1 ce qui signifie :

1 + 1 n

, d’o` u ln(n + 1)

ln(n) = 1 + ln

1 + 1

n

ln(n) donc par somme :

n→+∞

lim

ln(n + 1) ln(n)

= 1.

Par somme, on a donc : lim

n→+∞

ln(n + 1) ln(n)

= 1 et lim

n→+∞







ln(n + 1) ln(n) +

− 1 n + 1 + 1

ln(n)





 = 1. Par

le th´ eor` eme des Gendarmes, on peut alors affirmer que lim

n→+∞













n

X

k=1

1 k ln(n)













= 1 ce qui signifie :

n

X

k=1

1 k ∼

+∞

ln(n).

5. En d´ eduire un ´ equivalent de (E(T

_n

))

_n>2

. D’apr` es les derni` eres questions, on a donc :

E(T

_n

) ∼

+∞

n ln(n).

BCPST 2 2020/2021

Sujet 15 Type Agro

Corrig´ e du TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Question de cours.

Donner la d´efinition d’une valeur propre ainsi que d’un sous-espace propre pour une matrice A∈ Mn(R).

Soitλun complexe.

• On dit queλest valeur propre deAlorsqu’il existe une matrice colonneX non nulle qui v´erifieAX=λX.

• Le sous-espace propre deAassoci´e `aλest l’ensemble : ker(A−λIn), c’est donc{X∈ Mn,1(R) tel queAX=λX}.

Exercice.

Soit (a1, a2, a3)∈C³. On consid`ere la matrice deM3(C) d´efinie par :A=





a1 a2 a3

a2 a3 a1

a3 a1 a2



.

On posej=−1 2+ i

√3 2 . 1. Calculerj²,j³ etj⁴.

On remarque quej= exp

i2π 3

. On a :

j²= exp

i4π 3

= exp(iπ) exp

iπ 3

=−exp iπ

3

=−j puisj³= exp (i2π), soitj³= 1. Cela donnej⁴=j.

2. (a) Soitretsdeux complexes non nuls. Montrer que la matriceM =

0 r² s² 0

est diagonalisable. Donner une base de vecteurs propres deM.

Soit λ un complexe. La matrice M −λI2 est inversible si et seulement si λ² −(rs)² 6= 0 car son d´eterminant est λ² −(rs)². M a donc deux valeurs propres rs et −rs : elle est donc diagonalisable. On note que le vecteur r

s

est vecteur propre associ´e `a rs, et −r

s

associ´e `a −rs. Une base de vecteurs propres deM est donc r

s

, −r

s

.

(b) La matriceM est-elle diagonalisable lorsquer= 0 ous= 0 ?

Si l’un des deux est nul, alors la matriceM est triangulaire, avec 0 pour seule valeur propre. Elle est donc diago-nalisable si et seulement si elle est nulle (car si elle est diagodiago-nalisable, elle peut s’´ecrireP0P⁻¹ avecP une matrice inversible car 0 est sa seule valeur propre, cela donne doncM = 0),ie.sir=s= 0.

3. ´Ecrire une fonctiondecalage(L)qui renvoie, siL= [a1, . . . , an], la listeL1= [a2, . . . , an, a1].

Utiliser cette fonction pour ´ecrire une fonctionmatrice(a 1,a 2,a 3)qui renvoie la matriceA.

On pourra par exemple compl´eter le script suivant :

def m a t r i c e(a_1,a_2,a_3):

A= . . . . L= . . . .

for i in ...

A.a p p e n d(L[ : ] ) ; ...

r e t u r n ...

Voici des fonctionsdecalage(L)qui fait ce qu’on veut et une fonctionmatrice(a 1,a 2,a 3)qui renvoie la matriceA.

def d e c a l a g e(l):

l c o p y = l[:]

l c o p y.a p p e n d(l c o p y.pop( 0 ) )

r e t u r n l c o p y

La matriceAest sym´etrique, et donc si elle est r´eelle, elle est diagonalisable.

5. Montrer queU =

est un vecteur propre deA. Quelle est la valeur propre associ´ee ? Calculons :

. On pourra utiliser sans justifier que la famille (U, X1, X2) est libre.

