Soitun domaine deRq, on considère l’opérateur diérentielOet l’équa-tion
Ox({> w) =i sur
On découpe le domaineen cellules élémentaires et on discrétise l’opéra-teur sur chaque cellule. L’expression ainsi obtenueOkest appeléeschéma de discrétisation. L’erreur de consistance (de troncature ou de discrétisation) est la diérence entre la valeur discrétisée et la valeur exacte
hk = OkxOx
= xlmx({l> wm) Plus précisément, on considère l’équation
½ Ox({> w) = 0 sur x({>0) =x0({) surC
pour {réel etw positif. On construit une subdivision {0 ? {1 ? === ? {q avec{=k={l{l1>etw0? w1? === ? wq avecw=n=wlwl1=On notexlm une approximation de la solution exacte x({l> wm)etxm le vecteur xm = (x1m> x2m> ===> xqm)=L’équationOx({> w)discrétisée
Doxm+o+Do1xm+o1+====+D0xm= 0
est appelée schéma de discrétisation ào niveaux en temps. SiDo est la ma-trice identité, le schéma est ditexplicite. Sinon, il estimplicite. Le schéma est d’ordresen temps ett en espace si l’erreur de consistance vérifie
hk=R(ws) +R({t)
Le schéma estconsistant si l’erreur de consistancehktend vers zéro lorsque tous les pas de discrétisation tendent vers zéro.
Exemple.Considérons l’équation de la chaleur Cx
Cw C2x C{2 = 0 et le schéma de discrétisation
xl>m+1xl>m
w xl+1>m2xl>m+xl1>m
({)2 = 0
Ce schéma est un schéma à deux niveaux en temps (metm+ 1) explicite : si xl1>m> xl>metxl+1>msont connus à l’instantm>on peut calculer explicitement xl>m+1 à l’instant (m+ 1)= La quantité xl>m+1 est donnée par le schéma de discrétisation. Pour calculer l’ordre du schéma, écrivons le développement de Taylor
190 Convergence et stabilité par addition, il vient
µC2x C{2
¶
l>m
= xl+1>m2xl>m+xl1>m
({)2 {2
12 µC4x
C{4
¶
l>m
+R({4) L’erreur de consistance est donc
hk= w 2
C2x
Cw2 {2 12
C4x
C{4+R(w2) +R({4)
Le schéma est d’ordre 2 en temps, d’ordre 4 en espace et est consistant puisque l’erreur de consistance tend vers zéro lorsque w et { tendent vers zéro. En revanche, si nous écrivons une discrétisation de la dérivée en { à l’instant wm au lieu de l’écrire à l’instant wm+1, on obtient le schéma suivant
xl>m+1xl>m
w xl+1>m+12xl>m+1+xl1>m+1
({)2 = 0
Si les éléments discrétisés sont connus jusqu’à l’instantm, on ne peut pas calculerxl>m+1par l’expression du schéma de discrétisation, carxl+1>m+1et xl1>m+1 sont inconnus. Le schéma donne implicitementxl>m+1 à l’instant (m+ 1). Il su!t d’écrire toutes les équations et de résoudre le système. Le schéma est ditimplicte.
8.10 Convergence et stabilité
Un schéma de discrétisation estconvergent si la solution numériquexl>m tend vers la solution exactex({l> wm)lorsque les pas de discrétisation tendent vers zéro. Le schéma estconditionnellement convergent s’il converge pour une condition donnée. SoitK un espace vectoriel normé, D un opérateur deK. On note xq+1=Dxq un schéma numérique. On dit que ce schéma eststable s’il existe une constante Nindépendante deqtelle que
kDqkN
Le schéma est dituniversellement stable ouinconditionnellement stable si le schéma est toujours stable, c’est-à-dire siN est bornée quels que soient les pas de discrétisation etconditionnellement stable siNest bornée pour certaines valeurs des pas de discrétisation. Autrement dit, un schéma est stable si les erreurs ne s’amplifient pas au fur et à mesure que le calcul pro-gresse. D’autre part, remarquons qu’il y a autant de définitions de stabilité que de normes. En général, on parle de stabilité dans O2 ou au sens de Neumann. On appelle fonction ou matrice d’amplification, la fonction ou la matriceVobtenue par transformée de Fourier de l’expression analytique du schéma numérique
xq+1=Dxq
soit
ˆ
xq+1=V(z)ˆxq
oùxˆq est la transformée de Fourier ˆ
xq(z) = Z +4
4
xq({)hlz{g{
On vérifie que la transformée de Fourier dexl+n>m satisfait ˆ
xl+n>m(z) =hlnz{=xˆl>m(z) En eet,
ˆ
xl+n>m(z) = Z +4
4
x({l+n{> wm)hlz{g{l Par le changement de variable|l={l+n{>on a
ˆ
xl+n>m(z) = hlnz{= Z +4
4
x(|l> wm)hlz|l g|l
= hlnz{=ˆxl>m(z)
On démontre qu’un schéma est stable si et seulement si tous les éléments deVq restent bornés quandqtend vers l’infini
kVqk1
Un schéma est dit stable au sens de Neumann si le rayon spectral de la matrice d’amplification est borné par 1. On démontre que si la norme de la matrice d’amplification est inférieure à 1 alors le schéma est stable et que réciproquement, lorsque la matriceV est normale (VV=VV =V), on a équivalence entre stabilité et condition de Neumann. Ce qui est toujours le cas lorsqueV est une fonction. On démontre aussi le même résultat lorsque la matriceV s’écrit comme une somme V =D+lE oùDest une matrice symétrique et E une matrice antisymétrique (Ew = E). On démontre encore les deux résultats suivants :
Si le déterminant de la matrice des vecteurs propres de la matrice d’am-plificationV(z)garde un signe constant pour toutz, alors le schéma est stable si et seulement si le rayon spectral est inférieur à 1 :(V)1.
