Simulation de la couche de surface au-dessus d’un sol hétérogène

Simulation de la couche de surface au-dessus d’un sol

hétérogène particulier : un damier de rugosités

Ce Chapitre concerne l’analyse de la couche de surface au-dessus d’un sol hétérogène très particulier – un damier de rugosités – et a pour objectif de montrer l’influence du détail aérodynamique d’une surface hétérogène sur la dynamique de l’écoulement atmosphérique.

Après avoir donné les objectifs de cette étude à la Section 5-1 et avoir brièvement rappelé à la Section 5-2 les résultats obtenus par Jean-Philippe Costes sur le développement d’une couche limite interne sur un changement simple de rugosité aérodynamique, et sur des îlots de rugosité aérodynamique 2D et 3D ; la Section 5-3 présente les résultats des simulations d’un écoulement atmosphérique au-dessus d’un damier de rugosités aérodynamiques, avec détermination d’une longueur de rugosité aérodynamique effective ; puis dans la Section 5-4 est étudié l’impact sur l’écoulement du remplacement du damier de rugosités par un sol homogène dit « effectif » ; enfin ce chapitre se termine par une discussion sur l’ensemble de ces résultats et sur la possibilité de simplifier la représentation dynamique d’une zone urbaine [Section 5-5].

5-1 Objectifs

La capacité actuelle des ordinateurs ne permettant pas de détailler les éléments de rugosité du sol, la plupart des modèles atmosphériques aux échelles meso et petites meso représentent ces éléments de rugosité du sol de manière statistique. Ainsi aux échelles meso et petites meso, l'hétérogénéité du sol est représentée par un patchwork de surfaces homogènes, chacune de ces surfaces étant caractérisées par une rugosité aérodynamique, thermique et hydrique, une hauteur de déplacement, une température de surface moyenne – considérée équivalente à la température de l’air au niveau aérodynamique –, et une humidité spécifique de l’air à la surface – considérée équivalente à l’humidité spécifique de l’air au niveau aérodynamique. Sous-couche en équilibre au-dessus de la ville Niveau de référence Maille de calcul au sol Couche de transition Couche d’inversion Couche limite

atmosphérique Couche limite urbaine

Schéma 5-1 : Développement d’une couche limite urbaine

L’étude du comportement d’un écoulement atmosphérique face à un saut de rugosité a fait l’objet de nombreuses publications, et il ressort de celles-ci qu'une CLI se développe à chaque changement de rugosité entre deux surfaces homogènes pour des conditions de vent non nul. Si la taille des zones homogènes est de l'ordre de l'échelle locale alors l'influence des CLI reste confinée dans la sous-couche rugueuse ; si les échelles des zones homogènes sont de l'ordre des échelles des grands tourbillons de la CLA alors il se développe des CLI par intermittence, pas très bien définies car éliminées partiellement par ces tourbillons (Mahrt, 1996) ; et si les zones homogènes sont de taille plus importante, il se développe à chaque transition une CLI réellement bien définie car elle a suffisamment d’espace pour s’équilibrer avec la zone homogène. Dans ce dernier cas, les surfaces homogènes étant très étendues, les CLI ont assez d’espace pour se développer, et dans certains cas pour atteindre le haut de la CLA – c'est le cas pour la CLU d'une grande ville –, leur limite supérieure étant alors absorbée par la couche d'inversion située en haut de la CLA [voir Schéma 5-1].

Le premier objectif de ce Chapitre est d’étudier uniquement la structure dynamique d’un écoulement atmosphérique au-dessus d’une surface hétérogène très particulière : un damier de rugosité ; et de retrouver la structure de la couche de surface au-dessus d’un terrain hétérogène : sous-couche de rugosité suivie éventuellement d’une sous-couche en équilibre. Pour faciliter cette étude, la stratification thermique de l’atmosphère est neutre, l’air est sec et le sol est considéré comme plat sans hauteur de déplacement.

