Les dispositifs d’observation et les données

De très nombreux dispositifs d’observation de l’onde de pression émise ont été développés et testés. Nous pouvons distinguer les différentes techno- logies d’acquisition de l’onde acoustique des types d’observations obtenues. Les premières caractérisent les dispositifs expérimentaux d’enregistrement des données, parmi lesquels les capteurs piézoélectriques, les lasers (dont les rayons sont perturbés par les ondes ultrasonores), les interféromètres (qui permettent de mesurer cette perturbation), etc. À ces dispositifs corres- pondent des données typiques de chacun d’eux, telles les observations de type linéaires, planaires, circulaires, sphériques notamment, ainsi que diffé- rentes hybridations : ainsi par le biais de l’utilisation d’un interféromètre et d’une formule d’inversion des observations linéaires (en moyenne) ob- tenues, un ensemble de données ponctuelles peuvent être définies (voir la Sous-section IV.2.2 page 73).

13. En UTT, on mesure la vitesse et/ou l’atténuation d’une onde acoustique qui traverse le corps observé pour en déterminer les hétérogénéités.

Autour de G.J. Diebold, de nombreuses expérimentations ont été menées à partir de 1983, et principalement durant les années 90 [57, 72, 73, 74, 75]. À la fin de cette décennie, R.A. Kruger a créé différents prototypes, qui ont été les premiers dispositifs dédiés à la tomographie thermoacoustique [137, 138, 139, 140, 141].

II.3.1 Les technologies d’acquisition de l’onde de pression Les capteurs piézoélectriques

Les matériaux piézoélectriques sont un type de transducteurs électroa- coustiques14 _{qui se polarisent électriquement sous l’action d’une contrainte}

mécanique et qui, inversement, se déforment en présence d’un champ élec- trique. Les modélisations les plus courantes en TTA font appel à des capteurs piézoélectriques.

Leur petite surface d’acquisition justifie l’appellation courante de quasi- ponctuel [20, 52, 186] et ces capteurs sont souvent modélisés comme étant ponctuels. Puisqu’en réalité la surface des capteurs fournit une moyenne lo- cale de l’onde acoustique, cette imprécision limite la résolution de la méthode. Il est cependant facile de tenir compte de leur surface en considérant le fait qu’ils fournissent l’intégrale de l’onde de pression sur leur surface au lieu d’une valeur ponctuelle [52, 106, 121] (ce qui permet aussi d’évaluer l’erreur commise en supposant la ponctualité de ces capteurs).

Enfin, les capteurs piézoélectriques sont directifs, mais souvent supposés isotropes dans les modèles, et comme précédemment, l’anisotropie peut être considérée en corrigeant la modélisation des capteurs.

La lumière et les lasers

Par exemple par le biais d’un interféromètre de Mach-Zehnder ou de Fabry-Perot, on peut mesurer la variation de l’indice de réfraction d’un rayon lumineux (par exemple issu d’un laser) après que celui-ci a été traversé par une onde de pression acoustique [53, 98, 131, 183, 184, 185, 186, 187, 188]. En effet, la variation de l’indice de réfraction induit une différence de phase

14. Les transducteurs sont des matériaux qui convertissent une énergie en une autre, ici une énergie mécanique en énergie électrique, et vice-versa.

dépendant de la longueur d’onde du rayon lumineux ou un changement de l’angle de réfraction de celui-ci lors d’un changement de milieu, ce que mesure le dispositif d’enregistrement15

. Si le rayon est traversé par l’onde acoustique, on obtient alors une mesure de l’intégrale de la variation de pression sur la trajectoire.

Cette technique permet d’obtenir une résolution spatiale remarquable, inférieure à 100 µm. Des systèmes différents (sans interféromètre ou sans laser) reposant sur des propriétés similaires de la lumière ont aussi été mis au point [107, 175, 176].

II.3.2 Les types d’observation

Outre la technologie mise en œuvre pour effectuer la mesure, une autre caractéristique du dispositif d’observation conditionne notre modélisation, à savoir la position des capteurs. En effet, selon qu’ils entourent le corps ou non, selon qu’ils sont disposés continûment et selon qu’ils englobent l’intégralité des sources d’onde acoustique, le problème sera posé et résolu différemment. On dira que les données sont complètes lorsque celles-ci entourent com- plètement et continûment l’objet observé. Nous retrouverons l’hypothèse de données complètes dans de nombreuses méthodes de résolution, et il sera parfois difficile, voir impossible de s’en affranchir.

Toute source de pression située hors du domaine observé est dite source extérieure.

Les observations sont appelées directes si elles représentent des mesures de l’onde de pression (contrairement à des observations intégrales, notam- ment, pour lesquelles les mesures sont des moyennes de l’onde de pression). Dernier point de vocabulaire : selon le positionnement et la forme des cap- teurs, le dispositif est qualifié de planaire [52, 103, 189], cylindrique [180], (hémi-)sphérique [138, 139, 140, 141] ou plus généralement surfacique pour

15. Plus précisément, en première approximation, l’indice de réfraction varie proportion- nellement à la variation de pression du milieu ambiant, suivant un coefficient dépendant de la longueur d’onde et du milieu traversé par le rayon. Voir [185] pour le cas d’un rayon issu d’un laser HeNe et de longueur d’onde 632.8 nm réfracté à une interface eau-prisme de verre.

les dispositifs bidimensionnels, encore (hémi-)circulaire [180], ou plus géné- ralement linéaire [52, 50, 137, 264], pour le cas monodimensionnel.

Lorsque les données sont de type « linéaires en moyenne » (c’est-à-dire qu’elles consistent en les valeurs moyennes de l’onde de pression sur des trajectoires monodimensionnelles), alors le problème posé par la reconstruc- tion des valeurs ponctuelles de l’onde de pression sur une surface contenant cette trajectoire est en lui-même un problème du même type que celui de la reconstruction de l’objet d’étude [145, p. 9].

II.3.3 Compléments

Dernières précisions en ce qui concerne les observations et les dispositifs d’enregistrement :

• Notons que certains artifices permettent au modèle de passer outre certaines limitations techniques. Par exemple, pour simuler une surface d’acquisition infinie, on peut périodiser le problème en espace (d’un point de vue théorique) et utiliser un miroir lors de l’expérimentation, lequel simule une reproduction infinie de l’objet observé. Ce dispositif a été notamment proposé dans [67].

• L’échantillonnage temporel offert par les dispositifs d’enregistrement évoqués (de l’ordre de quelques dizaines de nanosecondes dans le dis- positif utilisé dans l’article [184], par exemple) est suffisamment bon pour ne pas imposer de limitation théorique.

• Enfin, nous introduirons un bruit (parasite) dans les données lors de nos expérimentations numériques : celui-ci oppose certaines difficultés dont les méthodes de résolution élaborées doivent tenir compte, ce qui sera discuté dans le Chapitre B.

III

Mathématiques des ondes et de la TTA

Cette section est dédiée à la définition mathématique du problème posé par la TTA (Sous-section III.1), aux descriptions des outils mathématiques nécessaires à l’étude des équations d’onde et des comportements de ses solu- tions – Sous-section III.2 page 37 – et enfin à l’étude des propriétés fonda- mentales du problème qui nous intéresse, en Sous-section III.3 page 48.

Comme nous allons le voir, nous devrons généralement étudier séparé- ment le cas d’un milieu homogène et celui d’un milieu hétérogène en profitant d’abord des facilités offertes par le premier (dont l’existence de solutions ex- plicites), puis en développant de possibles généralisations.

III.1 Position du problème et notations