a partir des valeurs propres et vecteurs propres de la matrice de coh´erence T. N´eanmoins, la pr´esence du speckle dans les images radar biaise leur estimation. Une fenˆetre d’analyse conte-nant un minimum de 60 vues est requise pour une estimation non biais´ee de ces param`etres [Lope 05b] [Touz 07a].
Pour r´esoudre ce probl`eme, on peut penser `a segmenter les images polarim´etriques de sorte que chaque pixel en moyenne soit inclus dans un segment contenant environ 60 vues. Dans ce chapitre, nous allons ainsi nous int´eresser `a la segmentation d’images polarim´etriques. L’ap-proche retenue dans cette th`ese est la segmentation hi´erarchique. Cette m´ethode a ´et´e valid´ee avec succ`es par J.-M. Beaulieu et R. Touzi [Beau 04b].
L’id´ee originale propos´ee dans cette th`ese est l’utilisation de la texture dans les traitements polarim´etriques. Nous montrerons que la mod´elisation de la texture par une distribution de Fisher semble ˆetre bien adapt´ee pour mod´eliser diff´erents types de milieux. Nous d´eriverons les expressions des statistiques du vecteur de r´etrodiffusion (en 1-vue) et de la matrice de co-variance (en L-vues) dans le cas o`u la texture est distribu´ee selon une loi de Fisher. Une fois que ces statistiques seront d´emontr´ees, nous calculerons la log-vraisemblance et exprimerons la valeur du crit`ere utilis´e lors de la fusion des segments dans la segmentation hi´erarchique. Puis, nous pr´esenterons l’algorithme de segmentation hi´erarchique utilis´e pour segmenter les images polarim´etriques.
Afin d’analyser les performances de l’algorithme de segmentation, plusieurs crit`eres tels que les courbes Caract´eristique Op´erationnelle de R´eception (courbes COR), les distances inter-classes et intra-classe seront mis en œuvre. Enfin, l’algorithme de segmentation hi´erarchique sera appliqu´e sur des images polarim´etriques synth´etiques et r´eelles. Nous montrerons que l’uti-lisation de la texture est n´ecessaire pour segmenter efficacement les images polarim´etriques.
Finalement, nous mettrons en place un algorithme de classification non supervis´e d’images polarim´etriques bas´e sur la texture. Puis nous montrerons les r´esultats de la classification sur des images r´eelles.
3.2 La segmentation d’image
3.2.1 D´efinition
La segmentation d’une image I est une partition P qui d´ecoupe cette image en k r´egions distinctes Si (avec Si ⊆ I) de sorte que P = {S1,· · · , Sk}, Si∩ Sj =∅ pour i 6= j, et I = Sk
i=1
Si.
Une r´egion est un ensemble connexe de pixels ayant des propri´et´es communes qui les diff´e-rencient des pixels des r´egions voisines. Il n’y a pas de m´ethode unique de segmentation d’une image. La segmentation d’image est ´etroitement li´ee aux notions de diff´erence et de similarit´e comme le per¸coit le syst`eme visuel humain. Deux grandes familles de segmentation ont vu le
jour : l’approche ”fronti`ere” et l’approche ”r´egion” [Cocq 95].
– La notion de fronti`ere (ou contour) est associ´ee `a une discontinuit´e entre les propri´et´es de deux ensembles connexes de points. Les techniques de d´etection de contour sont incluses dans les m´ethodes d’approche fronti`ere. N´eanmoins, comme les contours sont rarement connexes, une ´etape de post-traitement est n´ecessaire : c’est la fermeture des contours. Puis, on d´efinit une r´egion comme ´etant l’int´erieur d’une ligne ferm´ee.
– La notion de r´egion fait r´ef´erence `a des groupes de pixels ayant des propri´et´es communes (intensit´e, texture, ...). Ces m´ethodes conduisent directement `a une partition de l’image o`u chaque pixel appartient `a une seule et unique r´egion.
Dans la suite de ce chapitre, nous allons nous int´eresser essentiellement `a la segmentation hi´erarchique d’image. Cette m´ethode fait partie int´egrante de l’approche r´egion. La segmenta-tion hi´erarchique d’images polarim´etriques a d´ej`a ´et´e propos´ee et valid´ee par J.-M. Beaulieu et R. Touzi [Beau 04b]. Nous proposons ici d’´etendre leur approche en utilisant une nouvelle distribution qui prend en compte la texture pr´esente dans les images polarim´etriques. Dans un premier temps, nous allons pr´esenter la segmentation hi´erarchique.
3.2.2 Le principe de la segmentation hi´erarchique
La figure 3.1 montre un exemple de dendrogramme obtenu par un algorithme de segmentation hi´erarchique. La partition initiale est compos´ee de 12 segments. `A chaque it´eration, l’algorithme fusionne les deux segments 4-connexes les plus proches au sens d’un certain crit`ere jusqu’`a obtenir une partition finale compos´ee d’un seul segment.
2 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 9 10 11 2 1 nombre de fusions num´ero du segment
Fig. 3.1 – Un exemple de dendrogramme
Nous allons maintenant exprimer le crit`ere de fusion des segments `a l’aide d’une approche au sens du maximum de vraisemblance.
