4.3 D´etection de fuites par seuillage d’histogramme
4.3.1 Seuillage en fixant une probabilit´e de fausse alarme
−αilog di(x)γi x + αilog αi+ αi− 1log di(x) − log Γ αi−α idi(x) di(x)γi x + log πi ! + Nx X x=1 1 − γxi log 1 − πi
En appliquant ensuite la premi`ere ´egalit´e de l’´equation (4.15) nous obtenons : ∂L0 ∂ ˆαi = Nx X x=1 γxi " log di(x) − ψ(ˆαi; 1) − d i(x) di(x)γi x # + Nx X x=1 γxih log ˆαi+ 1 − log di(x)γi x i = 0
o`u ψ(αi; 1) repr´esente la premi`ere d´eriv´ee du logarithme de la fonction Γ αi
. La simplification de cette relation conduit `a l’expression suivante :
− log ˆαi+ ψ(ˆαi; 1) = log di(x)γi x − log di(x)γi x (4.17) o`u log di(x)γi x = PNx x=1γxi log di(x) PNx x=1γi x
Les param`etres πiet βi ont une r´esolution analytique (voir ´equations (4.14) et (4.16)) et peuvent ˆetre directement estim´es en fonction des mesures de dissimilarit´es et des responsabilit´es. Cepen-dant, le param`etre αi n’a pas une solution analytique cf. ´equation (4.17). Pour l’estimer, la m´ethode de Newton permet une r´esolution rapide de cette ´equation. Les ´equations (4.13)-(4.17) permettent donc de retrouver les responsabilit´es, γxi, et les param`etres (πi, βi, αi).
L’histogramme de dissimilarit´es pour un jour i pourra alors ˆetre mod´elis´e par un m´elange des distributions gamma et uniforme dont les param`etres sont estim´es avec la proc´edure ci-dessus. Pour l’histogramme affich´e `a la page 146 sur la figure 4.2(b), cette approximation est montr´ee sur la figure 4.2(c). Une fois les mesures de dissimilarit´e mod´elis´ees par ce m´elange, la prochaine ´etape est d’´etablir un seuil afin de r´ealiser une extraction optimale de zones de singularit´e.
4.3.1 Seuillage en fixant une probabilit´e de fausse alarme
A une distance donn´ee, la mesure de dissimilarit´e peut manifester des variations sur diff´erentes jours `a cause de plusieurs facteurs comme :
– la dur´ee et l’intensit´e du rayonnement solaire pour un jour donn´e, – la temp´erature de l’air,
– la vitesse du vent, etc.
En plus, la r´esolution de l’appareil de mesure peut ´egalement influencer ces variations. Comme le vecteur de r´ef´erence de variations journali`eres n’est pas identique pour chaque jour, le choix d’un seuil constant peut conduire `a des r´esultats erron´es. Une approche classique pour les applications
CHAPITRE 4. D´ETECTEUR DES SINGULARIT´ES PAR APPROCHE JOURNALI`ERE
0 0.15 0.3 0.45
(a) Histogramme id´eal de dissimilarit´es.
0 0.5 1 1.5
(b) Histogramme r´eel de dissimilarit´es pour un jour i.
0 0.5 1 1.5
L’histogramme de dissimilarité Distribution Gamma
Distribution Uniforme
(c) Mod´elisation de l’histogramme (b) avec un m´elange de distributions gamma et uniforme.
0.2 0.4
P fa
ηi
(d) Calcul de seuil (Version zoom´ee de (c)).
Fig. 4.2:Seuillage des mesures de dissimilarit´e, di(x), en utilisant un taux de fausses alarmes constant. Dans le cas id´eal,(a) la dissimilarit´e doit ˆetre nulle pour la plupart des zones sauf les zones singuli`eres, mais en pratique (b) ce n’est pas le cas. L’histogramme r´esul-tant pour un jour donn´e peut ˆetre mod´elis´e (c) par un m´elange de distributions gamma et uniforme, dont les param`etres sont estim´es avec l’algorithme EM. Une probabilit´e de fausse alarme Pf a permet l’estimation d’un seuil unique pour chaque jour, ηi, prenant alors en compte les effets journaliers. La notation “O” met en ´evidence les valeurs de dissimilarit´e pour les zones singuli`eres.
4.3. D´ETECTION DE FUITES PAR SEUILLAGE D’HISTOGRAMME
`
a seuillage variable est bas´ee sur le taux de fausses alarmes constant (CFAR pour Constant False Alarm Rate en anglais) o`u la probabilit´e de fausse alarme (Pf a) est fix´ee au lieu d’avoir un seuil fixe.
Dans le cadre de la d´etection, nous avons un cas binaire qui correspond `a l’existence ou `a l’absence de la singularit´e. La d´ecision est `a prendre sur la mesure de dissimilarit´e `a une distance donn´ee en l’attribuant `a une des deux hypoth`eses suivantes :
– H0 : correspond `a l’absence de la singularit´e. Dans ce cas, la mesure de dissimilarit´e quantifie les erreurs d’estimation et/ou le bruit. La dissimilarit´e sera alors distribu´ee selon la loi gamma comme expliqu´e pr´ec´edemment.
– H1 : correspond `a la pr´esence d’une singularit´e. Dans ce cas, la mesure de dissimilarit´e compte pour les diff´erentes singularit´es. Une distribution uniforme mod´elise ces singularit´es comme d´ecrit ci-dessus.
Une fausse alarme sera produite quand le d´etecteur identifie une singularit´e alors qu’il n’y avait pas une. Autrement dit, la d´ecision prise par le d´etecteur va attribuer l’hypoth`ese H1 alors que en v´erit´e c’´etait l’hypoth`ese H0. La probabilit´e de fausse alarme peut alors s’exprimer comme :
Pf a = Z ∞
ηi
z(αi−1)e−z/βi
βiαiΓ(αi) dz (4.18)
o`u ηi est la marge de d´ecision entre H0 et H1, c’est-`a-dire le seuil pour le jour i. La proc´edure de s´election de ce seuil est montr´ee sur la figure 4.2(d).
Pour une probabilit´e de fausse alarme fixe, nous pouvons facilement retrouver le seuil ηi`a partir de l’´equation (4.18). Le choix de la probabilit´e de fausse alarme d´epend du syst`eme d’exploitation et du d´ebit de fuites `a mettre en ´evidence et peut s’´etablir pour chaque site d’acquisition en r´ealisant des fuites contrˆol´ees sous diff´erentes conditions. La valeur de la probabilit´e de fausse alarme n’a pas encore ´et´e quantifi´ee sur les deux sites d’acquisition (Oraison et Kembs). Pour cette raison nous utiliserons par la suite des valeurs de Pf a choisies arbitrairement.
Le d´etecteur propos´e identifie donc les singularit´es en appliquant le seuil estim´e par l’´equation (4.18) avec la sortie finale :
dith(x) = (
di(x) si di(x) > ηi
0 sinon (4.19)
Si la mesure de dissimilarit´e `a une distance donn´ee x est donc sup´erieure au seuil ηicalcul´e pour une probabilit´e de fausse alarme impos´ee Pf a, alors `a cette distance nous consid´erons qu’il y a une singularit´e et nous gardons comme valeur la mesure de la dissimilarit´e `a cette distance. Ceci nous permettra ensuite de quantifier les singularit´es obtenues `a plusieurs distances et sur plusieurs jours i.
CHAPITRE 4. D´ETECTEUR DES SINGULARIT´ES PAR APPROCHE JOURNALI`ERE