(a) CalculerAX1 etAX2. En d´eduire qu’il existe des complexesr etstels queAX1=s²X2 etAX2=r²X1. On constate que :

AX1= existent bien par le th´eor`eme de d’Alembert-Gauss.

(b) D´eterminer le spectre deA.On pourra exprimer les valeurs propres `a l’aide des complexes r et s introduits `a la question 6 et utiliser la question 2.

On a doncAX1 =s²X2 etAX2 =r²X1. Soit alorsϕl’endomorphisme deE, l’espace engendr´e par X1, x2) d´efini par :

ϕ(X1) =s²X2 etϕ(X2) =r²X1 ;

ϕest bien d´efini car on sait qu’un endomorphisme est caract´eris´e par l’image qu’il donne d’une base. La matrice de ϕdans la base (X1, X2) deE(famille libre cas sous-famille de la famille (U, X1, X2) qui est libre, g´en´eratrice deE par d´efinition deE) est doncM. On a alors, par la question 2,ϕ(rX1+sX2) =rs(rX1+sX2), etϕ(−rX1+sX2) =

−rs(−rX1+sX2). Finalement,

A(rX1+sX2) =rs²X2+sr²X1=rs(rX1+sX2) etA(−rX1+sX2) =−rs²X2+sr²X1=−rs(−rX1+sX2).

Plusieurs cas se pr´esentent alors :

• si (r, s)6= (0,0), alorsrX1+sX2 et−rX1+sX2 sont non nuls, la famille (X1, X2) ´etant libre. On a alors deux vecteurs propres deAassoci´es aux valeurs propres distinctesrset−rs. CommeU est aussi un vecteur propre de A, qui est d’ordre 3, et qu’on sait que la famille (U, X1, X2) est libre, on obtient suffisamment de valeurs propres pour affirmer que A est diagonalisable et que Sp(A) ={a1+a2+a3, rs,−rs}. Il ne peut pas y avoir d’autres si et seulement si

λa= 0, λb= 0 et λc=c(a1+a2+a3)

soit λ = 0 (valeur propre d´ej`a connue) ou a = 0 etb = 0 et c 6= 0 (pour ne pas avoir le vecteur nul) donc λ=a1+a2+a3.

Finalement, on a donc `a chaque fois :

Sp(A) ={a1+a2+a3, rs,−rs}.

7. Pr´eciser siAest diagonalisable siA=





1 j j² j j² 1 j² 1 j



puis siA=





j 1 0

1 0 j

0 j 1



.

(a) Supposons queA=





1 j j² j j² 1 j² 1 j



. On a icia1= 1,a2=jeta3=j². Doncs²= 1+j²+j= 0, etr²= 1+1+1 = 3.

An’a donc qu’une seule valeur propre, 0. Si elle ´etait diagonalisable, elle serait semblable `a la matrice nulle, ce qui n’est pas le cas.An’est donc pas diagonalisable.

(b) Supposons queA=





j 1 0

1 0 j

0 j 1



. On a icia1 =j,a2= 1 eta3= 0. Doncs²=j+j+ 0 = 2jetr²=j+j²=−1.

On peut donc prendres=√

2e^iπ3 etr=i. On a alors Sp(A) =n

1 +j,√

2ie^iπ3,−√ 2ie^iπ3o

.

La matriceAa trois valeurs propres distinctes, et donc est diagonalisable.

BCPST 2 2020/2021

Sujet 16 Type Agro

Corrig´ e du TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Question de cours.

A quelle(s) condition(s) sur sa fonction de r´^` epartition une variable al´eatoireX admet-elle une densit´e de probabilit´e ? Comment d´etermine-t-on alors une densit´e deX?

Il suffit de s’assurer que FX, la fonction de r´epartition de la variable al´eatoireX, est continue surRet de classeC¹ surR sauf en un nombre fini de points pour affirmer queX est une variable al´eatoire `a densit´e. On sait qu’une densit´e deXest alors la fonctionfsuivante :

f: sont deux vecteurs deR³, alors leur produit scalaire est :

hu, vi=u1v1+u2v2+u3v3.

Soitf un endomorphisme deR³ dont la matrice dans la base canonique deR³ est donn´ee par :

A=1

1. La matriceAest-elle diagonalisable ?

Montrer que Sp(A) ={0; 1}et d´eterminer les sous-espaces propresE0 etE1 def.

