Evaluation de la largeur arborescente sur les graphes petit ´ mondemonde

A la fin de l’algorithme, n pairs ont ´et´e ´elimin´es. Pour chaque ´elimination, le jeton a poten-tiellement visit´e l’ensemble de toutes les arˆetes ACQ dans les deux sens (dans le pire des cas) faisant une ´election locale `a chaque pair p. Apr`es quoi, durant la phase de reconnexion des sous arbres, chaque pair sera impliqu´e. Puisque chaque ´election locale requiert un nombre constant de messages non concurrents, la complexit´e global est approxim´ee par O(n ∗ ACQ) c.`a.d O(n³). Nous avons impl´ement´e et analys´e les performances de notre algorithme sur une plate forme centralis´e simulant le contexte distribu´e.

5.6 Evaluation de la largeur arborescente sur les graphes petit^´

monde

Dans la section pr´ec´edente, nous avons pr´esent´e l’algorithme TE qui transpose le principe des techniques bas´ees sur l’ordre d’´elimination dans un contexte distribu´e. Il ´elimine un `a un les pairs ´elus par leur voisinage et en possession du jeton. Un pair est ´elu s’il a le meilleur score de son voisinage. Le score de chaque pair est calcul´e par l’heuristique Min Cluster (la taille du cluster que produirait un pair lors de son ´elimination) ou Min Proj (la taille de la projection des variables partag´ees que produirait un pair lors de son ´elimination).

Nous comparons les performances et la qualit´e des d´ecompositions arborescentes produites par notre algorithme TE par rapport `a la bucket ´elimination (BE) guid´ee par des heuristiques d’ordonnancement issues du contexte centralis´ee (Min-Fill) pr´esent´ee `a la section 5.3.2 page 104.

Nous comparons aussi notre approches par rapport des d´ecompositions arborescentes envisag´ees dans un contexte distribu´e (DFS, DFS MCS) pr´esent´ee `a la section 5.2.1.3 page 94.

Dans le but de pouvoir comparer la qualit´e des d´ecompositions arborescentes produites par TE, par rapport `a d’autres m´ethodes du contexte distribu´e et du contexte centralis´e, nous avons g´en´er´e des benchmarks de graphes d’interactions de mod`eles petit monde. Les graphes d’interactions o`u une variable ´etiquette un noeud sont n´ecessaires `a l’application des m´ethodes du contexte centralis´e. Afin de r´eutiliser cette mod´elisation dans un contexte distribu´e, nous avons apport´e certaines adaptations `a TE et consid´er´e que le vocabulaire associ´e `a un pair se constituait de sa variable ainsi que de ses variables voisines non encore ´elimin´ees. Dans ce cas une variable partag´ee du vocabulaire associ´e `a un pair est propag´ee jusqu’`a ce que son pair initial s’´elimine.

5.6.0.1 Les graphes petits mondes

Dans le but de g´en´erer des probl`emes simulant des applications r´eelles, plusieurs travaux de Newman [NG04], [New03] sur les mod`eles al´eatoires, ont montr´e que le graphe d’interactions d’une grande partie des probl`emes r´eels avait une structure dite petit monde et sans ´echelle. Par exemple, dans le domaine du diagnostic de circuits ´electroniques les exp´eriences de Provan et Wuang [PW07] [WP09] ont montr´e que la topologie de circuits ´electroniques ISCAS suivait effectivement une topologie de graphe petit monde de type WS. L’´etude de Walsh [Wal99] compare la satisfaction de probl`emes de coloration de graphes et de planification par diff´erentes techniques de restart pour des probl`emes suivant cette mˆeme structure WS. Afin de tester notre approche sur spectre de r´eseaux petits monde plus large, nous avons aussi test´e le mod`ele de g´en´eration de graphes propos´e par Barabassi et Albert [BA99] (BA Graph) reconnu pour sa capacit´e `a repr´esenter un grand nombre d’applications du monde r´eel (le World Wide Web, des citations scientifiques, des ´echanges de mail, ...). Comparativement `a un r´eseau al´eatoire classique assez homog`ene (la plupart des noeuds ont approximativement le mˆeme nombre de voisins comme c’est le cas dans WS), les r´eseaux de type BA sont extrˆemement h´et´erog`enes (la majorit´e des noeuds ont peu de voisins, tr`es peu de noeuds sont connect´es `a un grand nombre de voisins). Nous avons impl´ement´e un g´en´erateur al´eatoire pouvant g´en´erer des graphes de type BA ou WS en java.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 200 400 600 800 1000 1200 temps en millisecondes

nombre de variables du graphe BE-DFS

BE-DFS-MCS BE-MinFill TE-MinCluster TE-MinProj

Figure 5.22 – Largeur arborescente de BA graphes

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0 200 400 600 800 1000 1200 temps en millisecondes