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Pour des simulations aux échelles meso, on est souvent amené à remplacer un ensemble de taches de rugosité par une seule tache de rugosité, afin de diminuer le nombre de mailles du domaine de calcul par agrandissement de la taille des mailles, et donc diminuer le temps de calcul. La ville est ainsi moins détaillée pour des simulations à grandes échelles qu’à petites échelles mais il convient de savoir dans quelle mesure. Il n’existe pas de méthode reconnue pour moyenner spatialement les paramètres de rugosité mis à part les quelques paramétrisations de la longueur de rugosité effective données à la Section 4-3-3. Le second objectif de ce travail concerne donc l’impact sur l’écoulement atmosphérique du remplacement du sol hétérogène par un sol dit « effectif », et donc de montrer l’intérêt de détailler ou non les hétérogénéités du sol. Plus particulièrement, cela consiste à remplacer le damier de rugosités par un sol homogène caractérisé par une longueur de rugosité aérodynamique égale à la Longueur de Rugosité Aérodynamique Effective (LRAE) évaluée à partir des profils de vitesse horizontale du vent au-dessus du damier.

Le code de calcul utilisé dans cette section est le code de mécanique des fluides CHENSI développé par Costes (1996) pour la simulation d’écoulements urbains aux petites meso-échelles. Ce code résout les équations de Navier-Stokes tri-dimensionnelles instationnaires, écrites en moyenne de Reynolds où la turbulence est décrite de façon statistique avec une fermeture à deux équations du type k . La précision est d’ordre 1 en temps et d’ordre 2 en espace. Ce code utilise une formulation discrète aux différences finies sur une grille cartésienne non homogène. Le schéma est explicite, c’est-à-dire que chaque variable est calculée au pas de temps n à partir de celles qui ont été calculées au pas de temps n-1. La localisation des variables est de type décalée : au centre des cellules sont localisées les grandeurs scalaires, et au centre des faces les composantes de la vitesse moyenne.

e

-5-2 Rappels des résultats de Costes (1996)

5-2-1 Simulations d’un écoulement abordant un simple

changement de rugosité aérodynamique

Costes a étudié le développement d’une CLI à partir d’un simple changement de rugosité aérodynamique 2D pour une stratification thermique neutre d’une atmosphère sèche. Différents types de changement de rugosité – doux-rugueux et rugueux-doux – ont été étudiés pour différents rapports de rugosité. La structure de la CLI obtenue est semblable à celle décrite dans la littérature récente [voir Schéma 5-2]. Proche du sol se situe une sous-couche en équilibre avec les nouvelles caractéristiques du sol ; cette sous-couche est visible sur la Figure 5-1 présentant le développement du profil verticale de flux de quantité de mouvement

z u w

u¢ ¢=n_t¶ ¶

- ; elle correspond à la zone où _-u¢w¢ est constant. Entre cette sous-couche en équilibre et le haut de la CLI – où l’on retrouve les caractéristiques de l’écoulement amont au saut de rugosité –, se trouve la sous-couche de transition où l’écoulement est influencé par la surface sous-jacente sans être en équilibre avec elle. Dans cette sous-couche de transition, la turbulence de la CLI mélange par intermittence l’air entre la sous-couche en équilibre et l’air situé au-dessus de la CLI (Mahrt, 1996).

La sous-couche de rugosité n’est pas visible car son épaisseur est inférieure à celle des cellules de calcul situées juste au-dessus du sol.

L’épaisseur de la CLI observé est comparable à celle obtenue par les modèles analytiques de Elliot (1958) et Panofsky & Townsend (1964). De même, l’évolution du cisaillement au

sol est en bon accord avec les travaux de Bradley (1968) et de Claussen (1987). Ces différentes comparaisons ont permis à Costes de valider les lois de paroi du code CHENSI.

Sous-couche en équilibre m 0 * z z ln u u k = x 0 z Sous-couche de transition

Schéma 5-2 : Développement d’une couche limite interne à un simple saut de rugosité aérodynamique. La distance x à partir de la transition prise pour origine est le fetch.

