Simulation aux grandes échelles

La simulation aux grandes échelles ou Large Eddy Simulation (LES) est une alternative entre la simulation directe et l’utilisation de modèle de turbulence de type RANS. En effet, les modèles de turbulence RANS ne sont pas toujours appropriés car beaucoup de physique peut être perdu lorsque l’amplitude des fluctuations est importante par rapport au mouvement moyen du fluide (Figure 4.10). Puisque les structures possédant de grandes échelles sont explicitement résolues, on s’attend à ce que la simulation LES soit plus fiable et précise que les modèles RANS pour l’étude des écoulements où dominent des structures instationnaires aux grandes échelles, tels que les écoulements décollés. L’idée de la simulation LES est de filtrer les équations de Navier-Stokes à une certaine échelle. Les tourbillons plus petits que la taille du filtre sont résolus à l’aide d’un modèle de sous-maille, et les plus grandes échelles de tourbillons, les structures cohérentes sont simulées. Dans un écoulement turbulent les grands tourbillons varient selon la géométrie étudiée tandis que les petits tourbillons ont un caractère beaucoup plus universel.

L’analyse spectrale de l’équation de Navier-Stokes permet d’introduire l’idée de petites échelles et de grandes échelles. La simulation LES consiste à ne simuler que les échelles inférieures à l’échelle dite de coupure 𝑘_𝑐, plutôt que de simuler numériquement toutes les échelles (DNS) (Figure 4.8).

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Figure IV-8 : Décomposition du spectre d’énergie de la solution associée à la simulation des grandes échelles .

La simulation LES implique l’utilisation d’une méthode de filtrage pour séparer les différentes échelles, échelles résolues et échelles modélisées. Cette séparation d’échelles n’est pas associée à une opération de moyenne statistique. Elle est appliquée sous la forme d’un filtre passe-bas en fréquence. Ce filtre est appliqué aux équations de Navier-Stokes afin d’obtenir le modèle mathématique caractéristique de la simulation aux grandes échelles.

𝑈(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝐺(𝑟, 𝑥)𝑈(𝑥 − 𝑟, 𝑡)𝑑𝑟+∞

−∞

(4.23) L’intégration est effectuée dans le domaine de l’écoulement et le filtre spatial passe bas 𝐺 satisfait la condition de normalisation suivante :

∫+∞𝐺(𝑟, 𝑥)𝑑𝑟 = 1

−∞

(4.24) La vitesse instantanée se décompose ainsi en une partie résolue la composante des grandes échelles 𝑢̅ ou composante résolue et une partie filtrée, les fluctuations aux petites échelles 𝑢′ ou composante de sous-maille.

𝑢(𝑥,𝑡) = 𝑢̅(𝑥, 𝑡) + 𝑢′(𝑥, 𝑡) (4.25) Ceci apparait analogue à la décomposition de Reynolds. Cependant, elle contient d’importantes différences.

En appliquant la décomposition (Eq. 4.25) aux équations de Navier-Stokes nous obtenons les équations de quantités de mouvements filtrées :

𝜕𝑢̅_𝑖 𝜕𝑡 + 𝜕 𝜕𝑥_𝑗(𝑢̅𝑖𝑢̅𝑗) = 1 𝜌 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑥_𝑖+ 𝜈 𝜕2_𝑢̅ 𝑖 𝜕𝑥_𝑗2 − 𝜕𝜏_𝑖𝑗 𝜕𝑥_𝑗 (4.26)

Ces équations (Eq. 4.26) sont en apparence identiques aux équations RANS. Elles requièrent la modélisation du tenseur de contraintes de sous-maille 𝜏̅_𝑖𝑗 définie par :

Log

(a

mplitude

)

Log(fréquence)

Résolution LES Modélisation LES

Echelles isotropes modèle de sous maille

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𝜏_𝑖𝑗 = 𝐿_𝑖𝑗+ 𝐶_𝑖𝑗 + 𝑅_𝑖𝑗 = (𝑢̅_𝑖𝑢̅_𝑗− 𝑢̅_𝑖𝑢̅_𝑗) + (𝑢̅_𝑖𝑢′_𝑗+ 𝑢̅_𝑗𝑢′_𝑖) + 𝑢′_𝑖𝑢′_𝑗

= 𝑢_𝑖𝑢_𝑗− 𝑢̅_𝑖𝑢̅_𝑗 (4.27)

Le tenseur de contraintes de sous-maille 𝜏_𝑖𝑗 représente l’influence des petites échelles (non- résolues) sur la dynamique des grandes échelles. Le premier terme 𝐿_𝑖𝑗 est appelé tenseur de

Leonard. Il représente les interactions entre deux tourbillons de grandes échelles afin de

produire les petites échelles de la turbulence. Le second terme, 𝐶_𝑖𝑗, le tenseur des termes

croisés, contient les interactions entre les grandes échelles et les tourbillons de petites

échelles. Il peut transférer de l’énergie dans les deux sens mais en moyenne il suit la cascade d’énergie. Le troisième terme, 𝑅_𝑖𝑗, le tenseur de Reynolds de sous-maille, SGS (Sub-Grid Scale), représente les interactions entre deux petites échelles afin de créer un tourbillon résolu. Il représente le transfert d’énergie des petites échelles vers les grandes échelles.