nombre de variables du graphe BE-DFS

BE-DFS-MCS BE-MinFill TE-MinCluster TE-MinProj

5.6.1 Qualit´e des d´ecompositions arborescentes

Aux figures 5.22 et 5.23, nous mesurons la la moyenne des largeurs arborescentes (en ordon-n´ee) par rapport `a la taille du graphe(en abscisse) sur 10 instances.. Plus petite est la largeur arborescente, plus rapide et plus succinct sera le raisonnement. Nous rappelons qu’une faible diminution de la largeur arborescente peut traduire un gain exponentiel en temps ou en espace pour le raisonnement. Nous comparons notre approche la Token Elimination TE guid´ee par deux heuristiques TE-MinCluster TE-MinProj par rapport `a la Bucket Elimination BE guid´ee par diff´erent heuristiques efficaces utilis´ees en centralis´ees MinFill et en distribu´e DFS, BE-DFS-MCS. Nous rappelons que le Bucket ´elimination suppose un ordre total sur ses variables. Cette ordre total est donn´e par l’heuristique d’exploration. Nous rappelons la signification de chaque heuristique :

• DFS : choix local guid´e parcours en profondeur d’abord.

• DFS-MCS : choix local guid´e parcours en profondeur d’abord privil´egiant l’exploration des noeuds non visit´es ayant une nombre de voisins maximal.

• MinFill : choix global guid´e par les noeuds pour lesquelles le voisinage se rapproche d’une clique.

• MinCluster choix local guid´e par les noeuds pour lesquelles la taille du cluster qu’induirait l’´elimination est minimale.

• MinProj choix local guid´e par les noeuds pour lesquelles la taille de la projection (c-`a-d du s´eparateur) qu’induirait l’´elimination est minimal.

Toutes les m´ethodes et heuristiques ont ´et´e impl´ement´ees en java.

Nos exp´erimentations montrent que la qualit´e des d´ecompositions de TE surpassent les m´e-thodes homologues du contexte distribu´e (BE-DFS, BE DFS-MCS) sur les instances WS et BA. De fa¸con surprenante (fig 5.23), TE produit de meilleures d´ecompositions que BE Min-Fill pour de larges instances (> 700 variables) de r´eseaux de types WS. Pour des r´eseaux de type BA (fig 5.22), nous constatons que la qualit´e de la d´ecomposition produite TE est comparable sans pour autant ˆetre meilleure que celle fournie par BE Min-Fill. De mˆeme, de fa¸con inattendue, alors que DFS-MCS surpasse DFS sur les instances de graphes irr´eguliers, DFS surpasse de loin DFS-MCS qui affiche les plus mauvais r´esultats.

5.6.2 Rapidit´e des d´ecompositions arborescentes

Les figures 5.24 et 5.25reportent la moyenne des temps CPU (en ordonn´ee) n´ecessaire `a chaque m´ethode pour d´ecomposer un graphe dont la taille est indiqu´ee en abscisse. La moyenne a ´et´e calcul´ee sur 10 instances. Nous constatons que la performance CPU de la construction de l’arbre joint implicite de TE est comparable aux algorithmes DFS pour des r´eseaux WS (cf. Figure 5.25), TE obtient les moins bonnes performances sur les r´eseaux de type BA (cf. Figure 5.24). Nous notons aussi que BE Min-fill-in semble suivre une pente cubique sur les instances WS.

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 0 200 400 600 800 1000 1200 temps en millisecondes nombre de variables () BE-DFS BE-DFS-MCS BE-MinFill TE-MinCluster TE-MinProj

Figure 5.24 – Temps de d´ecomposition de BA graphes en ms

0 200000 400000 600000 800000 1e+006 1.2e+006 1.4e+006 1.6e+006 0 200 400 600 800 1000 1200 temps en millisecondes nombre de variables () BE-DFS BE-DFS-MCS BE-MinFill TE-MinCluster TE-MinProj

5.6.3 Conclusion

En r´esum´e, notre algorithme TE se propose de construire une d´ecomposition arborescente distribu´ee respectant la confidentialit´e des variables locales ainsi que les liens d’accointances du r´eseau initial. Nous avons montr´e que cet algorithme est capable de d´ecomposer de larges instances de graphes de type petit monde. La qualit´e des d´ecompositions arborescentes produites surpasse les m´ethodes de r´ef´erence du contexte distribu´e et est comparable aux m´ethodes du contexte centralis´e. Nous avons vu qu’`a partir d’un r´eseau d´ecompos´e nous pourrons garantir un diagnostic distribu´e correct. Dans le chapitre suivant, `a partir de la d´ecomposition arborescente calcul´ee par TE, nous transformons la description d’un syst`eme vers une description compil´ee pour le diagnostic distribu´e.