Seconde étude

Nous verrons dans le chapitre suivant que la régularisation imposée à la reconstruction6 _{n’est pas aussi souhaitable en pratique qu’en théorie. L’ab-}

sence de ce terme entraîne cependant que la fonctionnelle J0n’est pas néces-

sairement coercive. Nous proposons donc une seconde approche des méthodes de minimisation variationnelle, laquelle nous permettra par ailleurs de défi- nir une méthode valable en toute dimension, en cas de milieu hétérogène et pour des surfaces d’observation très générales.

Cadre d’étude

Soit n ∈ N∗_{. On suppose que L = ∂}

tt− c(x)∆ où c ∈ L∞est strictement

positive et telle qu’il existe a, b > 0 tels que : a < c(x) < b p.p. x∈ Rn.

Le domaine d’intérêt Ω est un ouvert borné régulier quelconque, on suppose que la surface d’observation S ⊂ ∂Ω est non vide et incluse dans la frontière de Ω. On approche cette surface d’observation par un domaine d’observation approché défini par Sε= T (S,ε). On fixe enfin l’horizon de temps T ∈ (0,∞].

On s’intéresse donc aux solutions de l’équation :        Lp(t,x) = 0 pour (t,x) ∈ Q∞= R+× R3, p(0) = f dans R3_, ∂tp(0) = g dansR3, (III.2.3) où L = ∂tt− c(x)∆.

6. Cette régularisation est imposée par la présence du terme α 2 kf k

2

L2(B)dans la fonc-

Étant donné des observations po _{∈ L}2_{((0,T )× S}

ε), nous souhaitons à

nouveau résoudre le problème inverse suivant : Wf = po,

par le biais du problème de minimisation quadratique linéaire suivant : (_Pα)      Minimiser J(f) s.c. f ∈ H1 0(B).

où J est la fonctionnelle de Tikhonov suivante : J : H₀1(Ω) _{−→ R}+ f _7−→ 1 2 Z T 0 kWf − p o_k2 L2_(Sε) dt.

Cette fonctionnelle est différentiable et convexe. L’inégalité d’observation

On suppose que les observations sont non bruitées et issues du modèle : il existe pexacte solution du problème de Cauchy (III.2.3) ayant pour condition

initiale l’objet f et g = 0 et telle que po_{=Wf = Cp}

exacte. Ainsi la coercivité

de la fonctionnelle est définie par : ∃ c > 0; kWf k2L2_{((0,T )×S} ε)≥ c kf k 2 H1 0(B),∀f ∈ H 1 0(B), (III.2.4)

c’est-à-dire telle que : Z T

0 kC [W f] (t)k 2

L2_(Sε) dt≥ c kf k2_H1 0(B),

ou encore, en notant {T(t)}t≥0 le semi-groupe unitaire associé à l’équa-

tion (III.2.3) : Z T 0 kCT(t)f k 2 L2_(Sε) dt≥ c kf k2_H1 0(B).

Cette inégalité, que nous retrouverons à maintes reprises, est traditionnelle- ment appelée inégalité d’observation (voir en particulier la Section V) et la condition (III.2.4) est dite condition d’observation.

Le résultat suivant montre déjà l’importance de cette inégalité dans le cadre qui nous est imparti :

Proposition III.2.1. La condition d’observation (III.2.4) est équivalente à la stricte convexité de la fonctionnelle J.

Preuve. Tout d’abord, la stricte convexité de J est équivalente au fait que, quels que soient f1, f2∈ H01(B) tels que f1 6= f2 :

h∇J(f2)− ∇J(f1),f2− f1i > 0,

et l’on a :

h∇J(f2)− ∇J(f1),f2− f1i = kW(f2− f1)k2.

D’où l’on déduit directement que la condition d’observation implique la stricte convexité de J.

Réciproquement, si la condition d’observation n’est pas respectée, mon- trons qu’il existe f ∈ H1

0(B) tel que f 6= 0 et Wf = 0. On montre ai-

sément que si la condition (III.2.4) n’est pas respectée, alors il existe une suite (fn)∈ H01(B)

N

telle que, pour tout n ≥ 0 : kfnkH1

0(B)= 1,

et

kWfnk_L2_{((0,T )×S}

ε)−−−−−→_n→∞ 0.