5-2-2 Simulations d’un écoulement abordant un îlot de

rugosité aérodynamique

Costes a aussi étudié le développement d’une zone perturbée induite par un îlot de rugosité aérodynamique 2D, toujours pour une stratification thermique neutre d’une atmosphère sèche. Comme observé par Claussen (1989a), une CLI se développe aussi bien au premier changement de rugosité – l’écoulement aborde l’îlot de rugosité – qu’au second changement de rugosité – l’écoulement quitte l’îlot de rugosité. Ces deux CLI se développent et finissent par se rejoindre, formant une zone perturbée. En aval de cette zone perturbée, l’écoulement retrouve les mêmes caractéristiques que l’écoulement amont à l’îlot de rugosité [voir Schéma 5-3]. Cette étude à permis d’observer que la hauteur de cette zone perturbée est plus élevée pour les paramètres de la turbulence – énergie cinétique turbulente et taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente – que pour la vitesse de l’écoulement. Ainsi, la structure des champs turbulents est plus perturbée par l’îlot de rugosité que les champs de vitesse. Costes souligne que ces résultats peuvent avoir « des conséquences importantes an niveau de la diffusion des polluants issus de la canopée urbaine. Cela met en évidence le fait qu’au-dessus d’une zone de plus forte rugosité, même si les polluants sont transportés avec la même cinématique, leur activité chimique peut être notablement plus importante. On sait en effet que l’activité des réactions chimiques est particulièrement sensible à l’intensité de la turbulence ».

Pour un îlot de rugosité aérodynamique 3D, lorsque la vitesse du vent est perpendiculaire aux changements de rugosité induits par l’îlot donc parallèle pour les autres cotés de l’îlot, aucun développement transversal de couche interne n’a été observé. Le phénomène de contournement de l’îlot de rugosité par l’écoulement reste très faible. Les extensions

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verticales et horizontales des zones perturbées sont moins grandes que pour les simulations 2D. Il semble donc que les simulations 2D surestiment les zones perturbées.

m 0 * z z ln u u k = x x=0 z x=Lx Zone perturbée

Schéma 5-3 : Développement d’une zone perturbée au-dessus d’un îlot de rugosité aérodynamique

5-3 Simulation d’un écoulement abordant un damier

de rugosités aérodynamiques

5-3-1 Conditions de simulation

Après avoir validé les lois de paroi pour un simple changement de rugosité [voir section 5-2-1], celles-ci sont appliquées pour un sol hétérogène particulier : un damier de rugosités aérodynamiques semi-infini, c’est à dire qu’un écoulement établi sur une surface homogène de longueur de rugosité aérodynamique aborde toujours perpendiculairement aux taches de rugosité – parallèlement pour les autres côtés des taches – un damier de rugosités semi-infini. Le damier de rugosité est caractérisé par ses dimensions et par les longueurs de rugosité aérodynamique de chacune de ses taches ; il est composé de deux types de tache [voir Schéma 5-4], les taches ayant une longueur de rugosité aérodynamique z correspondent aux taches du damier les plus rugueuses, et les autres taches ayant une longueur de rugosité aérodynamique identique à celle de la surface homogène amont au damier. Toutes les taches du damier ont la même dimension : une longueur dans la direction de l’écoulement, et une largeur dans la direction perpendiculaire à l’écoulement.

2 m 0 z 1 m 0 2 m 0 z y x L L

Le domaine de calcul utilisé est présenté sur le Schéma 5-4. Sur les parois latérales, des conditions de symétrie sont imposées afin de représenter le damier semi-infini ; ces conditions permettent de limiter le calcul à deux demi-rangées de taches de rugosité de largeur L_y 2. Des conditions de Laplace sont imposées à la sortie du domaine de calcul. Au sommet du domaine, un flux constant de quantité de mouvement est imposé. Les lois de paroi sont

imposées sur la face inférieure du domaine. La théorie de similitude utilisée par les lois de paroi n’est valable que pour des surfaces homogènes étendues, et il est supposé ici que l’écoulement situé dans la première maille au-dessus du sol est en équilibre avec les caractéristiques locales de la surface, la théorie de similitude étant donc supposée être valable localement. L’écoulement initial utilisé pour démarrer les simulations, est un écoulement en équilibre avec la surface homogène amont.

