Similitudes

Afin de valider les caractéristiques du pilote inondation, une analyse des similitudes a été réalisée.

Rapport géométrique

Le quartier virtuel, élaboré dans le cadre du projet Hy2Ville [67, 66], s’étend sur une surface de 1 km par 1 km. Les rues les plus étroites mesurent alors 10 mètres de large, les artères mesurent 25 m de large. Le modèle réduit construit en laboratoire est à l’échelle 1/200. Le rapport entre les largeurs des rues et la largeur du quartier est conservé. Nous définissons alors l’échelle du plan par

λ_l= ^lm

l_M ⁼

1

200 ^{= 0, 005} (4.1)

avec l_m la largeur du modèle réduit et l_M la largeur dans la réalité.

Nous avons donc choisi d’imposer un échelle verticale de 1/20. En effet, pour des raisons de précision de mesure, il n’était pas possible de conserver la même échelle géométrique en altitude. Une hauteur d’eau extrême de 3 m, comme observée à Nîmes en 1988, aurait alors conduit à des hauteurs d’eau dans le modèle réduit de 1, 5 cm. Cependant, une telle hau-teur maximale dans le pilote sous-entend des hauhau-teurs bien inférieures dans certaines zones de recirculation ou d’accélération de l’écoulement. Pour des hauteurs d’eau inférieures à 1 cm, les imprécisions de mesure de la hauteur d’eau entraînent alors des incertitudes relatives beaucoup trop importantes sur tout le pilote inondation (Partie 4.1.4). De plus, des hauteurs d’eau trop faibles peuvent entraîner des nombres de Reynolds trop faibles pour considérer que

la similitude, en terme de turbulence, soit respectée. Ainsi une hauteur h_M dans la réalité de

3 m correspond à une hauteur h_m dans le modèle réduit de 0, 15 m. Nous définissons donc

λ_h= ^hm

h_M ⁼

1

20 ^{= 0, 05} (4.2)

doivent être évaluées expérimentalement. En effet, l’influence de la hauteur d’eau sur les écou-lements n’est pas connue : il est a priori possible qu’une hauteur d’eau importante privilégie le développement de phénomènes tridimensionnels dans les carrefours et modifie les mécanismes de répartition des débits. Pour cela, les expériences préliminaires font intervenir des hauteurs d’eau très différentes pour évaluer l’influence du rapport géométrique h/l sur les écoulements. Ce dernier va ainsi varier entre 1/3 (ratio réaliste observable) à 2 (ratio non observé dans la réalité).

En définissant l’échelle des vitesses comme le rapport entre les célérités des ondes dans le modèle réduit et les célérités des ondes dans la réalité, on aura

λv = ^vm vM = √ gh_m √ gh_M ⁼ ð λ_h≃ 0, 22 ^(4.3)

avec v_m et v_M les vitesses respectivement dans le modèle réduit et dans la réalité.

Le ratio des débits λ_Q devient alors

λQ= ^Qm

Q_M ⁼

vmhmlm

v_Mh_Ml_M ^{= λlλhλv = 5, 5 10}

−5 (4.4)

avec Q_m et Q_M les débits respectivement dans le modèle réduit et dans la réalité.

Nous considérons que les évènements les moins extrêmes simulés dans le quartier

expéri-mental correspondent à des hauteurs d’eau de h_M = 0, 2m associés à des vitesses de 1 m/s.

Cela correspond à un débit de 2 m3/s dans les petites rues et d’environ 5 m3/s dans les artères.

Cela revient à imposer dans le modèle réduit, d’après l’échelle des débits, un débit d’environ

0, 5 m3/h dans les rues et de 1, 25 m3/h dans les artères. De tels débits injectés à l’amont de

chacune des rues conduisent à un débit total injecté dans le quartier Q_tot= 10 m3/h.

