Mod´elisation des temp´eratures d’une digue

Notions de base

Afin de formaliser la mod´elisation d’une digue, nous reprendrons ici quelques notions introduites par Guidoux [Guidoux 08]. En g´en´eral, un sol peut ˆetre vu comme un assemblage de trois phases : solide, fluide et gaz, contenus dans un volume total VT. Notons Vsle volume occup´e par la partie solide et V_v le reste du volume constitu´e des pores remplis de fluide et/ou de gaz. La fraction fluide, en l’occurrence l’eau, occupe le volume V_w. La porosit´e du sol ǫ caract´erisant le volume

CHAPITRE 2. DESCRIPTION DES MESURES THERMOM´ETRIQUES ET PR´ETRAITEMENTS

non occup´e par la fraction solide dans un volume de sol est donn´ee par : ǫ = ^Vv

VT

. (2.1)

La quantit´e d’eau pr´esente dans le sol caract´eris´ee par la teneur en eau volumique θ et le degr´e de saturation S sont d´efinis comme :

θ = ^Vw V_T^{, (2.2)} et S = ^Vw V_v ⁼ θ ǫ^{. (2.3)}

A l’´etat de saturation, la teneur en eau θs est ´egale `a la porosit´e, ce qui implique Ss = 1, o`u l’index “s” d´enote “saturation”. Par ailleurs, la teneur en eau ne descend pas en dessous d’une valeur r´esiduelle θ_r propre `a chaque site. De mˆeme, la saturation ne descend pas en dessous d’une valeur r´esiduelle Sr= θr/ǫ.

La facilit´e avec laquelle l’eau peut ˆetre transport´ee dans un sol est caract´eris´ee par la perm´eabilit´e intrins`eque du sol k<sub>int</sub>, ind´ependante du fluide transport´e. La conductivit´e hydraulique (ou perm´eabilit´e `a l’eau) K_h[m/s], un ´el´ement essentiel de la mod´elisation du sol, est d´efinie par :

K_h= k_int^ρwg µw

, (2.4)

avec g l’acc´el´eration de la pesanteur, ρw[Kg/m³] et µw[P a·s] respectivement la densit´e volumique et la viscosit´e dynamique de l’eau. La conductivit´e hydraulique varie avec la teneur en eau du sol, de sorte que Kh augmente avec θ. La conductivit´e hydraulique `a saturation, Ks, d´epend de la dimension caract´eristique des grains constitutifs du sol : plus le sol est fin, moins il sera conducteur. La conductivit´e hydraulique intervient dans la loi de Darcy qui relie la vitesse d’´ecoulement `a la charge hydraulique H[m] [Guidoux 08]. En un point donn´e de l’espace de coordonn´ees (x, y, z), la charge hydraulique est donn´ee par :

H = z + ^P ρ_wg ⁺

v²

2g^{, (2.5)}

avec z l’altitude du point par rapport `a un rep`ere, P [P a] la pression d’eau dans le sol exprim´ee relativement `a la pression atmosph´erique et v[m/s] la vitesse du volume ´el´ementaire de fluide autour du point consid´er´e. Au lieu de charge et de pression, les notions de potentiel hydraulique, ψ_h, et de potentiel de pression, ψ_p, sont souvent utilis´es [Guidoux 08]. Le potentiel hydraulique pour les milieux poreux est donn´e par :

ψ_h = z + ψp (2.6)

Le potentiel de pression, consid´er´e comme nul `a pression atmosph´erique, devient positif lorsque le fluide du sol est soumis `a une pression hydrostatique, c’est-`a-dire lorsque le fluide est situ´e en dessous d’une surface d’eau libre (par exemple une nappe phr´eatique) et devient n´egatif lorsque le fluide est dans un ´etat de sous-pression (fluide soumis `a des forces de capillarit´e ou d’absorption) [Soutter 07].

2.2. DONN´EES SIMUL´EES

Type de sol Perm´eabilit´e K_h D´ebit total Vitesse maximale

[m/s] [lit/min] [m/s] argile 10−8 1.1 × 10−4 1.74 × 10−9 alluvions      grave 10−3 10.8 1.74 × 10−4 sable 10−4 1.1 1.74 × 10−5 sable-limoneux 10−5 0.1 1.74 × 10−6 limon 10−7 0.001 1.74 × 10−8

Tab. 2.1: D´ebit et vitesse en fonction de la nature du sol et de sa perm´eabilit´e.

Les ´equations de mod´elisation

Soient x1= x, x2 = y et x3= z les trois directions de l’espace. Utilisant la sommation des indices r´ep´et´ees, la conservation de la masse dans un volume ´el´ementaire d´ecrivant l’aspect hydraulique du probl`eme est donn´e par l’´equation de continuit´e suivante [Guidoux 08] :

Q = S₀S(ψ_p)^∂ψp ∂t ^{+ ǫ} ∂S(ψ_p) ∂t ⁺ ∂v_D,i ∂x_i ^{, (2.7)}

avec i = 1, . . . , 3, _∂t^∂ la d´eriv´ee par rapport au temps, _∂x^∂

i la d´eriv´ee par rapport `a la direction i de l’espace, S₀[m] la compressibilit´e du volume de stockage, Q[s−1] le terme source d´efini comme un d´ebit par unit´e de volume et v_D,ila composante dans la direction i de la vitesse de l’´ecoulement, donn´ee par la loi de Darcy.