2 m 0 z 1 m 0 z Lx Ly/2 Entrée Sortie Vent

Schéma 5-4 : Domaine de calcul

Le maillage est cartésien, homogène dans la direction horizontale x, et raffiné dans les directions y au niveau de l’intersection des deux rangées de taches et dans la direction z au niveau du sol. Le maillage est composé de 153000 nœuds – 204 suivant x, 15 suivant y, et 50 suivant z.

Huit simulations ont été réalisées, elles sont décrites dans le Tableau 5-1. Le cas n°1 nous servira de calcul de référence pour la description de l’écoulement au-dessus du damier de rugosités.

5-3-2 Description de l’écoulement au-dessus du damier de

rugosités

Premières observations :

La Figure 5-2 représente à une altitude de 1 m et pour une zone du damier où l’écoulement

est totalement établi ( ) – loin du premier changement de rugosité

rencontré par l’écoulement –, les composantes de la vitesse u (a) longitudinale, v (b) transversale, w (c) verticale, et l’énergie cinétique turbulente k (d) pour le cas n°1 :

m, m, et m. m 950 x m 450 < < 001 . 0 2 m = 50 L_x = 01 . 0 z_0m1= z₀

Sur la Figure 5-2 (a), on peut observer la diminution de la vitesse u au-dessus des taches les plus rugueuses due à l’augmentation du frottement, et l’augmentation de la vitesse u au-dessus des autres taches. Ainsi, les transitions de rugosités de type doux-rugueux induisent un surplus de quantité de mouvement horizontal, et inversement pour les transitions de type rugueux-doux. Ceci se traduit par : i) une advection verticale à chaque transition, observable sur la Figure 5-2 (c) : la vitesse w est positive au-dessus d’une transition doux-rugueux et négative au-dessus d’une transition rugueux-doux ; ii) une légère advection latérale, observable sur la composante de vitesse v [Figure 5-2 (b)] ; et iii) une production d’énergie cinétique turbulente plus élevée au-dessus des taches les plus rugueuses [Figure 5-2 (d)].

La composante de vitesse v est inférieure de deux ordres de grandeur à la composante u, elle est quasiment nulle exceptée très près de la ligne de séparation entre les deux rangées de

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taches de rugosité du damier, où v alterne entre des valeurs positives et négatives. Le sens de la vitesse v à la transition des deux rangées de taches est toujours dans la direction de la tache qui a un manque de quantité de mouvement alors que la tache opposée a un surplus de quantité de mouvement. En fait, v est toujours dirigée dans le sens rugueux-doux, ce qui indique un contournement des taches les plus rugueuses. La composante de vitesse v étant très faible comparée aux autres composantes, le phénomène de contournement peut être considéré négligeable, ainsi que l’avait observé Costes pour un îlot de rugosité [voir Section 5-2-2].

Ainsi, à une altitude de 1 m au-dessus du damier, les transitions périodiques causent des advections verticales de quantité de mouvement, augmentant les échanges entre l’air au niveau de la surface et l’atmosphère. Sur la Figure 5-3 sont représentés les iso-contours de la composante de vitesse u au-dessus de la même zone du damier que pour la Figure 5-2, en fonction de l’altitude au-dessus du damier. Ainsi juste au-dessus de la surface, l’écoulement est très influencé par les caractéristiques locales de la surface où des sous-couches limites internes se développent à chaque transition de rugosité. A partir d’une altitude supérieure à 2 m, les différentes sous-couches internes commencent à se mélanger entre elles, la composante de vitesse u est alors de plus en plus horizontalement uniforme.

Au vu de ces premiers résultats, et pour l’ensemble des cas étudiés, l’écoulement situé au-dessus d’une rangée de taches du damier semble ne ressentir que très faiblement l’influence des autres rangées. Ainsi, en première approximation, l’écoulement au-dessus d’une rangée du damier peut être considéré comme indépendant de la structure au sol dans la direction transversale y.