Aest une matrice sym´etrique `a cœfficients r´eels, on peut donc affirmer que : La matriceAest diagonalisable.

Soitλun complexe. Appliquons l’algorithme du pivot de Gauss `aA−λI3. On a : Les valeurs propres deAsont donc 0 et 1.

• Pour tout

 en utilisant les pr´ec´edents calculs ce qu’on peut faire car on n’a effectu´e que des op´erations sur les lignes

⇔

Ainsi, Ker(A) est Vect



est une base (libre car constitu´ee d’un seul vecteur et il est non nul et puis g´en´eratrice par d´efinition du Vect ) de Ker(A).

• De mˆeme, on obtient que, pour tout

 en utilisant les pr´ec´edents calculs ce qu’on peut faire car on n’a effectu´e que des op´erations sur les lignes

⇔

Ainsi, Ker(A−I3) est Vect

est une base (libre car deux matrices non colin´eaires et g´en´eratrice par d´efinition du Vect ) de Ker(A−I3).

Comme f est l’ endomorphisme de R³ dont la matrice dans la base canonique de R³ est A, on d´eduit des calculs pr´ec´edents que :

Une base deE0 est ((−1,−2,1)), une base deE1 est ((−2,1,0),(1,0,1)).

2. La matriceAest-elle inversible ? On a vu que Ker(A) est Vect

, Ker(A) n’est donc pas r´eduit au vecteur nul. Cela permet d’affirmer que :

An’est pas inversible.

3. ´Ecrire une fonction Pythonprojqui prend en argument une matrice carr´eeM (entr´ee par exemple sous la forme d’une liste de listes) et qui renvoie un bool´een :TruesiM²=M,Falsesinon.

Tester cette fonction sur la matriceA.

Voici une fonction Pythonprojqui prend en argument une matrice carr´eeM(on s’est permis de se limiter `a des matrices de taille 3) et qui renvoie un bool´een :TruesiM²=M,Falsesinon :

En testant cette fonction sur la matriceA, on en d´eduit queA²=A,Aest donc la matrice d’un projecteur.

Pour une question un peu plus loin :

Voici une fonction Pythonpsprenant en argument deux vecteurs deR³ et retournant leur produit scalaire : def ps(u,v): canonique deR³estA, on peut alors affirmer que :

Im(f) =E1.

5. ´Ecrire une fonction Pythonps prenant en argument deux vecteurs deR³ cod´es sous forme de tableaux numpy ou de listes, et retournant leur produit scalaire.

D´ej`a donn´ee !

6. (a) Montrer que les deux sous-espaces propresE0 etE1 sont orthogonaux, c’est-`a-dire :

∀u∈E0, ∀v∈E1, hu, vi= 0.

On pourra ´eventuellement utiliser la fonctionps.

Soientuun ´el´ement deE0etvun ´el´ement deE1. D’apr`es la question 1, on peut affirmer qu’il existe trois r´eelsa,b etctels que :

u=a(−1,−2,1) et v=b(−2,1,0) +c(1,0,1)

soit u = (−a,−2a, a) et v = (−2b+c, b, c). Quand on teste avec la fonction ps, on obtient 0. On peut aussi le d´emontrer math´ematiquement :

hu, vi= 2ab−ac−2ab+ac

= 0

Les deux sous-espaces propresE0 etE1 sont bien orthogonaux.

(b) En d´eduire que pour tout vecteurx∈R³, on a :

f(x)∈E1 et∀y∈E1, f(x)−xorthogonal `ay.

On a donc montr´e quef´etait la projection orthogonale surE1.

Soitxun vecteur deR³. On a vu dans la question 4 quef(x) appartenait `aE1 puisque Im(f) =E1. De plus, comme f<sup>2</sup>=f(carA<sup>2</sup>=A,A<sup>2</sup>est la matrice canoniquement associ´ee `af²,Aest la matrice canoniquement associ´ee `af et les matrices caract´erisent les applications lin´eaires), on peut affirmer quef(x)−xappartient `aE0 car :

f(f(x)−x) =f²(x)−f(x) par lin´earit´e def

= 0 carf²=f

D’apr`es la question pr´ec´edente, on peut donc affirmer quef(x)−xest orthogonal `a n’importe quel vecteurydeE1. On a bienf(x)∈E1et∀y∈E1, f(x)−xorthogonal `ay.

