Caract´ erisation graphique des
4.3 Un sch´ ema structur´ e suffit ` a garantir la coh´ erence distribu´ ee
Dans le cadre des CSPs, les travaux de Freuder [Fre82] ou Dechter [Dec92] ont montr´e qu’un r´eseau de contraintes acyclique qui satisfait l’arc coh´erence (la coh´erence locale) est globalement coh´erent. Comme nous le verrons lorsque nous aborderons les syst`emes d’interactions, la mod´e-lisation des r´eseaux de contraintes est d´ependante du vocabulaire partag´e. Ce n’est pas le cas pour les syst`emes que nous consid´erons, nous red´emontrons donc la propri´et´e dans un cadre plus g´en´eral. `A travers la Figure 4.6 nous ressituons les syst`emes structur´es dans la caract´erisation des syst`emes garantissant un diagnostic distribu´e correct cf Figure 4.2.
Figure4.6 – Un syst`eme structur´e suffit `a garantir un diagnostic distribu´e correct
Nous d´emontrons tout d’abord la propri´et´e suivante :
Propri´et´e 4.5 (Coh´erence d’une union de mod`eles partiels) Toute union de mod`eles par-tiels deux `a deux coh´erents est coh´erente.
Preuve. Soit Mn = ∪
i=1..nmi une union de n mod`eles deux `a deux coh´erents. Montrons par r´ecurrence sur n que Mn est coh´erent.
Cas de base n = 2. Par d´efinition M2 est l’union de deux mod`eles m1 et m2 coh´erents. M2 est donc coh´erent.
(HR) Supposons que toute union Mn−1de n-1 mod`eles deux `a deux coh´erents est coh´erente. Mon-trons que Mnest coh´erente. Posons Mn= Mn−1∪ mn. Par (HR) Mn−1 est coh´erente. Compte tenu de la d´efinition de Mn, on a mn coh´erent avec chacun des mod`eles mj tq 1 ≤ j ≤ n − 1. On en d´eduit que mn est coh´erent avec Mn−1. L’union des mod`eles form´ee par Mn est donc
coh´erente. 2
Avant de pr´esenter la condition suffisante `a la coh´erence distribu´ee nous pr´esentons la pro-pri´et´e suivante. Elle nous est aussi utile pour la d´emonstration du th´eor`eme 4.1 que nous ´enon-¸cons dans la suite.
Propri´et´e 4.6 (Sous-arbre d’un arbre joint) Tout sous-arbre d’un arbre joint est un arbre joint
Preuve. Soient A un arbre joint et SA un de ses sous-arbre. Tous les chemins entre deux pairs de A respectent la running intersection. Or SA est un sous-arbre de A, alors tous les chemins de SA sont inclus dans les chemins de A. Tous les chemins de SA respectent donc la running
intersection. 2
Figure 4.7 – Syst`eme structur´e du sch´ema de la Figure 4.5
A l’aide de ces deux propri´et´es nous prouvons une condition suffisante sur le sch´ema garan-tissant la coh´erence distribu´ee.
Th´eor`eme 4.1 (Condition suffisante pour la coh´erence distribu´ee) Tout syst`eme structur´e, localement coh´erent, garantit la coh´erence distribu´ee.
Preuve. Soit S un syst`eme structur´e localement coh´erent et G((P, V ), ACQ) son sch´ema. Notons Ar un arbre joint couvrant de G enracin´e en un pair quelconque r. Afin de montrer le th´eor`eme 4.1, montrons par r´ecurrence sur la profondeur d de Ar que tout mod`ele local de Φr
Cas de base d = 0. La racine r est l’unique pair de Ar, tous ses mod`eles locaux sont globa-lement coh´erents.
