Coefficients

Lemme 3.1 Soit v et w deux représentations irréductibles d’un groupe quantique compact ma-triciel. Si v ∼^s w, alors Mor(v, w) = Cs. Si v w, alors Mor(v, w) = {0}. En particulier, un morphisme d’entrelacement entre deux représentations irréductibles est soit nul, soit inversible.

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On a déjà établi la première affirmation à la proposition 7, dans le casv=w, auquel on se ramène en considérant(s⁻¹⊗Id)w(s⊗Id). Si v et w sont irréductibles et non équivalentes, on aMor(v, w) ={0} car le noyau et l’image d’un morphisme d’entre-lacement — qui ne peut être inversible — sont stables.

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PourG= (A, u)groupe quantique compact matriciel on noteGˆl’ensemble des classes d’équivalence des représentations irréductibles de Rep₀(G), et(u^α)_α∈Gˆ un système de représentants deG. Soitˆ (Eα) les espaces correspondant, on peut supposer d’après le lemme 2.2 qu’ils sont munis d’une structure hermitienne telle que les u^α soient unitaires. On se donne pour chaque α une base hermitienne (e^α_k)de Eα et on note (e^α_kl)la base associée deL(Eα): e^α_kl(e^α_i) = δike^α_l. Alors u^α= Pe^α_kl⊗klu^α. On suppose de plus que les bases deEα etEα¯ = ¯Eα sont les mêmes.

Théorème 3 Soit G = (A, u) un groupe quantique compact matriciel et h sa mesure de Haar.

Pour chaque α∈Gˆ il existeF_α∈L(E_α)défini-positif tel queMor(u^α,^ccu^α) =CF_α. Il est unique à une constante strictement positive près. La famille (klu^α)αkl est une base de A vérifiant les relations d’orthogonalité :

h(kmu^αlnu^β∗) =δαβδmnTr (Fαe^α_lk) Tr Fα

, (18)

h(mku^α∗nlu^β) =δαβδmnTr (F_α⁻¹e^α_lk) Tr Fα⁻¹

. (19)

On a enfin Φ(klu^α) =P

rlu^α⊗kru^α,κ(klu^α) =lku^α∗,e(klu^α) =δkl, eth(klu^α) =δ_αˆ1.

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Commençons par les dernières assertions. L’expression de Φ sur les klu^α exprime exactement le fait que lesu^α sont des représentations. En appliquant alors (4) à ce premier résultat, il vient :Id⊗κ(u^α) =u^α−1=u^α∗, ce qui est l’expression recherchée pourκ. Remarquons que cela s’écrit aussi ^cu^α=P_t

e^α_lk⊗klu^α∗. Enfin on obtient de

même h(klu^α) = 0 pourα6= ˆ1en écrivant (Id⊗h)◦Φ = 1⊗hsurklu^α et en utilisant la liberté de (klu^α)démontrée ci-dessous. Le seul élément de matrice de u^ˆ1 = 1 est 1A, d’où le résultat lorsqueα= ˆ1. Enfin l’expression de ese déduit immédiatement de sa définition : équation (4).

(20) et (21) contiennent essentiellement (18) et (19). Prenons par exemple, lorsque α=β, t = ^te^α_mn pour les secondes (pour les premières il faudrait prendre s=e^α_kl).

On a dans l’identificationL(E_α^∗)⊗L(Eα)'L(E^∗_α⊗Eα)'L(L(E_α^∗)):

te^α_lk⊗e^α_k0l⁰(^te^α_mn) =^te^α_lk⊗e^α_k0l⁰(e^α_m^∗⊗e^α_n) =δkmδk⁰nte^α_ll0, d’où (^cu^α°>u^α)h(^te^α_mn) =X

te^α_ll0 h(mlu^α∗ nl⁰u^α) (22) (grâce à l’expression de ^cu^α établie au premier paragraphe). Mais d’autre part le membre de droite de (21) vaut pour t=^te^α_mn :

En identifiant les coefficients de^te^α_ll0 dans (22) et (23), on obtient exactement (19) (la trace est invariante par transposition).

Ces relations d’orthogonalité entraînent la liberté de(klu^α). En effet, siP

µαkm kmu^α 5 affirme exactement que(klu^α)est génératrice.

Pour touts∈L(Eα)positif on a, par des calculs analogues à ceux de la démonstration de la proposition 8 : (u^α°>^cu^α)h(s) = Id⊗h(u^α(s⊗1)u^α∗)>0. CommeTr (Fα)>0 par définition, cela entraîne pour s = pζ (projection orthogonale sur Cζ ⊂ Eα) : Tr (Fαpζ) = (ζ|Fαζ) > 0. ζ étant quelconque, Fα est donc bien définie-positive.

L’unicité à une constante strictement positive près est évidente.

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On voit en particulier grâce à ce théorème que la structure de groupe quantique s’exprime de manière extrêmement simple en fonction des opérations de somme directe, produit tensoriel et

conjugaison sur les représentations : on aklu^αmnu^β=km,ln(u^α°>u^β),klu^α+mnu^β=kl⊕mn(u^α⊕u^β),

klu^α∗ =_klu¯^α,Φ(_klu^α) =P

rlu^α⊗_kru^α,κ(_klu^α) =_lku^α∗,e(_klu^α) =δ_kl et h(_klu^α) =δ_αˆ1. On peut donc espérer reconstruire le groupe quantique à partir de ses représentations, ce sera l’objet du paragraphe C)2) de la troisième partie.