3.2. LA SEGMENTATION D’IMAGE 89
3.2.2.1 L’approche au sens du maximum de vraisemblance
Soit x une variable al´eatoire de param`etre θ, xi d´esigne la valeur de x au point i. Pour le segment S, la densit´e de probabilit´e de x au point i de param`etre θS est ´egale `a px(xi|θS).
Soient X l’ensemble des pixels de l’image I, X = {xi|i ∈ I} et ΘP l’ensemble contenant les param`etres de la distribution de x pour la partition P , ΘP = {θS|S ∈ P }, la fonction de vraisemblance de X sachant ΘP et P est donn´ee par :
L (X|ΘP, P ) = p (X|ΘP, P ) (3.1)
En supposant les xi ind´ependants deux `a deux, la fonction de vraisemblance devient ´egale ` a : L (X|ΘP, P ) =Y i∈I p (xi|θSi) P (3.2)
o`u Si d´esigne le segment contenant le pixel i.
L’approche au sens du maximum de vraisemblance cherche la partition P ainsi que l’en-semble ΘP contenant les param`etres de la distribution de x pour la partition P qui maximise la fonction de vraisemblance.
`
A partir d’une partition donn´ee P , les param`etres de la distribution de x pour le segment S sont estim´es `a partir de statistiques calcul´ees sur ce segment. En g´en´eral, les param`etres θS sont estim´es par la m´ethode du maximum de vraisemblance, par la m´ethodes des moments ou encore `a partir des cumulants [Tiso 04]. La log-vraisemblance pour la partition P (not´e LLF(P)) s’exprime en fonction de la log-vraisemblance maximale pour chaque segment (not´e MLL(S)) par [Beau 04b] : LLF (P ) = X i∈I ln (p (xi|θSi)) = nb seg X k=1 X i∈Sk ln (p (xi|θSk)) = nb seg X k=1 MLL (Sk) (3.3)
Ainsi, la log-vraisemblance pour la partition P est ´egale `a la somme des vraisemblances cal-cul´ees sur chaque segment S de la partition P .
L’objectif est de trouver pour un nombre de segments k fix´e, la partition Pk qui maximise la vraisemblance. Si n d´esigne la taille de l’image I, il existe un grand nombre de partition Pk `a k segments. La recherche de la partition Pk qui maximise globalement la log-vraisemblance est trop coˆuteuse en temps de calcul.
Pour trouver une solution certes sous-optimale mais moins coˆuteuse en temps de calcul, il faut revenir sur les propri´et´es de la log-vraisemblance. La log-vraisemblance est une fonction monotone croissante qui croˆıt avec le nombre de segments de la partition. La log-vraisemblance est maximale lorsque le nombre de segments est ´egale au nombre de pixels de l’image I. C’est `a dire que chaque pixel correspond `a un segment. `A l’oppos´e, la log-vraisemblance est minimale
lorsque la partition est constitu´ee d’un seul segment. La partition P1 est ´egale `a l’image totale I, et entre ces deux extrˆemes, la log-vraisemblance diminue au fur et `a mesure que l’on fusionne des segments.
Lorsque l’on utilise un algorithme de segmentation hi´erarchique, la partition Pk`a k segments est obtenue en fusionnant deux segments 4-connexe de la partition Pk+1.
Notons Dk, la chute de la log-vraisemblance lors de la fusion des deux segments [Beau 04b].
Dk= LLF (Pk+1)− LLF (Pk) (3.4)
On peut r´e´ecrire la valeur de la log-vraisemblance pour une partition contenant k segments comme ´etant ´egale `a la log-vraisemblance pour une partition de n segments `a laquelle on re-tranche la log-vraisemblance perdue `a chaque it´eration pour passer de n `a k segments.
LLF (Pk) = LLF (Pn)−
n−1
X
q=k
Dq (3.5)
Trouver la partition Pk`a k segments revient donc `a maximiser la log-vraisemblance LLF (Pk).
Si Pnd´esigne la partition initiale, dans un algorithme de segmentation hi´erarchique, la maxi-misation de LLF (Pk) est ´egale `a la minimisation des Dq. A chaque it´eration, l’algorithme de segmentation hi´erarchique va fusionner les deux segments 4-connexes qui minimisent la chute de la log-vraisemblance. La segmentation hi´erarchique donne ainsi une solution sous optimale au probl`eme de maximisation de vraisemblance. Cette solution est en revanche plus rapide `a trouver que la solution optimale.
3.2.2.2 Le crit`ere de fusion des segments `
A chaque it´eration, l’algorithme de segmentation hi´erarchique cherche `a fusionner les seg-ments Si et Sj qui minimisent la d´ecroissance Dq de la log-vraisemblance. En combinant les ´equations 3.3 et 3.4, Dq s’´ecrit simplement [Beau 04b] en fonction de la log-vraisemblance cal-cul´ee sur les deux segments `a fusionner Si et Sj, et de la log-vraisemblance calcul´ee sur la fusion de ces deux segments par :
Dq= SCi,j = MLL(Si) + MLL(Sj)− MLL(Si∪ Sj) (3.6) Dans le cadre de la segmentation hi´erarchique, nous venons de voir que le crit`ere de fusion des segments est bas´e sur leur log-vraisemblance. On va ainsi s’int´eresser aux statistiques des images polarim´etriques. ´Etudions d’abord le cas des images non textur´ees.