Puisque la suite (fn) est bornée dans H01, elle admet une sous-suite conver-

geant faiblement dans H1

0, dont on note f la limite faible. Ainsi (Wfn)

converge faiblement vers Wf dans L2_{((0,T × S}

ε)), et puisque cette suite

converge fortement vers 0, on a prouvé l’existence d’un objet f ∈ H1 0 de

soit l’objet f0 ∈ H01(B), on a :

kW(f + f0)− Wf0k = 0,

et J n’est pas strictement convexe. ✷

La preuve de ce résultat peut aussi être abordée directement à partir des définitions de la convexité et de la stricte convexité puisque, par définition, la fonctionnelle J est convexe si et seulement si pour tout (f1,f2)∈ H01(B)

et pour tout t ∈ (0,1) :

J(tf1+ (1− t)f2)≤ tJ(f1) + (1− t)J(f2),

et strictement convexe si l’on a inégalité stricte dès lors que f1 6= f2. Or, si

l’on note po

1 = Wf1 et po2 = Wf2 les données non bruitées respectivement

associées aux objets f1 et f2 :

J(tf1+ (1− t)f2) = ktpo1+ (1− t)po2k2 = t2_kpo_1k2+ (1_{− t)}2_kpo_2k2 +2t(1− t)hpo 1,po2i = t2_kpo_1k2+ (1_{− t)}2_kpo_2k2 +t(1_{− t)}h_kpo 1k2+kpo2k2− kpo2− po1k2 i ≤ tJ(po1) + (1− t)J(po2),

où les normes et produits scalaires sont ceux naturellement associés à l’es- pace L2_{((0,T )× S}

ε). La convexité de J est ainsi prouvée et on constate que

l’on n’a égalité dans le calcul précédent que si : Wf1 =Wf2.

Puisque l’inégalité d’énergie implique l’injectivité de W, il vient, dans ce cas : si f16= f2, alors on a inégalité stricte, et J est strictement convexe.

Bilan

Ainsi, si l’on suppose l’inégalité d’observation vérifiée, la méthode exposée dans la sous-section précédente reste donc valable et l’on peut utiliser la méthode de descente proposée pour résoudre le problème de la TTA.

Nous verrons au cours du Chapitre C que cette méthode de résolution a des spécificités qui la rendent très intéressante : malgré une complexité élevée, la minimisation est particulièrement robuste tant vis-à-vis du bruit que de l’observabilité. En particulier, nous testerons cette méthode hors du cadre coercif présenté ci-dessus avec des résultats remarquables. Cette situation nous intéresse tout particulièrement en pratique dès lors qu’une connaissance des variations de vitesse peut être fournie indépendamment de la résolution du problème de la TTA.

IV

Le nudging direct et rétrograde

Les idées présentées dans cette section trouvent leur source dans les tra- vaux de Auroux et Blum (consulter la thèse de Didier Auroux [22] et [24], puis [26], qui précise les idées introduites dans le précédent), qui ont été in- dépendamment suivis par [194]. Elles fondent la majorité de nos travaux : c’est en effet à partir de la connaissance de l’algorithme de Back and Forth Nudging (BFN, ou Nudging Direct et Rétrograde) et de son étude que nous avons défini des méthodes de reconstruction itératives pour différents types d’observateurs.

Nous commençons par définir la méthode de nudging, puis l’algorithme du BFN, en Sous-section IV.1. Nous étendrons cette définition aux obser- vateurs itératifs généraux dans la Section V. Nous présenterons, dans la Sous-section IV.2, les divers moyens de définir rigoureusement le BFN pour les systèmes dynamiques de dimension infinie, dont ceux concernant les opé- rateurs linéaires diagonalisables, cas le plus général abordé à ce jour en ce qui concerne les systèmes linéaires, à notre connaissance. Nos applications du BFN à la TTA sont enfin présentées dans la Sous-section IV.3, où seront abordés les aspects spécifiques du BFN appliqué aux équations d’onde pour des données du type de celles de la TTA.