Considérons maintenant le cas extrême avec les débits les plus importants. Mignot et al. ont présenté une étude sur les inondations de Nîmes en 1988 [73]. Ils décrivent une crue ex-trêmement rare, avec une période de retour estimée entre 150 et 250 ans avec des hauteurs

de 3m et des débits moyens dans les rues en sortie aux alentours de 17 m3/s. Certains débits

en sortie peuvent atteindre 50 m3/s. On suppose comme réaliste la situation où chaque petite

rue véhicule un débit de 20 m3/s et les artères un débit de 50 m3/s. De tels débits peuvent

être injectés dans le quartier expérimental en imposant des débits de 5 m3/h dans les rues et

12, 5 m³/h dans les artères. De tels débits injectés à l’amont de chacune des rues conduisent

Les résultats hydrauliques obtenus sur un modèle réduit peuvent être transposables à l’échelle réelle si la similitude en terme de nombre de Froude est respectée et si le nombre de Reynolds dans le modèle réduit est suffisamment important pour que les forces de viscosité soient négligées par rapport aux forces d’inertie [7, 69]. Le calcul de ces différentes grandeurs adimensionnelles est présenté ci-dessous.

Nombre de Froude

Le nombre de Froude est une grandeur adimensionnelle qui permet de comparer l’impor-tance des forces d’inertie par rapport aux forces de gravité. Lorsque les forces de gravité sont prédominantes, des ondes gravitaires peuvent se mettre en place, et se propager de l’aval vers l’amont. L’aval va donc en partie contrôler les écoulements : nous sommes alors en régime flu-vial. Lorsque que les forces d’inertie sont prédominantes, les ondes se propagent uniquement de l’amont vers l’aval. L’aval n’a dès lors a priori aucune influence sur l’écoulement. Nous sommmes alors en régime torrentiel.

La similitude du nombre de Froude permet de préserver le même rapport entre ces deux forces à différentes échelles, et donc de préserver la manière dont se propage l’information dans l’écoulement. Les crues classiques observées en milieu urbain peuvent avoir des nombres de Froude très variables compris entre 0 et 7 (comme étudié par Mignot dans [71]) en fonction du type de la crue, et surtout du phénomène qui l’a générée, de la topographie du terrain etc. Les simulations réalisées dans le cadre de la thèse sur le modèle réduit ont généralement un nombre de Froude inférieur à 0,4 en condition amont pour un nombre de Froude supérieur ou égale à 1 en sortie, imposé par la chute libre. Sur l’ensemble du pilote, l’écoulement est donc globalement en régime fluvial, avec des passages locaux en régime torrentiel. Les ex-périences réalisées durant cette thèse sont donc en similitude en nombre de Froude avec des écoulements typiquement fluviaux qui peuvent être observés dans le cas de crues par débor-dement de cours d’eau. Les expériences ne se placent donc pas dans un cas d’écoulements torrentiels classiquement observés lors d’orages ou de pluies extrêmes, faisant intervenir des temps caractéristiques beaucoup plus courts.

Conservation du nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds est une grandeur adimensionnelle correspondant au rapport entre les phénomènes convectifs et les phénomènes diffusifs dans un écoulement. Il est défini par

Re = ^u.d

ν avec u la vitesse caractéristique de l’écoulement, d la taille caractéristique de

l’écou-lement et ν la viscosité dynamique de l’eau. Il est un indicateur de l’état turbulent de ce dernier. En effet, lorsque l’effet diffusif de la viscosité domine, l’écoulement est laminaire. In-versement, dès que les phénomènes convectifs deviennent majoritaires, l’écoulement devient

turbulent (on considère en général que le seuil de turbulence est situé vers 4000). En consi-dérant les grandeurs caractéristiques des variables d’écoulement, on obtient un nombre de

Reynolds de l’ordre de 105 dans le modèle réduit, contre 107 dans le quartier virtuel. Le seuil

de turbulence est donc clairement franchi dans les deux cas. L’effet de la turbulence sur les écoulements sera donc a priori comparable aux deux échelles.