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FIGURE5.1 – Exemple de la vari´et´e des expressions avec une tessellation de Delaunay en
dimen-sion 2 (K = 8, n = 2). Chaque expression poss`ede K = 8 composantes. Repr´esentation dans un
espace de dimension 3 (trois premi`eres composantes).
FIGURE5.2 – Projection orthogonale sur la vari´et´e.
5.2 La Signature d’une Expression
Les expressions similaires sont organis´ees de la mˆeme fac¸on d’une personne `a une autre, si bien qu’une expression peut ˆetre d´efinie par sa position relative par rapport aux autres expressions. Nous utilisons cette propri´et´e pour associer une signature ind´ependante de la personne `a une nouvelle expression.
5.2 La Signature d’une Expression 65
5.2.1 D´efinition de la signature
La signature d’une expression est d´efinie selon deux caract´eristiques : la direction et l’inten-sit´e. Ces deux caract´eristiques sont calcul´ees par rapport aux valeurs des 8 expressions connues formant l’organisation des expressions.
Le visage neutre ´etant au centre de la vari´et´e, la direction est donn´ee par l’inclinaison entre le neutre et l’expression ; et l’intensit´e correspond `a la distance entre le neutre et l’expression (voir figures 5.3 et 5.4).
Plus pr´ecis´ement, ces coordonn´ees sont calcul´ees de la fac¸on suivante :
• la direction est donn´ee par les coordonn´ees barycentriques du point d’intersection entre le vecteur neutre / expression et la surface ext´erieure de la vari´et´e,
• l’intensit´e est donn´ee par la norme du vecteur entre le neutre et l’expression, normalis´ee de fac¸on `a ce que la surface de la vari´et´e ait une intensit´e de 1.
❳❨❩❬ ❭❪❫❬ ❴ ❵ ❛ ❜ ❝ ❞ ❡ ❢ ❣ ❤ ✐❥ ❦ ❧ ✐♠ ♥ ❥ ✐ ❦❧ ♦ ♣qr ❦ ❦ ❦ ✐s t ❦ ❦ ✐ ♥❥ ❦ ❦ ❦ ❦ ✐♠❤ ✉qr ✈✇①②③ ④⑤ ⑥⑦⑧✇⑥⑦ ⑨ ④ ✇⑩ ②❶ ✇②④⑦②❷ ✇④ ❸ ⑧✇⑥⑦ ⑨ ④✇⑩ ② ✇②④⑦ ②❷ ✇④❸ ❹❺❜❳ ❹❺ ❝ ❣ ❹❺❢❛ ❻
FIGURE 5.3 – Transformation des vecteurs d’apparence (ABM) en une signature
direction-intensit´e (OBM) (K = 8, n = 2). ❼ ❽❾❾ ❿ ❽➀➁ ❾ ❽➁➂ ➃ ➄➅ ➆ ➇ ➈ ➉ ➊ ➋ Ύ ➌ ➍➎ ➏➐➑➒ ➓ ➐➔ →➣↔↕ →➣↔➍ →➣➈➈ →➣➉➋ ➁ ➁ ❽❿❾ ➁ ➁ ❽➂ ➙ ➁ ➁ ➁ ❽➀➀ ➁ ➁ ❽❿ ➛ ➜➅ ➆ ➝➞➟➠ ➡➢➤➥ ➦➧➞➥ ➦➨ ➢➞➩➠ ➫ ➞➠ ➢➦ ➠ ➭ ➞ ➢ ➯ ➧➞➥ ➦➨ ➢ ➞➩ ➠ ➞➠ ➢➦➠ ➭ ➞ ➢➯
FIGURE 5.4 – Transformation des vecteurs d’apparence (ABM) en une signature
5.2.2 Exemples en dimensions 2 et 3
Dans l’exemple de la figure 5.3, l’expression est projet´ee sur la surface ext´erieure de la vari´et´e. Elle tombe dans le segment form´e par les expressions 3-5. Les coordonn´ees barycentriques de la projection dans ce segment sont 0.59-0.41, c’est-`a-dire que
0.59 ∗ (ExprSurf ace− Expr3) + 0.41 ∗ (ExprSurf ace− Exp5) = 0 (5.1)
o`u ExprSurf acecorrespond aux coordonn´ees de la nouvelle expression projet´ee sur la surface
ext´erieur de la vari´et´e et Expriaux coordonn´ees de l’expression i formant la vari´et´e.
La direction est donc le vecteur de8 composantes [0 0 0.59 0 0.41 0 0 0].
L’intensit´e est de0.83 car l’expression ExprApproximationest situ´ee `a0.83 de la surface de la
vari´et´e :
ExprN eutre− ExprApproximation= 0.83(ExprN eutre− ExprSurf ace) (5.2)
Dans l’exemple de la figure 5.4, l’expression est projet´ee sur la surface ext´erieure de la vari´et´e. Elle tombe dans le triangle form´e par les expressions 2-4-7 (l’expression 4 n’est pas visible sur le sch´ema, elle se trouve de l’autre cˆot´e de la sph`ere). Les coordonn´ees barycentriques de la projection dans ce triangle sont 0.41-0.26-0.33, c’est-`a-dire que
0.41∗(ExprSurf ace−Expr2)+0.26∗(ExprSurf ace−Exp4)+0.33∗(ExprSurf ace−Exp7) = 0
(5.3)
o`u ExprSurf acecorrespond aux coordonn´ees de la nouvelle expression projet´ee sur la surface
ext´erieur de la vari´et´e et Expriaux coordonn´ees de l’expression i formant la vari´et´e.