7. D´eterminer une base orthonormale deE1. En d´eduire, en utilisant la fonctionps, une valeur approch´ee de la distance du vecteurt= (1; 2; 1) `a l’espaceE1 `a 10⁻² pr`es.

On a vu qu’une base deE1 est ((−2,1,0),(1,0,1)). Soitαun r´eel. On appelleule vecteur (−2,1,0) +α(1,0,1), on a doncu= (−2 +α,1, α). On a :

uorthogonal `a (−2,1,0)⇔ hu,(−2,1,0)i= 0

⇔ −2(−2 +α) + 1 = 0

⇔α=5 2. Posons doncu=

1 2,1,5

2

.uest (−2,1,0) +5

2(1,0,1),uest donc un ´el´ement deE1. ((−2,1,0), u) est donc une base deE1 (famille libre (car constitu´ee que de deux vecteurs et ils sont non colin´eaires), ayant deux ´el´ements (qui est la dimension deE1 car on sait que une base deE1 est ((−2,1,0),(1,0,1))) et famille deE1 (on vient de le voir)). Cette base est orthogonale. En normant ces vecteurs, on obtient que :

1

√5(−2,1,0), 2

√30 1

2,1,5 2

est une base orthonormale deE1. D’apr`es le cours, on sait que :

d(t, E1) =||t−f(t)||

=||(1,2,1)−1

6(2,4,10)||

=||1

3(2,4,−2)||

=

√24 3 d(t, E1) vaut

√24

3 , soit environ 1,63.

On ne l’a pas d´eduit ni de la base orthonormale trouv´ee, ni de la fonctionps... On peut signaler que : f(t) =ht, 1

√5(−2,1,0)i 1

√5(−2,1,0) +ht, 2

√30 1

2,1,5 2

i 2

√30 1

2,1,5 2

ce qui permet d’´evaluerf(t) en utilisantpsmais cela n’a pas beaucoup d’int´erˆet...

BCPST 2 2020/2021

Sujet 17 Type Agro

Corrig´ e du TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Question de cours.

Enoncer le th´^´ eor`eme de Rolle.

Le th´eor`eme de Rolle affirme que sif est une fonction continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[ et telle quef(a) =f(b) (avec aetbdeux r´eels tels quea < b) alors il existe un r´eelc∈]a, b[ qui v´erifief⁰(c) = 0.

Exercice.

Une compagnie fait passer des entretiens d’embauche `ancandidats. On suppose que la comp´etence de chaque candidat est quantifi´ee par une variable al´eatoireXi suivant une loi uniforme sur [0; 1], d’autant plus ´elev´ee que le candidat est comp´etent.

De plus, on suppose que les variables (X1, . . . , Xn) sont mutuellement ind´ependantes.

A la fin de chaque entretien, la compagnie doit imm´` ediatement donner sa d´ecision : soit elle embauche le candidat, soit elle passe au suivant, sans possibilit´e de revenir sur ses pas. La compagnie cherche `a ´elaborer une strat´egie qui lui permettrait de maximiser l’esp´erance de la comp´etence du candidat qu’elle choisira. Pour ce faire, elle d´ecide de fixer un seuil s∈ [0; 1]. Si, parmi lesn−1 premiers candidats, aucun ne d´epasse le seuil, la compagnie embauchera le dernier candidat. Sinon, elle choisira le premier candidat qui d´epasse le seuil.

Pour toutk∈J1;n−1K, on noteAkl’´ev´enement : ” pour touti∈J1;k−1K,Xi< s, etXk>s”, etBl’´ev´enement : ” pour toutk∈J1;n−1K,Xk< s”.

On d´efinit par cons´equent la variable al´eatoireZn,s, comp´etence du candidat retenu, comme suit : Zn,s=

Xn siB est r´ealis´e,

Xk siAk est r´ealis´e (16k6n−1) .

1. (a) ´Ecrire un programme Python qui prend en argument un r´eels∈[0; 1], un entier naturel non nuln, et retourne une r´ealisation deZn,s.