Corollaire 3.1 Soit v une représentation lisse d’un groupe quantique compact matriciel. ^cv est équivalente àv, et¯ ^{c c}v, àv.

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L’expression du théorème pourκentraîne immédiatement, comme on l’a vu dans la démonstration :^cu^α=P _t

e^α_lk⊗klu^α∗, et^te^α_lk est le vecteur en position (k, l)dans la base deL(E_α^∗)associée à(e^α_k^∗). D’autre part on a par définitionu¯^α=P

¯

e^α_kl⊗klu^α∗. L’équivalence entre ^cu^α et u¯^α est évidente sur ces expressions, elle s’étend à une représentation lissev quelconque grâce au théorème de décomposition 2. On a alors

ccv∼¯¯v∼v, d’où la seconde assertion (qui résulte aussi de l’existence deFα).

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Le corollaire suivant est en fait une simplification des axiomes de la définition 1, établie pour la première fois dans [49]. On l’a utilisé pour introduire les exemples de A)3).

Corollaire 3.2 Soit A uneC^∗-algèbre et u∈Mn(A)dont les éléments de matrice engendrent la C^∗-algèbreA. Siuetu¯sont inversibles et s’il existe un morphisme unifère deC^∗-algèbresΦ :A→ A⊗A tel queId⊗Φ(u) =u°⊥u, alors (A, u)est un groupe quantique compact matriciel.

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Montrons d’abord que sous ces hypothèses, (A,Φ) est encore un groupe compact, c’est-à-dire que 1⊗A Φ(A) et A⊗1 Φ(A) sont denses dans A⊗A (la vérification de la coassociativité, sur les éléments de matrice de u, est facile). Soit B = (A⊗1)∩ (Φ(A) 1⊗A). B est une sous-algèbre de A⊗A : si a⊗1 = P

Φ(a⁰_i)(1⊗a⁰⁰_i) ∈ B et b⊗1 =P

Φ(b⁰_j)(1⊗b⁰⁰_j)∈B, alors ab⊗1 =X

Φ(a⁰_i)(b⊗1)(1⊗a⁰⁰_i) =X

Φ(a⁰_ib⁰_j)(a⊗b⁰⁰_ja⁰⁰_i)∈B.

Or on a, pour tousiet j :

XΦ(iku)(1⊗kju⁻¹) =X

ilu⊗(lkukju⁻¹) =iju⊗1∈B,

et de même, en utilisant l’inversibilité deu,¯ iju^∗∈B. On a doncA⊗1⊂B. Cela im-plique bien sûrA⊗A ⊂Φ(A) 1⊗A, et par passage à l’adjoint, la densité de1⊗AΦ(A) dansA⊗A. On vérifie de la même manière celle deA⊗1 Φ(A).

Le lecteur peut maintenant vérifier que les résultats obtenus dans cette section concer-nant les représentations unitaires n’utilisent rien d’autre que la coassociativité deΦ, la densité deAdansA, l’inversibilité deuetu, et la densité de¯ 1⊗AΦ(A)etA⊗1 Φ(A) dansA⊗A(pour l’existence de la mesure de Haar). En particulier on n’a utilisé l’exis-tence deκque pour les propositions 1 et 4, qui sont inutiles lorsqu’on considère des représentations inversibles, et, à travers la non dégénérescence des représentations de Rep₀(G), pour démontrer la densité de1⊗AΦ(A)etA⊗1 Φ(A)dansA⊗A, que l’on vient d’établir indépendamment. Le théorème 3 est en particulier valable sous nos hypothèses (sauf bien sûr l’expression de κ), et on peut définir un coinverse dans la base des coefficients :κ(klu^α) = lku^α∗. Il est immédiat de vérifier (2) et (3), donc (A, u)est bien un groupe quantique compact matriciel.

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Corollaire 3.3 SoitG= (A, u)un groupe quantique compact matriciel. La mesure de Haarhsur Gest fidèle surA.

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^{Soita ∈ A}+ tel que h(a) = 0. On étend cette propriété à d’autres éléments : pour tout étatω, a∗ω est positif eth(a∗ω) =h∗ω(a) =h(a) = 0. On passe à l’idéal à gaucheJ ={a∈A / h(a^∗a) = 0}: les(a∗ω)¹² sont dansJ. Notant(ω^α_kl)les formes coordonnées de la base(klu^α), et a=P

a^α_{kl kl}u^α, on a donc P

sκ(a^α_ks)(a∗ω_ls^α)∈J, qui donne en développant a et en utilisant l’expression de κ dans la base (klu^α) :

∀k, l, α a^α_kl1 ∈J. Maishest non nulle (h(1) = 1), doncJ $Aet ∀k, l, α a^α_kl = 0.

Ainsia= 0.

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Remarque. hn’est pas en général fidèle surAentier (cf. [27]). En quotientant puis complétant Apour la quasi-norme associée àhon obtient donc une autreC^∗-algèbreAr, contenant encoreA comme sous-algèbre dense, grâce au corollaire. Alors(Ar, u)devient un groupe quantique compact

matriciel dont la sous-algèbre dense a la même structure d’algèbre de Hopf que celle de (A, u).

Il est naturel de penser à ces objets comme à différentes «versions» du même groupe quantique compact matriciel — on a en fait une version parC^∗-norme surArendantΦcontinue.

Dans le document Fondamentales et Appliquées et d’Informatique École Normale Supérieure, Paris (Page 70-73)