a) Systèmes de particules quantiques
Revenons à la procédure de quantification de 1) pour un système de particules (en abandonnant les coordonnées généralisées : V = R3n). Une réalisation couramment utilisée du vecteur d’état
|ψiest la fonction d’ondeΨ(~x1, . . . , ~xn) =
~x1, . . . , ~xn|ψ®
, qui indique l’amplitude de probabilité de détection des particules en chaque point de l’espace. Les opérateurs vectorielsxˆi et pˆi agissent alors sur les fonctions d’onde par
(P~iΨ)(~x1, . . . , ~xn) = i~∇~iΨ(~x1, . . . , ~xn), (X~iΨ)(~x1, . . . , ~xn) =~xiΨ(~x1, . . . , ~xn),
et l’équation de Schrödinger (4) peut se réécrireH(P , ~~ X)Ψ = i~∂tΨ.Plaçons-nous dans le cas où les particules sont indépendantes et décrites par des hamiltoniens hi (ie H(ˆp,ˆx) = P
hi(ˆpi,xˆi)), et supposons connues les solutions de l’équation de Schrödinger pour la fonction d’onde d’une particule :
hi(P~i, ~Xi)ψi= i~∂ψi
∂t (18)
ou, ce qui revient au même, les solutions de l’équation aux valeurs propres (supposées dénom-brables) :
∀k hi(P~i, ~Xi)ϕi,k=Ei,kϕi,k (ψi,k(~x, t) =e−~iEi,ktϕi,k(~x)).
Alors on dispose immédiatement des fonctions d’onde solutions de l’équation pour le système : Ψk1, ...,kn(t, ~x1, . . . , ~xn) =Y
ψi,ki(~xi, t). (19) Notons les relations d’orthogonalité vérifiées par lesψi,k :
X
k
ψ?i,k(~x, t)ψi,k(~x0, t) =δ(~x−~x0) et Z
ψ?i,k(~x, t)ψi,k0(~x, t)d3~x=δkk0. (20) On ne sait décrire ainsi que des systèmes ayant un nombre fixe de particules. Pour décrire un système à un nombre variable de particules identiques (ie∀i hi =h, en particulier Ψk1, ...,kn
définie par (19) est symétrique), on construit de manière plus générale un espace de Hilbert (dit
«de Fock») en se donnant une base orthonormée d’états, (|αi)α, où α = (α1, . . . , αk, . . .) et αk
est le nombre de particules dans l’état ψk (tous les états ne se décomposent pas sur cette base du fait de la complétion nécessaire à l’obtention d’un espace de Hilbert). On définit également l’opérateur d’annihilation pour l’étatkparak|αi=√
αk−1|α−(δik)iet ak|0i= 0. Son adjoint est un opérateur de création :a†k|αi=√
αk|α+ (δik)i, et on a les relations de commutation : [ak, ak0] = 0, [ak, a†k0] =δkk0. (21) Nk=aka†k etH =P
EkNksont clairement les observables respectives «nombre de particules dans l’état k» et «énergie», au sens des règles d’interprétation définies en 1), et sont diagonaux dans la base (|αi)α. Enfin H détermine l’équation d’évolution (4) de cette théorie quantique. On dit que cette dernière est obtenue par seconde quantification de la théorie quantique à une particule caractérisée par son hamiltonienh.
Introduisons les opérateurs φ+(~x, t) =X
ψk(~x, t)ak et φ−(~x, t) =φ+†(~x, t) =X
ψ?k(~x, t)a†k. On vérifie à l’aide des relations d’orthogonalité (20) queak=R
ψk?(~x, t)φ+(~x, t)d3~x(pour toutt) et que les états¯
¯t, ~x1, . . . , ~xn®
=φ−(~x1, t)· · ·φ−(~xn, t)|0iforment une base orthogonale de l’espace des états. Cette base permet de définir pour un état|θiquelconque la fonction d’onde (indicée par n∈N) :
Θn(t, ~x1, . . . , ~xn) =h0|φ+(~x1, t)· · ·φ+(~xn, t)|θi, (22) qui s’interprète bien comme fonction d’onde pour la composante n-particulaire de |θi, dans la mesure où pour un vecteur propre àmparticules deH, |θi=Pm
i=1a†ki|0i, on obtient la fonction
(19) introduite précédemment :Θn=δmnΨk1, ...,km. Un état quelconque s’écrit donc à l’instantt comme superposition d’étatsn-particulaires de fonctions d’ondeΘn :
|θi=
s’interprètent en particulier comme états particulaires du système, et φ−(~x, t), comme opérateur de création de particule en~x.