Voici une fonction Python qui prend en argument un r´eel s ∈[0; 1], un entier naturel non nul n, et retourne une r´ealisation deZn,s:

i m p o r t r a n d o m as rd def e m b a u c h e(n,s):

i = 0

x = 0

w h i l e i<n and x < s: # pas t r o u v e e n c o r e de bon c a n d i d a t i+=1

x = rd.r a n d o m() r e t u r n x

En approximant l’esp´erance par la moyenne empirique grˆace `a la loi faible des grands nombres, on propose le programme suivant pour retourner une valeur approch´ee de la comp´etence moyenne du candidat recrut´e via ce protocole :

def c o m p e t e n c e(n,s):

N = 1 0 0 0 c o m p = 0

for _ in r a n g e(N):

c o m p += e m b a u c h e(n,s)/N r e t u r n c o m p

Pour la derni`ere question, on propose le script suivant pour tracer sur un graphique l’´evolution de la valeur deE(Zn,s) en fonction despour diff´erentes valeurs den:

i m p o r t m a t p l o t l i b.p y p l o t as plt for n in [5 ,10 ,50]:

N= 1 0 0

s = np.l i n s p a c e(0 ,1 ,N+2) s = s[1: -1]

y= []

for val in s:

y.a p p e n d(c o m p e t e n c e(n,val)) plt.p l o t(s,y)

xs = (1/n) * * ( 1 / (n- 1 ) ) ys = . 5 * ( 1 +xs-xs**n)

plt.p l o t([xs] ,[ys] ,m a r k e r=’ o ’) plt.s h o w()

(b) En d´eduire un programme qui retourne une valeur approch´ee de la comp´etence moyenne du candidat recrut´e via ce protocole.

D´ej`a donn´ee !

2. CalculerE(Zn,0) etE(Zn,1).

• Si le seuil est fix´e `a 0, alors le premier candidat sera presque sˆurement embauch´e. Ainsi, on peut affirmer que : E(Zn,0) =E(X1) = 1

2.

• Si le seuil est fix´e `a 1, alors presque sˆurement aucun candidat n’aura la comp´etence n´ecessaire, et donc le dernier candidat sera embauch´e. Ainsi

E(Zn,1) =E(Xn) =1 2.

Les esp´erances deX1 etXn ont ´et´e donn´ees en utilisant le fait queX1 commeXnsuit une loi uniforme sur [0,1].

3. Montrer que, pour toutt∈[0; 1], on a :P(B∩[Zn,s6t]) =sⁿ⁻¹t.

Sis= 0, alors la probabilit´e deB est nulle, et donc la probabilit´e cherch´ee est nulle aussi, et l’´egalit´e est vraie. Sis >0, alorsP(B)6= 0, et par la formule des probabilit´es compos´ees, on a :

P(B∩[Zn,s6t]) =PB(Zn,s6t)P(B).

Sachant queBest r´ealis´e,Zn,sestXn, on a donc :

PB(Zn,s6t) =P(Xn6t) =t

carXn suit une loi uniforme sur [0,1]. Ensuite, pour que B soit r´ealis´e, il faut avoir Xi < spour touti∈J1, n−1K. Chacun des ces ´ev´enements est de probabilit´es(on exploite la loi connue desXi), et par ind´ependance, on a donc

P(B) =sⁿ⁻¹. Finalement, la probabilit´e cherch´ee vaut biensⁿ⁻¹t.

Dans toute la suite de l’exercice, on suppose que 0< s <1.

4. Soitt∈[0; 1]. Pour toutk∈J1;n−1K, montrer que : P(Ak∩[Zn,s6t]) =

(t−s)s^k−1 sit>s 0 sit < s . On a par ind´ependance des candidats et en exploitant la loi connue desXi:

P(Ak∩[Zn,s6t]) =P([X1< s]∩[X2< s]∩ · · · ∩[Xk−1< s]∩[s6Xk6t])

=P([X1< s])× P([X2< s])× · · · P([Xk−1< s]∩[s6Xk6t])

=

(s^k−1(t−s) sit>s 0 sit < s

5. En d´eduire la valeur de la probabilit´eP(Zn,s6t) en fonction det∈[0; 1].

On peut appliquer la formule des probabilit´es totales, avec le syst`eme complet d’´ev´enements (B, A1, . . . , An−1). Sit>s, en utilisant les questions pr´ec´edentes, on obtient :

P(Zn,s6t) =P(B∩[Zn,s6t]) +

n−1

X

k=1

P(AK∩[Zn,s6t])