Pour la mod´elisation de la temp´erature `a travers une digue, trois types de sols : limon, argile et sable ont ´et´e utilis´es avec leurs caract´eristiques : perm´eabilit´e, d´ebit, vitesse ´enum´er´es dans le tableau 2.1.

L’´equation de transport de la chaleur permettant de mod´eliser les temp´eratures d’une digue est donn´ee par [Guidoux 08] :

Q_T = ^∂ ∂t  (ρC_p)^{ef f}T + (ρC_p)^wv_D,i^∂T ∂x_i −_∂x^∂ i  λ_ij^∂T ∂x_j  + (ρC_p)^w(T − T0) q, (2.8)

avec QT[W/m³] la chaleur par unit´e de volume,

(ρCp)^{ef f} [J · m−3· K−1] la capacit´e calorifique volumique effective du sol dans son ensemble, (ρC_p)^w[J · m−3· K−1] la capacit´e calorifique volumique de la phase liquide,

T [◦

K] la temp´erature locale,

λ_ij l’´el´ement (i,j) du tenseur de dispersivit´e thermique [W · m−1· K−1], q[m/s] le terme source de volume fluide par unit´e de surface,

T₀[◦

K] la temp´erature de r´ef´erence qui permet de prendre en compte l’effet de la temp´erature sur certains param`etres (densit´e du fluide, viscosit´e, etc.) par des approches polynomiales. La mod´elisation a ´et´e effectu´ee en utilisant une m´ethode de mod´elisation par ´el´ements finis

CHAPITRE 2. DESCRIPTION DES MESURES THERMOM´ETRIQUES ET PR´ETRAITEMENTS

[Diersch 05]. Cette m´ethode n´ecessite des conditions initiales pour les diff´erentes variables ainsi que des conditions aux limites du domaine de calcul. Les trois principales conditions aux li-mites utilis´ees dans la mod´elisation sont celles de Dirichlet (D), Neumann (N ) et Cauchy (C) [Guidoux 08]. La condition de Dirichlet consiste `a imposer une valeur `a la variable concern´ee (par exemple temp´erature ou charge). La condition de Neumann consiste `a imposer une valeur pour la d´eriv´ee de la variable concern´ee, dans notre cas `a imposer un flux surfacique (par exemple le flux de chaleur). La condition de Cauchy est la condition mixte combinant celles de Dirichlet et Neumann, un coefficient d’´echange ainsi que les variables de r´ef´erence associ´ees sont impos´ees.

Mod´elisation de temp´eratures en diff´erents points d’une section de digue

Les conditions aux limites hydrauliques consistent `a imposer une charge `a l’amont entre 0 et 3 m, un flux nul au dessus de 3 m `a l’amont jusqu’`a la base de l’ouvrage passant par la crˆete, ainsi qu’une condition de surface libre `a l’aval. Les conditions aux limites thermiques consistent `

a imposer la temp´erature de l’eau entre 0 et 3 m `a l’amont, un flux nul `a la base de l’ouvrage et une condition de Cauchy faisant intervenir la temp´erature de l’air et le coefficient d’´echange h partout ailleurs.

Pour ce mod`ele, 51 conditions aux limites thermiques ont ´et´e utilis´ees avec un champ de tem-p´erature initial en r´egime sinuso¨ıdal pour chacune de ces conditions. Les temtem-p´eratures ont ´et´e mod´elis´ees sur deux ann´ees avec 12 points d’acquisitions par jour. En addition, 38 points de mesure ont ´et´e dispos´es dans le mod`ele aux diff´erentes cordonn´ees x et z, o`u x et z d´esignent respectivement l’abcisse depuis le pied amont et la hauteur. La distribution de ces points est montr´ee sur la figure 2.1 avec leurs cordonn´ees d´etaill´ees dans l’annexe C.2.

Dans le cadre des mesures de temp´erature par fibre optique, chacun de ces points de mesures correspond `a un emplacement de la fibre. Nous avons donc la notion de temps mais pas celle de distance sur la fibre. Cependant, en utilisant cette mod´elisation des temp´eratures d’une digue, nous pouvons g´en´erer notre propre digue comme il sera montr´e dans la section suivante.

Fig. 2.1:La surface libre pour une charge de 3 m `a l’amont. R´epartition des points de mesure repr´esent´es par des cercles. Le point 25 (en bleu) sera consid´er´e pour simuler les zones homog`enes alors que le point 2 (en rouge) pour simuler les fuites.

2.2. DONN´EES SIMUL´EES