Dans la suite de cette étude, les résultats seront présentés sur un « volume de contrôle » correspondant à une période du damier de rugosité [voir Schéma 5-4] où l’écoulement est établi sur le damier et suffisamment éloigné de la sortie du domaine de calcul pour éviter l’éventuelle influence des conditions de sortie. De plus, les champs résultats seront intégrés sur la largeur du « volume de contrôle », équivalente à la demi-largeur L_y 2 d’une rangée de taches de rugosité. Ce « volume de contrôle » est composé de plusieurs positions suivant la direction de l’écoulement, numérotées de 1 à 8, correspondantes aux positions du maillage dans la direction x. 1 2 3 4 5 6 7 8 2 m 0 z z_0m1

Schéma 5-4 : Représentation du volume de contrôle

Observation du développement d’une CLI se développant à la transition entre le

sol homogène amont et le damier de rugosité :

La Figure 5-4 présente les profils d’énergie cinétique turbulente obtenus au-dessus du damier pour le cas n°1, de l’origine du damier ( m) jusqu’à la sortie du domaine de calcul ( m) avec une distance entre les profils de 412.5 m. La partie supérieure de ces profils est constante, et elle correspond à l’énergie cinétique turbulente de l’écoulement amont qui n’est pas perturbée par le damier. La limite inférieure de cette partie supérieure du

0 x = 5 . 6187 x=

profil croît au fur et à mesure que l’écoulement s’éloigne du premier saut de rugosité. En fait, lorsque l’écoulement amont, en équilibre sur un sol homogène, rencontre le sol hétérogène – le damier de rugosités –, une CLI se développe à la transition entre la surface homogène amont et le sol hétérogène. Cette CLI s’épaissit au-dessus du damier, son épaisseur correspond à la hauteur à partir de laquelle le profil d’énergie cinétique turbulente retrouve une valeur constante égale à celle de l’écoulement amont. Les champs turbulents étant plus perturbés par les changements de rugosités que les champs de vitesse, la hauteur de la CLI doit être déterminée à partir des variables représentatives de la turbulence.

Structure de la CLI :

La Figure 5-5 présente la composante de vitesse u aux différentes positions situées à

l’intérieur du « volume de contrôle » pour le cas n°1 ( L , , et

). Près du sol, les profils de vitesse correspondant aux huit positions sont distincts : l’écoulement est influencé par le fetch local. A partir d’une certaine altitude, l’ensemble de ces profils de vitesse se rejoint pour former un profil unique. A cette altitude, le profil de vitesse n’est plus influencé pour les changements de rugosité périodiques. De même pour les profils de l’énergie cinétique turbulente [Figure 5-6] : près du sol l’énergie cinétique turbulente est très dépendante des transitions et du fetch local – les profils sont constants à proximité immédiate du sol du fait de la condition de gradient nul imposée par la loi de paroi –, et à partir d’une certaine altitude, plus élevée que pour les profiles de vitesse u, les profils d’énergie cinétique turbulente se rejoignent pour former un profil unique. Cette altitude est plus élevée pour l’énergie cinétique turbulente que pour la vitesse u, car les champs turbulents sont plus perturbés par les changements de rugosité que les champs de vitesse [voir section 5-2-2]. m 50 x = z_0m1 =0.01m m 001 . 0 z_0m2 =

A partir de cette hauteur, les sous-couches internes se développant à chaque changement de rugosité sont mélangées entre elles, et l’écoulement est horizontalement homogène. On définit cette hauteur comme la hauteur de mélange – blending height –, elle caractérise l’épaisseur de la sous-couche rugueuse. Les hauteurs de mélange données dans le Tableau 5-2 pour l’ensemble des cas étudiés ne sont qu’approximatives, le maillage n’étant peut-être pas assez fin près du sol. De ces valeurs, il apparaît que la hauteur de mélange augmente avec le rapport de rugosité z_0m1 z_0m2, ce qui s’explique par une augmentation en amplitude de l’advection verticale lorsque le changement de rugosité est plus abrupt, l’écoulement étant alors plus ralenti au-dessus des taches les plus rugueuses. Pour des sauts de rugosité élevés, le développement vertical des sous-couches internes est plus important, la sous-couche de