=sⁿ⁻¹t+

n−1

X

k=1

s^k−1(t−s)

=tsⁿ⁻¹+ (t−s)1−sⁿ⁻¹ 1−s

Sit < s, on a alors :

P(Zn,s6t) =P(B∩[Zn,s6t]) +

n−1

X

k=1

P(AK∩[Zn,s6t])

=sⁿ⁻¹t+

n−1

X

k=1

0

=tsⁿ⁻¹

6. Montrer queZn,sest une variable `a densit´e, et en donner une densit´e.

Ainsi, la fonction de r´epartition de Zn,s est continue (on v´erifie facilement la continuit´e en t), de classe C¹ sauf

´eventuellement ens.Zn,sest donc une variable `a densit´e et, d’apr`es le cours, qu’une densit´ef deZn,sest :

f:







R - _R

t

-(sⁿ⁻¹ sit=s F_Z⁰_n,s(t) sinon soit :

f:t7→





 1−sⁿ

1−s sit > s sⁿ⁻¹ sit6s car 1−sⁿ

1−s =1−sⁿ⁻¹

1−s +sⁿ⁻¹.

7. En d´eduire que :E(Zn,s) =¹₂(1 +s−sⁿ).

On peut donc calculer l’esp´erance deZn,s, la densit´e ´etant continue par morceaux sur [0,1] et nulle ailleurs : E(Zn,s) =

Z s 0

tf(t)dt+ Z1

s

tf(t)dt

=sⁿ⁻¹1

2s²+1−sⁿ 1−s

1 2(1−s²)

= 1

2sⁿ⁺¹+1

2(1−sⁿ)(1 +s)

= 1

2(1−sⁿ+s)

8. D´eterminer le seuils^∗nqui maximise la comp´etence moyenne du candidat embauch´e en fonction den.

On introduit la fonctinonϕ:]0,1[→Rd´efinie par :

∀s∈]0,1[, ϕ(s) =1

2(1−sⁿ+s). Alorsϕest d´erivable par somme, et pour touts∈]0,1[, on a :

ϕ⁰(s) = 1

2 1−nsⁿ⁻¹ .

La fonctionϕest donc croissante suri

0, _n¹_n−1¹ i

et d´ecroissante surh

1 n

_n−1¹ ,1h

. Elle admet donc un maximum ens^∗_n avec :s^∗n= _n¹_n−1¹

, qui vaut

ϕ(s^∗n) = 1 2 1 +

1 n

_n−1¹

− 1

n _n−1ⁿ !

.

9. `A l’aide de la fonction programm´ee en 1.(b), tracer sur un graphique l’´evolution de la valeur deE(Zn,s) en fonction de spourn= 5,10,50, et v´erifier les conclusions de la question pr´ec´edente dans ces cas.

D´ej`a donn´ee. On a obtenu les graphiques suivants pour des valeurs denrespectives de 5 puis 10 puis 50 :

On constate que c’est tout `a fait coh´erent.

BCPST 2 2020/2021

Sujet 18 Type Agro

Corrig´ e du TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques Question de cours. Qu’appelle-t-on racine d’un polynˆ ome ? Qu’appelle-t-on ordre de mul-tiplicit´ e d’une racine d’un polynˆ ome ?

• Soient P ∈ K [X] un polynˆ ome et a ∈ K ; on dit que a est racine de P si et seulement si P (a) = 0.

• On dit que a est racine d’ordre k de P (k ∈ N

^∗

) si et seulement si (X − a)

^k

divise P mais (X − a)

^k+1

ne divise pas P (ce qui signifie qu’il existe un polynˆ ome Q tel que P = (X − a)

^k

Q avec Q(a) 6= 0).

Exercice.

On souhaite estimer un param` etre p ∈]0; 1[. On note : q = 1 − p.

Soit un entier naturel non nul n fix´ e. On consid` ere X

₁

, . . . , X

_n

des variables al´ eatoires, ind´ ependantes, suivant une mˆ eme loi de Bernoulli de param` etre p et d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilis´ e.

On note : X

_n

= 1 n

n

X

k=1

X

_k

et Y

_n

= 1 n

n

X

k=1

Dans le document Corrig´ e du TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques (Page 58-70)