La modélisation du terme 𝜏_𝑖𝑗 s’effectue de façon analogue à la viscosité turbulente de l’approche moyennée en y introduisant le concept de viscosité de sous-maille 𝜈_𝑆𝐺𝑆. En général, un modèle est utilisé pour estimer la viscosité de sous-maille 𝜈_𝑆𝐺𝑆. Pour ce dernier,

OpenFOAM offre plusieurs alternatives. Dans ce travail, le modèle LES à une équation (one- equation) est utilisé car ce modèle est le plus adapté pour la modélisation des écoulements

confinés parmi les différents modèles SGS disponibles dans OpenFOAM pour reproduire le comportement en proche paroi. Le modèle à une équation exploite une équation de transport de l’énergie cinétique de sous-maille, afin de transporter l’énergie cinétique turbulente et suivre l’historique de la turbulence. Cette énergie cinétique est définie comme (Yoshizawa et Horiuti, (1985) ; Sagaut, (1998) ; Menon et al., (1996)) :

𝑘_𝑆𝐺𝑆 = 1

2∑ (𝑢2𝑖 − 𝑢̅𝑖2) 𝑖

(4.28) L’équation de transport 𝑘_𝑆𝐺𝑆 de l’énergie turbulente de sous-maille provient des équations de Navier-Stokes incompressibles filtrées et dérivées :

𝜕𝑘_𝑆𝐺𝑆 𝜕𝑡 + 𝜕(𝑈_𝑖𝑘_𝑆𝐺𝑆) 𝜕𝑥_𝑖 = 𝜏𝑖𝑗𝑆𝑖𝑗 − 𝜀 + 𝜕 𝜕𝑥_𝑖(𝜈 + 𝜈_𝑆𝐺𝑆 𝜎_𝑘 𝜕𝑘_𝑆𝐺𝑆 𝜕𝑥_𝑖 ) (4.29) Les trois termes de droite de l’équation représentent respectivement, la production, la dissipation et la diffusion de l’énergie cinétique de sous-maille. Le terme de contrainte de 𝜏_𝑖𝑗 est modélisé comme une viscosité turbulente de sous-maille :

𝜏_𝑖𝑗 = −2𝜈_𝑆𝐺𝑆𝑆_𝑖𝑗+2

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𝑆_𝑖𝑗 désigne le tenseur de contrainte de cisaillement du champ résolu défini par l’équation ci- dessous (Eq.4.31). 𝑆_𝑖𝑗 = 1 2( 𝜕𝑢̅_𝑖 𝜕𝑥_𝑗+ 𝜕𝑢̅_𝑗 𝜕𝑥_𝑖) (4.31)

La viscosité turbulente de sous-maille, 𝜈_𝑆𝐺𝑆, et la dissipation, 𝜀, peuvent être déterminées à partir :

𝜈_𝑆𝐺𝑆 = 𝐶_𝑘√𝑘∆ (4.32)

𝜀 = 𝐶_𝑒𝑘_𝑆𝐺𝑆3 2⁄ ⁄ ∆ (4.33) Dans le modèle de turbulence de sous-maille One-Equation, la viscosité turbulente 𝜈_𝑆𝐺𝑆 est supposée proportionnelle à la longueur caractéristique de sous-maille ∆= (𝑟∆𝑟∆𝜃∆𝑧)1 3⁄ _{et au}

coefficient 𝐶_𝑘. La valeur des coefficients des constantes de l’équation 𝐶_𝑘 et 𝐶_𝑒 utilisées par le modèle LES d’OpenFOAM est obtenue par des approximations multi-échelles réalisées par Yoshizawa, (1986).

Ce modèle de turbulence a récemment été utilisé dans la littérature par les auteurs Liu et al., (2005) et Poncet et al., (2013) pour simuler respectivement, un écoulement turbulent dans un espace annulaire tournant et dans un écoulement de Taylor-Couette.

Valeurs des coefficients du modèle LES :

𝐶_𝑘 𝐶_𝑒 𝜎_𝑘

0.094 1.048 1.0