Étudions de plus près ces opérateurs, ou plutôt les opérateurs hermitiens φ(~x, t) = φ+(~x, t) + φ−(~x, t). Les relations de commutation des ak permettent de vérifier qu’à temps égal les φ(x) commutent. D’autre partH s’exprime en fonction deφ:
H =X
On peut faire les mêmes calculs pourφ+ et on obtient finalement l’équation d’évolution pourφ: i
~[H, φ] = ˙φ. (23)
b) Équivalences
L’espace de Hilbert E, muni d’une part de l’état vide|0i et des opérateurs de créationa†k, et d’autre part des observablesφ(x), s’interprète donc à la fois comme espace des états d’une théorie particulaire quantifiée et comme espace des états d’une théorie des champs (scalaire) quantifiée.
De plus les vecteurs d’état ont la même équation d’évolution, déduite du même hamiltonien, dans les deux théories. On dit que les deux (modèles des) théories physiques étudiées sont équivalentes.
Pour obtenir une théorie de champs vectoriels il suffit d’introduire plusieurs types de particules (avec éventuellement des termes d’interaction dans le hamiltonien).
Il n’est pas évident en général d’effectuer le chemin inverse, c’est à dire de mettre en évi-dence dans une théorie quantique de champs une théorie particulaire. Supposons cependant que les équations d’évolution (11) d’une théorie obtenue par la première quantification se résolvent enφ(x) =P
(ψk(~x, t)ak+ψk?(~x, t)a†k)où les fonctions scalaires ψk vérifient des relations d’ortho-gonalité analogues à (20), et les opérateurs ak, les relations de commutation (21). Si de plus le Hamiltonien peut se mettre sous la formeP
Ekaka†k, on voit que la théorie aurait pu être obtenue par seconde quantification d’une équation d’onde associée à un hamiltonien particulaireh. On n’a pas à priori d’expression simple de h, mais la connaissance de ses états propres ψk et énergies propres Ek suffit. Il faut de plus choisir un état vide pour construire l’espace de Fock, on prend usuellement l’état propre de champ nul.
Les hypothèses précédentes seront (en gros) vérifiées dans les théories de champs libres que nous étudierons en B)3) et B)4), et c’est pourquoi on pourra parler à leur sujet d’équivalence onde-corpuscule : le même objet mathématique décrit un champ ou des particules selon la manière dont sont appliquées les règles d’interprétation quantiques. On voit par ailleurs que la dualité repose plus sur des relations entre opérateurs que sur des identifications directes entre états.
Ces particules sont-elles des bosons ou des fermions ? La réponse est immédiate puisqu’on dis-pose d’opérateurs de création qui nous permettent de placer autant de particules que l’on souhaite dans un même étatψk. La nature bosonique des théories construites apparaît également dans l’ex-pression des fonctions d’onde n-particulaires (22) : les opérateurs φ(x)commutant à t fixé, elles sont symétriques. Si nous voulons disposer de théories fermioniques, nous devons donc en particu-lier remplacer ces commutations par des anticommutations. En fait la procédure de quantification
de 1) reste valide lorsqu’on remplace tous les commutateurs [, ]par des anticommutateurs {, } (des signes peuvent apparaître dans les équations de covariance, en particulier dans (16) lorsque qu’on utilise des anticommutateurs dans (17), et la représentationρest alors projective, ce qui est tout à fait acceptable puisque deux vecteurs colinéaires de E décrivent le même état physique).
De même on peut adapter 3) en imposant α ∈ {0,1}N et a†k|αi = 0 si α†k = 1, alors tous les commutateurs sont remplacés par des anticommutateurs. On dispose donc de quatre procédures de quantification (champs et particules fermioniques et bosoniques) : est-il possible d’établir des équivalences entre fermions et bosons comme on en obtient entre ondes et corpuscules ?