, ce qui fait qu’à un instant donné , :
*0, 1- = *U6, 1- ( III.15)
Dans cette étude, la simulation a été faite pour deux périodes géométriques, donc U = 2.
Une condition de continuité sur l’interface entre le substrat diélectrique et l’air a été fixée de sorte que :
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V&RR1 − VWXY &VYR Z [NCR1 = 0 (III.16)
Figure III.3. Illustration du domaine de simulation pour quatre électrodes successives avec les conditions aux limites correspondantes.
La Figure III.4illustre la répartition typique en 2D du potentiel électrique dans l'espace à l’instant , 0 s. L’amplitude du potentiel électrique est indiquée par la barre d’échelle en
couleur sur le côté droit. Le potentiel électrique au niveau des électrodes est de 1000 V, !500 V et !500 V sur les électrodes $, et %, respectivement.
Figure III.4. Distribution du potentiel typique en 2D obtenue par simulation à l’instant , 0 s. Conditions : 1000 V, 50 Hz, λ 6 mm.
Figure III.5. Profils analytique et numérique du potentiel électrique suivant l’axe des abscisses *3- à l’instant , 0 s. Conditions : 1000 V, 50 Hz, λ 6 mm.
La forme d’onde du potentiel électrique au dessus de la surface des électrodes est représentée sur la Figure III.5. La courbe présente une variation périodique en fonction de 3 et
de la période géométrique est donnée par 6 5 6 mm. Elle montre qu’il y a une
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inter-électrodes. En réalité, la variation du potentiel n’est pas linéaire dans le gap, comme nous l’avons déjà mentionné dans la partie précédente. Mais, cette approximation a été nécessaire dans le modèle analytique pour des raisons de simplification. En utilisant la transformation de Fourier rapide (FFT) à l’aide d'un script développé sous Matlab®, la forme d'onde du potentiel électrique *3, 1- à un instant donné peut être décomposée en multiples
harmoniques. Ces harmoniques sont dûs à la déformation de l’onde du potentiel électrique causée par la forme réclangulaire des électrodes. La Figure III.6 représente les dix premiers coefficients de Fourier *];- pour la fonction du potentiel électrique ( *3, 1-/ &) au dessus de la surface des électrodes. Pour ce cas de figure, les harmoniques les plus importants sont le fondamental avec une valeur de 0,670 et le deuxième harmonique avec une valeur de 0,264.
Les amplitudes des autres harmoniques sont très faibles et leur effet peut être négligé (pour
< 3 : 10, ]; ` 7,5 % ]D). Ce résultat signifie que le potentiel électrique peut etre décomposé en deux ondes qui se propagent dans deux directions différentes :
*3, 1, ,- L %aXY5 %X;b caXY*1-. cos .2/6 3 ! +,0 5 cX;b*1-. cos .4/6 3 5 +,0 (III.17)
avec ecaXY*1- &. ]D
*1-cX;b*1- &. ]@*1- (III.18)
Figure III.6. Les dix premiers coefficients de Fourier (< 1 : 10) du profil du potentiel électrique obtenus par simulation sur la surface des électrodes. Conditions : 1000 V, 50 Hz, 1 0 mm.
Ce résultat est en accord avec les résultats expérimentaux discutés précédemment. Dans un convoyeur à ondes progressives, les résultats expérimentaux nous ont montré que la plupart des particules se sont déplacées dans le sens direct, mais qu’une petite quantité s’est déplacée dans le sens inverse, probablement en raison de la deuxième onde.
Afin de bien voir la propagation des deux ondes en fonction du temps, nous avons tracé sur la Figure III.7 les distributions spatiales du potentiel électrique en 2D aux instants , 0,
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/6, /4, /3 et /2, de haut en bas respectivement. Dans cette simulation, la valeur de la
fréquence est fixée à 50 Hz.
Figure III.7. Distribution du potentiel électrique pour les instants , = 0, /6, /4, /3 et /2. Conditions :
1000 V, = 50 Hz, λ = 6 mm.
Figure III.8. Profils du potentiel électrique numérique total ( fgh) et ses deux composantes harmoniques directe (%aXY) et inverse (%X;b) pour
les instants , = 0, /6, /4, /3 et /2. Conditions : 1000 V, = 50 Hz, λ = 6 mm et
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En passant de , 0 s à , = /2, les valeurs extrêmes du potentiel électrique (zone
rouge) se déplacent de la gauche vers la droite (sens de la succession des phases). Par exemple, la première électrode (3 0) porte la tension maximale à l’instant , 0, alors qu’à
l’instant /3 c’est la deuxième électrode (3 2 mm) qui a la tension positive la plus élevée.
Par ailleurs, nous avons tracé les formes d’ondes du potentiel électrique en fonction de la position 3 pour 1 = 0,1 mm aux instants , = 0, /6, /4, /3 et /2. Les résultats sont
présentés sur la Figure III.8 ; la forme d’onde du potentiel électrique obtenue par simulation numérique FEM ( fgh) est illustrée en ligne noire, et la forme d’onde du potentiel électrique donnée par l’équation (III.17) en ligne rouge (%aXY5 %X;b). Cette onde est la somme des deux ondes du potentiel électrique %aXY et %X;b représentées en lignes verte et bleue, respectivement.
La distribution du potentiel électrique obtenue en ne considérant que les harmoniques les plus importants (harmoniques n°1 et 2) est proche de celle obtenue par simulation FEM. En fonction du temps, les deux ondes se propagent dans des directions opposées. En proche surface, l’amplitude de l’onde directe est environ deux fois supérieure à celle de l’onde inverse ; par ailleurs, sa longueur d’onde est deux fois celle de l’onde inverse.
Figure III.9. Vitesse de propagation des ondes directe et inverse en fonction de la fréquence pour différentes valeurs de λ.
La Figure III.9 représente l’évolution de la vitesse de propagation des deux ondes en fonction de la fréquence et de la période géométrique. Sur cette figure, les valeurs négatives signifient que l’onde se déplace dans le sens inverse. Pour les mêmes valeurs de fréquence et de période géométrique 6, la valeur de la vitesse de propagation de l’onde directe est deux
fois supérieure à celle de l’onde inverse. Les vitesses de propagation des deux ondes directe
iaXY et inverse iX;b sont données respectivement par les relations :
iaXY = . 6aXY = . 6 (III.19)
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avec, 6aXY et 6X;b sont les longueurs d’ondes directe et inverse respectivement. Les fréquences géométriques des ondes directe et inverse seront respectivement :
8aXY 61 aXY 1 6 (III.21) 8X;b 61 X;b 2 6 (III.22)