(HR) Supposons que tout mod`ele local `a la racine d’un syst`eme structur´e localement coh´e-rent contenant un arbre joint couvrant de profondeur 1 ≤ d” < n est globalement coh´ecoh´e-rent. Soit un syst`eme structur´e localement coh´erent dont l’un des arbres joints couvrant Ar enracin´e en r est de profondeur d = n. Notons P′ l’ensemble des voisins de r dans G. Pour tout voisin p′ de r notons Ap′ le sous-arbre de Ar enracin´e en p′. Par la propri´et´e 4.6, on sait que Ap′ est un arbre joint de profondeur < n. Par (HR) tout mod`ele local mp′ d’un voisin p′ de r est globalement coh´erent. mp′ peut donc se prolonger en un mod`ele mAp′ coh´erent avec l’union des descriptions des pairs du sous-arbre Ap′. En effet, on a : prof ondeur(Ap′ < n pour le syst`eme de pairs couvert par Ap′. Soient mr un mod`ele local `a r et mAp′, mAp” deux mod`eles des sous-arbres enracin´es en p′, p” voisins de r tq mAp′ et mAp” sont coh´erents avec mr. Par la coh´erence des mod`eles on a que toute assignation de variables partag´ees entre r et les pairs de A′p sont identiques. De mˆeme toute assignation de variables partag´ees entre r et les pairs de Ap” sont identiques. Or Ar
est un arbre joint. Ainsi toute variable partag´ee entre Ap′ et Ap” est contenue dans r. Avec la remarque pr´ec´edente on d´eduit que toute assignation de variables partag´ees entre mAp′ et mAp”
sont identiques, mAp′ et mAp” sont donc coh´erents. En r´esum´e nous obtenons que tous mod`eles des sous-arbres des pairs voisins de r, coh´erents avec mr, sont deux `a deux coh´erents. Par la propri´et´e 4.5, nous d´eduisons que toute union de mod`eles des sous-arbres des pairs voisins de r coh´erents avec mr, est coh´erente. mr est donc globalement coh´erente. 2
Figure 4.8 – Syst`eme structur´e v´erifiant la coh´erence distribu´ee du sch´ema Figure 4.5
Nous avons illustr´e en d´ebut de chapitre (cf. Figure 4.1), un syst`eme non structur´e o`u la coh´erence locale n’impliquait pas la coh´erence globale. Nous rendons ce syst`eme correct pour le consistance distribu´e en deux ´etapes. Premi`erement `a la Figure 4.7 nous le structurons. Son
sch´ema correspond au sch´ema structur´e pr´esent´e `a la Figure 4.5. `A partir de la description du syst`eme initial Figure 4.1, seule la description de PE est enrichie de la variable v. Nous avons vu que nous pouvons tester la coh´erence de deux mod`eles uniquement `a partir de leur expression sur les variables partag´ees. Afin de rendre chaque description localement coh´erente, chaque couple de pairs (pi, pj) s’´echangent une formule Φ′pi→pj satisfaite par la restriction des mod`eles de pi
exprim´ee sur le vocabulaire de pi et pj (Φ′pi→pj = restrictΦpjV (pi) ∩ V (pj)). `A la r´eception d’un message Φ′pi→pj pj met `a jour sa description de fa¸con `a ce que tous ses mod`eles soient coh´erents avec pi. Il n’y a que PE qui met `a jour ses mod`eles et retire les mod`eles devenus incoh´erents (signal´es par un ´eclair). Nous remarquons que sans l’ajout de la variable v au vocabulaire de la description de Pe, aucun mod`ele local `a PE n’aurait ´et´e supprim´e. En r´eit´erant ce processus, ce sont cette fois les descriptions accessibles des pairs PB et PA qui sont mises `a jour. Ce syst`eme structur´e v´erifie la propri´et´e de coh´erence distribu´ee et garantit un diagnostic distribu´e correct.
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A la Figure 4.8 nous pr´esentons un syst`eme structur´e localement coh´erent. Nous avons mis en relief les assignations des variables partag´ees identiques entre les pairs PAget PEs et entre les pairs PEs et PBq. De mˆeme au dessus de chaque pair nous illustrons les diagnostics localement coh´erents faisant partie d’un diagnostic distribu´e du syst`eme global.
Nous rappelons que caract´eriser les syst`emes o`u la coh´erence locale implique la coh´erence globale (c-`a-d les syst`emes garantissant la coh´erence distribu´ee) nous permet de caract´eriser les syst`emes garantissant un diagnostic distribu´e correct. Par le th´eor`eme 4.1, nous d´eduisons que tout algorithme capable de transformer un syst`eme observ´e de pairs vers un syst`eme accessible ´equivalent, localement coh´erent et structur´e suffit `a garantir un diagnostic distribu´e correct mais n’est pas n´ecessaire. Dans la suite nous mettons en ´evidence des conditions n´ecessaires `a la coh´erence distribu´ee.