La direction est donc le vecteur de8 composantes [0 0.41 0 0.26 0 0 0.33 0].
L’intensit´e est de0.48 car l’expression ExprApproximationest situ´ee `a0.48 de la surface de la
vari´et´e :
ExprN eutre− ExprApproximation= 0.48(ExprN eutre− ExprSurf ace) (5.4)
De fac¸on plus g´en´erale, pour chaque expression, la direction est donn´ee par K composantes
form´ees par les n coordonn´ees barycentriques et K− n coordonn´ees nulles (o`u K est le nombre
d’expressions connues formant la vari´et´e et n la dimension de la vari´et´e). L’intensit´e est donn´ee
par une composante. La signature direction-intensit´e est alors un vecteur de K+ 1 ´el´ements.
5.2.3 Les signatures sur une carte 2D
Afin de pouvoir comparer visuellement les signatures d’expressions inconnues similaires de sujets diff´erents, nous avons r´ealis´e une carte 2D de la vari´et´e 3D. La surface ext´erieure de la vari´et´e a ´et´e d´epli´ee. La figure 5.5 montre cette carte. Le bord droit et le bord gauche sont iden-tiques, il s’agit de la mˆeme arrˆete de la vari´et´e lorsque celle-ci est repli´ee. De mˆeme, les bords haut droit et haut gauche sont identiques ainsi que les bords bas droit et bas gauche. Les expressions connues sont repr´esent´ees par des ´emoticˆones, caract´erisant l’expression que les sujets devaient reproduire (voir la description de la base de donn´ees dans la section 6.1).
La figure montre aussi les signatures de 8 expressions inconnues similaires de 4 sujets. Chaque type d’expression est donn´e par un motif diff´erent (+, , ♦, ...). L’intensit´e est donn´ee par la taille du motif. Lorsque l’intensit´e est tr`es faible, nous n’avons pas affich´e l’expression car sa direction
5.2 La Signature d’une Expression 67
n’a alors plus de signification. Nous constatons que les signatures des expressions similaires se retrouvent dans les mˆemes zones de l’espace. Elles peuvent donc ˆetre utilis´ees pour d´efinir de fac¸on unique une expression.
Phase d apprentissage Phase de test
FIGURE5.5 – Signatures de 8 expressions inconnues similaires de 4 sujets. Vari´et´e de dimension
3 (n= 3) repr´esent´ee sur une carte 2D.
5.2.4 Reconnaissance par un algorithme de vote
Nous avons vu sur la figure 5.5 que des expressions similaires de personnes diff´erentes avaient des signatures proches. Nous proposons dans ce paragraphe un algorithme permettant de v´erifier cette constatation en effectuant la reconnaissance des expressions non incluses dans les bases d’apprentissage.
Algorithme 2 Pertinence de la signature d’une expression non incluse dans les bases
d’apprentis-sage
Require: Signatures de M expressions non incluses dans les bases d’apprentissage pour P sujets for chaque expression e non incluse dans les bases d’apprentissage (e= 1..M ) do
for chaque sujet i, i= 1..P e do
for chaque sujet j, j= 1..P, j 6= i do
Calcul de l’expression pi,j du sujet j qui est la plus proche de l’expression e du sujet i
(algorithme du plus proche voisin)
end for
Calcul de l’expression pila plus fr´equente des pi,jlorsque j varie (algorithme de vote)
end for
Calcul du taux de reconnaissance de l’expression e : Pe1 ∗ sumP
i=1e|pi = e|.
end for
Dans l’algorithme de plus proche voisin, la norme 1 a ´et´e utilis´ee. Des tests ont aussi ´et´e r´ealis´es en norme 2 ; les r´esultats ne sont que peu impact´es. Nous avons aussi test´e la pond´eration de l’intensit´e par rapport `a la direction en ajoutant un poids `a cette composante ; les meilleurs r´esultats sont obtenus pour un poids de 1. A noter que seules les expressions consid´er´ees comme correctement r´ealis´ees par les sujets sont prises en compte pour les tests. C’est pourquoi nous
avons introduit P e (P e <= P ) qui d´etermine la liste des sujets pour laquelle l’expression e est
r´ealis´ee correctement.
La figure 5.6 illustre l’algorithme pour l’expression 2.
Nous verrons dans le chapitre 6 une ´etude chiffr´ee sur l’utilisation de cette signature direction-intensit´e. Ce chapitre 6 propose des r´esultats exp´erimentaux de reconnaissance d’expressions in-connues. Il montre que l’utilisation de la signature d’une expression telle que d´efinie pr´ec´edemment am´eliore les performances de reconnaissance par rapport aux m´ethodes traditionnelles bas´ees sur l’apparence, tout en diminuant le nombre de caract´eristiques n´ecessaires (dimensionnalit´e de l’es-pace). Par ailleurs, ce chapitre met aussi en ´evidence la robustesse de l’espace des expressions, selon les diff´erents types de param`etres d’apparences (forme et/ou texture).
Avant de pr´esenter ces r´esultats, nous allons ´etendre la m´ethode pr´ec´edente aux personnes inconnues du syst`eme.