Simulation Numérique Directe (DNS)

3.2 Configuration de l’étude et équations du problème . . . . 51

3.2.1 Configuration de l’étude . . . . 51 3.2.2 Équations dimensionnelles . . . . 52 3.2.3 Équations adimensionnelles . . . . 52 3.2.4 Bilan . . . . 53

3.3 Conditions aux limites . . . . 54

3.3.1 Conditions d’entrée . . . . 54 3.3.2 Conditions de sortie . . . . 55 3.3.3 Conditions sur les plaques d’impact et de confinement . . . . 57

3.4 Schémas d’intégration temporelle . . . . 58

3.4.1 Méthode de projection : principe général . . . . 58 3.4.2 Formulation semi discrète . . . . 60 3.4.3 Critères de stabilité numérique . . . . 62

3.5 Schémas de discrétisation spatiale . . . . 64

3.5.1 Généralités . . . . 64 3.5.2 Opérateur hyperlaplacien . . . . 66

3.6 Dissipation numérique d’ordre élevé et méthode LES alternative . . . . 69

3.6.1 Principe de la méthode O4-SVV . . . . 70 3.6.2 Estimation du spectre de l’énergie cinétique . . . . 71 3.6.3 Dissipation à la coupure pour l’approche O4-SVV . . . . 76

3.7 Formulation discrète des équations . . . . 82

3.7.1 Formulation matricielle des schémas et conditions aux limites . . . . 82 3.7.2 Équations pleinement discrétisées . . . . 84

3.8 Résolution de l’équation de Poisson . . . . 87

3.8.1 Décalage de la grille de pression . . . . 88 3.8.2 Transformée de Fourier discrète en cosinus . . . . 88 3.8.3 Equivalence entre les opérateurs spectraux et les opérateurs aux différences

44 Chapitre 3. Méthodes Numériques

3.8.4 Procédure numérique pour le calcul de la pression . . . . 90

3.9 Architecture parallèle du code de calcul . . . . 91

3.9.1 La décomposition de domaine 2D . . . . 91 3.9.2 Quelques résultats de scalabilité . . . . 92

3.10 Bilan : méthodes numériques . . . . 94

Au cours de cette étude, nous avons développé et utilisé des outils de calcul numérique à partir du code de calcul Incompact3d. Ce code est développé depuis de nombreuses années au laboratoire avec l’objectif constant de disposer d’un code basé sur des méthodes simples et efficaces assurant une description très précise des écoulements turbulents à la fois en temps et en espace. Il repose sur l’utilisation de méthodes numériques de haute précision pour résoudre les équations de Navier-Stokes incompressibles sur un maillage cartésien. Il est possible de l’utiliser dans le cadre de la Simulation Numérique Directe (DNS pour Direct Numerical

Simulation en anglais) ou dans le cadre de la Simulation des Grandes Échelles (LES pour Large Eddy Simulation en anglais). Différents travaux ont permis de valider le code pour une classe variée d’écoulements libres et pariétaux allant des jets libres [79, 81] aux écoulements de sillage [107, 108, 77] en passant par les couches de mélanges [72, 80]. De nombreux développements numériques ont par ailleurs été réalisés au cours de la thèse de Laizet [68] et sont résumés dans l’article de Laizet et Lamballais [70]. Récemment, une version massivement parallèle du code a été développée [73] et a permis de réaliser différentes études de turbulence fondamentale, notamment pour les écoulements derrière une grille fractale [74, 69].

Dans ce chapitre, nous commençons par effectuer une rapide description des différentes méthodes classiquement utilisées pour la simulation numérique instationnaire des écoulements turbulents. Par la suite, nous détaillons les méthodes numériques mises en oeuvre dans notre code de calcul. Nous définissons la configuration du calcul ainsi que les équations du problème munies des conditions aux limites appropriées à notre étude. Puis nous présentons la méthode d’intégration temporelle ainsi que les schémas de discrétisation spatiale considérés au cours de nos travaux. Nous présentons alors une méthodologie simple permettant d’effectuer des calculs de type LES implicite en utilisant les schémas de dérivées secondes afin d’introduire une dissipation numérique restreinte à une gamme d’échelles souhaitée. Une méthode d’estimation de la dissipation à la coupure nécessaire à ce type d’approche est également proposée. Ensuite, nous revenons brièvement sur la méthode de résolution de l’équation de Poisson pour le champ de pression. Enfin, nous présentons l’architecture parallèle actuellement utilisée dans le code.

3.1 Méthodes de simulation instationnaire des écoulements

turbu-lents

La mécanique des fluides numérique (CFD) est un domaine dans lequel on cherche à étudier un écoulement en résolvant de façon approchée les équations du mouvement des fluides. En raison du caractère turbulent de la plupart des écoulements qui implique la prise en compte

3.1. Méthodes de simulation instationnaire des écoulements turbulents 45

d’une large gamme d’échelles spatiales et temporelles et du coût de calcul qui en résulte, différents niveaux d’approximation ont été développés dans l’histoire de la CFD. Ces approches peuvent être regroupées en trois grandes catégories :

• La Simulation Numérique Directe (DNS) consiste à résoudre de façon aussi précise que possible les équations complètes de la mécanique des fluides sans introduire de modéli-sation supplémentaire.

