1.3 Revue des méthodes inverses en vibroacoustique
1.3.8.2 SEA et théorie de Sabine
Le modèle de Sabine est un modèle de prédiction acoustique dans une cavité fermée aux parois réfléchissantes. Ce modèle considère que le champ acoustique est parfaitement diffus, à savoir que l’intensité spécifique est isotrope et uniforme, et que cette décroissance est gouvernée par la dissipation de l’énergie sous forme de l’absorption par les parois. On considère dans la théorie de Sabine une cavité acoustique fermée de volume V tout en supposant que l’énergie acoustique est uniformément répartie à l’intérieur. Les parois pré-sentent un coefficient d’absorption énergétique α non nécessairement uniforme et supposé très faible devant 1.
On désigne par S l’ensemble de la surface des parois. L’aire d’absorption équivalente notée
Aest interprétée comme l’aire d’absorption totale qui absorberait autant de puissance qu’il
en est absorbé dans le local.
Pour une paroi constituée de plusieurs aires d’absorptions différentes, A résulte alors de la sommation des effets des différentes zones comme suit :
A =X
i
αiSi (1.99)
En se renvoyant à l’ouvrage [33] et en tenant compte de l’hypothèse de l’uniformité
du champ et d’équirépartition angulaire et de décorrélation des ondes, l’intensité Isab dite
intensité de Sabine qui traverse une surface élémentaire de la cavité en provenance d’un des demi-espaces délimités par la surface élémentaire est liée à la densité d’énergie moyenne W dans la cavité par la relation suivante :
Isab = c0
4 W (1.100)
où c0 désigne la célérité du son dans l’air.
Cette intensité est une intensité efficace. Les hypothèses du champ diffus impliquent que le vecteur intensité est nul en moyenne en tout point de la cavité. L’intensité efficace
de Sabine nous permet de quantifier la puissance dissipée πdiss au niveau de la surface
élémentaire :
πdiss = αIsab (1.101)
En absence d’échanges avec d’autres systèmes, le bilan énergétique s’écrit alors :
πinj = VdW
dt +
Ac0
Une relation très simple liant la densité d’énergie acoustique aux paramètres d’entrée du modèle s’écrit dans le cas stationnaire sous la forme :
Wsab = 4πinj
c0A (1.103)
Si la théorie de Sabine semble inappropriée à l’établissement du champ réverbéré, les résultats obtenus lorsqu’on mesure l’extinction du son dans un local illustrent la grande pertinence.
Supposons que le régime est établi, qu’une densité d’énergie réverbérée Wsab donnée par
l’équation 1.103est uniformément répartie dans le volume V et que la source est
brusque-ment arrêtée à l’instant t = 0 c’est à dire que πinj passe instantanément à 0, le bilan de
puissance s’écrit alors en utilisant la constante de temps de Sabine τ comme suit : dW
dt +
1
τW = 0 (1.104)
L’évolution de la densité d’énergie et de l’intensité est donc régie par :
W(t) = Wsabe−t/τ (1.105)
I = πinj
A e
−t/τ (1.106)
Plus pratique que la constante de temps τ, on définit le temps de réverbération, et on
note TRle temps nécessaire à la densité d’énergie ou à l’intensité réverbérées pour diminuer
de 60dB, soit pour être réduites à un millionième de leur valeur initiale.
Dans les conditions standards de pression et de température, on montre que ce temps TR
ne dépend que de l’aire d’absorption équivalente A et du volume V de la cavité et tout ça
se résume dans l’approximation suivante [34, 35, 36], connue sous le nom de formule de
Sabine :
TR = 0.16V
A (1.107)
Cette relation est très intéressante en ce sens qu’elle relie directement une grandeur tem-porelle caractérisant l’évolution de l’énergie à des grandeurs géométriques simples (volume
V et surface S), et aux caractéristiques d’absorption des parois.
En effet, le modèle de Sabine qui constitue la base de la plupart des méthodes d’analyse des salles a l’avantage de relier de manière linéaire les principaux paramètres physiques et géométriques caractérisant l’acoustique dans un local.
La simplicité de la formule 1.103donnant la densité d’énergie en régime stationnaire peut
être mise à profit pour identifier une puissance, une absorption ou encore pour prédire une
densité d’énergie. La relation 1.107présente un autre avantage qui est la possibilité de
ca-ractériser un coefficient d’absorption sans connaître la puissance de la source acoustique. Le modèle de Sabine est donc le paradigme du modèle acoustique direct et inverse, auquel se reflète la plupart des méthodes d’acoustique des salles basées sur l’énergie.
Les hypothèses du modèle de Sabine restreignent sa validité au cas d’une cavité très réverbérante et excitée de manière homogène. En réalité, la source de puissance est souvent ponctuelle. Dans ce cas, la formule de Sabine peut être légèrement améliorée en tenant compte du champ direct. Ainsi, la densité d’énergie de Sabine est augmentée d’un terme nouveau directement lié à la distance r à la source :
Wsab(r) = 4πinj
c0A +
πinj
4πr2c0
(1.108) Cette relation permet de définir le rayon acoustique, distance à la source à laquelle les champs directs et réverbérés sont de niveau égal :
ra=
r A
50 (1.109)
Les parois des surfaces posent un problème. En effet, l’absorption au niveau pariétal est incompatible avec l’équirépartition angulaire de l’intensité. Dans la direction normale à la paroi et au niveau des zones les plus absorbantes, l’équirépartition angulaire n’est pas res-pectée.
En revanche, là où l’absorption est très faible, la réflexion des ondes s’effectue de manière quasi spéculaire sur les parois. Dans ce cas là, les deux ondes incidente et réfléchie sont liées de manière précise. La décorrélation des ondes est donc mise en défaut.
Le principal inconvénient de la formule de Sabine en particulier et de la théorie de Sa-bine en général réside du fait qu’elle suppose des conditions non respectées en pratique telles que l’hypothèse de diffusion homogène et l’absence d’ondes stationnaires. D’une part, elle sera donc d’autant mieux vérifiée que l’absorption des parois est faible, et d’autre part, elle s’inscrit plutôt dans un contexte hautes fréquences pour lequel la densité modale est importante. On peut d’ailleurs remarquer que ces deux conditions sont en pratique antago-nistes puisque les matériaux sont généralement d’autant plus absorbants que la fréquence est élevée.
De plus, de nombreuses incertitudes sont liées à la mesure du temps de réverbération, en
raison d’irrégularités sur la courbe de décroissance et la valeur de TR peut correspondre à
des phénomènes d’absorption différents.
On réservera donc l’application de la théorie de Sabine au cas de cavités très réverbé-rantes munies de diffuseurs et aux parois non parallèles pour éviter l’établissement d’ondes stationnaires. La densité d’énergie devra être évaluée loin de la source à une distance très
supérieure au rayon acoustique raet loin des parois.
1.4 Conclusion
Dans ce premier chapitre, nous avons présenté au début les principes de base des mé-thodes inverses ainsi que les éléments théoriques permettant le conditionnement et la régu-larisation de la solution d’identification obtenue.
par chacune d’elles ainsi que les améliorations à prévoir et nos attentes sur l’identification dans la classe des moyennes et hautes fréquences.
Comme conclusion, nous avons choisi d’utiliser la Méthode Energétique Simplifiée qui sera la base de notre travail.
Dans les chapitres suivants de ce rapport, cette méthode énergétique sera présentée. Ses ré-sultats d’identification dans les deux cas structure et acoustique seront détaillés et comparés avec d’autres méthodes.