• La Simulation des Grandes Échelles (LES) consiste à résoudre seulement les équations pour les grandes échelles du mouvement et à modéliser les effets des petites échelles. Il est alors nécessaire de résoudre un problème de fermeture des équations.

• La résolution des équations de Navier-Stokes moyennées (RANS) consiste à séparer les champs de l’écoulement en contributions moyennes et fluctuantes et à résoudre les équa-tions du mouvement pour le champ moyen en modélisant les fluctuaéqua-tions turbulentes. Il faut dans ce cas également résoudre un problème de fermeture des équations.

Dans le cadre de ce travail, nous allons décrire les principes généraux des approches DNS d’une part et LES d’autre part. Dans la mesure où les approches RANS sont basées sur une vision stationnaire de l’écoulement nous ne décrirons pas plus en détail ces méthodes. Précisons, comme cela est rappelé dans les revues bibliographiques de Zuckerman et Lior [148] et de Dewan et al. [32], que les modélisations RANS montrent des difficultés importantes à fournir des prédictions précises et reproductibles pour tous les écoulements de jet en impact. Les difficultés principales des approches RANS classiques sont résumées ci-dessous :

• La position et l’amplitude du maximum secondaire du nombre de Nusselt ne sont pas ou mal prédits par les modèles standards k− ε et k − ω.

• Le nombre de Nusselt au point de stagnation est généralement également mal prédit par les modèles RANS de base. Cela est imputé au fait que l’hypothèse d’isotropie effectuée pour les modèles à viscosité turbulente n’est pas valide dans la zone de stagnation où le jet est dévié d’une direction principale axiale vers une direction principale radiale. • Enfin, ajoutons qu’il est difficile d’obtenir des solutions RANS ayant une précision

simi-laire dans toutes les régions de l’écoulement. À titre d’exemple, l’utilisation du modèle standard k− ε permet d’obtenir une excellente précision dans la région de jet libre mais aboutit à une précision faible dans les régions de stagnation et de jet de paroi [148] (par comparaison avec les mesures).

Notons tout de même que des méthodes hybrides de type RANS/LES ou encore de type RANS instationnaire (URANS) se développent activement actuellement (voir par exemple [67] pour des comparaisons de modèles hybrides RANS/LES sur une configuration de jet rond en impact).

3.1.1 Simulation Numérique Directe (DNS)

L’ambition de la DNS est de résoudre les équations de Navier-Stokes (1.8) en prenant en compte toutes les échelles qui constituent le spectre de l’énergie cinétique turbulente. La diffi-culté principale inhérente à ce type d’approche est rapidement mise en évidence en considérant

46 Chapitre 3. Méthodes Numériques

le rapport entre l’échelle intégrale de longueur L_f et l’échelle de Kolmogorov l_ηintroduites en introduction de ce mémoire dans la section 1.3.1 :

Lf

l_η ∼ ^u0_ν^Lf !3/4

∼ Re^3/4_Lf (3.1)

Ainsi, le nombre de point total du maillage N nécessaire pour décrire la totalité des échelles dans un écoulement turbulent [2] varie en trois dimensions comme

N∼ Re^9/4_L

f (3.2)

Il est clair que cette dernière relation impacte dramatiquement le coût de calcul et de stockage si l’on souhaite simuler entièrement un écoulement de nature industrielle (typiquement de l’ordre de Re≈ 106). À l’heure actuelle, comme le font remarquer Bailly et Comte-Bellot [2], il est amusant d’imaginer que si l’on souhaitait simuler par DNS l’écoulement complet autour d’un avion à réaction, la simulation du jet sortant de la tuyère à un nombre de Reynolds « réaliste » poserait déjà à elle seule un problème.

Cependant, les progrès considérables effectués ces dernières années en Calcul Haute Performance (HPC) (à la fois sur la gestion des calculs parallèles et sur le stockage et le traitement de grosses quantités de données) permettent désormais d’envisager des simulations directes d’écoulements complexes à des nombres de Reynolds relativement élevés et à des coûts abordables dans le cadre de travaux de recherche. On peut donner quelques exemples de DNS récentes avec les travaux de Schlatter et Örlü [122] sur une configuration de couche limite turbulente se développant jusqu’à Re_θ ≈ 4300 ou bien encore, les simulations de Laizet et Vassilicos [74] sur la décroissance de la turbulence générée derrière une grille fractale.

Les travaux présentés dans ce manuscrit s’inscrivent précisément dans une démarche qui vise à mettre à profit ces progrès récents afin d’analyser la structuration spatio-temporelle de l’écoulement de jet en impact. Il est à ce propos intéressant de souligner que très peu de travaux numériques utilisant la DNS ont été effectués sur cet écoulement. Récemment, on peut mentionner les études de Tsubokura et al. [130], de Jiang et al. [59] et de Rohlfs et al. [114] qui ont simulé par DNS des jets à faibles nombres de Reynolds (Re < 3000). Concernant les jets pleinement turbulents, des simulations directes ont été entreprises il y a plusieurs années par Satake et Kunugi [121] (ReD = 10000) mais il semble que la résolution utilisée par ces auteurs soit trop faible pour capturer la dynamique petite échelle de l’écoulement (voir par exemple les critères de résolution spatiale donnés pour la LES dans [44]).