Si tous les éléments de la matrice d’amplification V(z) sont bornés pour toutz, et si toutes les valeurs propres deV, sauf peut-être une, sont stric-tement inférieures à 1, alors le schéma est stable si et seulement si le rayon spectral est inférieur à 1 :(V)1.
192 Convergence et stabilité Pour les problèmes linéaires bien posés, lethéorème de Lax a!rme l’équi-valence des notions de convergence et de stabilité. Il a!rme que pour qu’un schéma numérique d’un problème linéaire bien posé converge il faut et il su!t que ce schéma soit stable et consistant.
Exemple 1. Schéma implicite.Considérons l’équation de la chaleur Cx
z |V(z)|1>le schéma est universellement stable.
Exemple 2. Schéma de Richardson.Considérons l’équation de la chaleur et le schéma de discrétisation
Comme(V)A1, le schéma est toujours instable.
8.11 Exercices
1. On considère l’équation suivante g2x
g{2 +egx g{ =e
sur l’intervalle]0>1[et les conditions limitesx(0) =x(1) = 0. L’espace d’approximation est l’espace de HilbertY défini par
Y ={y5K01(0>1) : y(0) =y(1)}
Mettre le problème sous forme variationnelle et montrer que ce pro-blème admet une solution unique surY.
2. Fléchissement d’une poutre.Étant donné deux fonctionsfeti conti-nues sur l’intervalle[0>1], la fonction f({)étant positive ou nulle sur cet intervalle, on considère le problème du fléchissement d’une poutre soumise à une forcei sous la forme
½ x”({) +f({)x({) =i({) 0? { ?1 x(0) =x(1) = 0
On suppose la solutionxdeux fois continûment dérivable sur[0>1]. On note Y l’espace de SobolevK01([0>1])> c’est-à-dire l’espace des fonc-tions continues sur[0>1], nulles aux bornes de cet intervalle et conti-nûment dérivables par morceaux. L’espaceY est muni de la norme
kyk= µZ 1
0
(|y0({)|2+|y({)|2)g{
¶1@2
On note
d(x> y) = Z 1
0
(x0({)y0({) +f({)x({)y({))g{
la forme bilinéaireY ×Y dansUetOla forme linéaire de Y dansU O(y) =
Z 1 0
i({)y({)g{
1) Écrire la formulation variationnelle du problème de Dirichlet.
2) Montrer qu’il existe un nombre A0tel que kyk2d(y> y) ;y5Y
En déduire que le problème variationnel admet une solution unique.
3) On note
M(y) =1
2d(y> y)O(y)
194 Exercices Montrer quex5Y est solution des équations
d(x> y) =O(y) ;y5Y si et seulement si
M(x) = inf
y5YM(y)
4) Déterminer la fonctionxqui minimise surY l’expression K(y) = définit une subdivision de l’intervalle [0>1] aux nœuds{l =lk avec 0lq+ 1. On posefl=f({l),xl =x({l)etil=i({l). Écrire le système d’équations obtenu si on approchex”({l)par le schéma
x”({l)'xl+12xl+xl1
a comme valeurs propres les nombres n= 4
k2sin2
µ n 2(q+ 1)
¶
Calculer le nombre de conditionnement de cette matrice. Que peut-on dire siqest grand ?
7) On suppose quef=$2où$ est une constanteA0et quei = 0.
On considère le schéma de Newmark suivant xl+12xl+xl1
({)2 +$2(xl+1+ (12)xl+xl1) = 0 où est un paramètre. Étudier directement la stabilité du schéma.
Quelle valeur depréconisez-vous ?
Indication :On utilisera sans démonstration (question 2 de l’exercice 1 et question 7 du problème) le résultat suivant : Les conditions pour que les racines de l’équation2V+S = 0soient de module inférieur ou égal à 1 sontS 1si0et1 +V+S 0siA0=
9
Équations elliptiques
Lorsque le problème est bien posé, la solution d’une équation elliptique dépend entièrement des conditions limites. Ce comportement est typique des équations elliptiques et paraboliques. On dit que l’opérateur elliptique est régularisant : une donnée continue bornée conduit à une solution de classeF4. Nous prendrons l’équation de Poisson (oul’équation de Laplace sii = 0) comme prototype des équations elliptiques linéaires homogènes
x=i avec
= C2
C{21 +====+ C2 C{2q
Pour l’équation de Laplace, le problème de Dirichlet ou le problème de Dirichlet-Neumann est bien posé. En revanche, le problème de Neumann est un problème mal posé (q1), comme on le vérifie facilement pourq= 1.
L’équation x00({) = 0 sur l’intervalle [d> e] dotée des conditions limites x0(d) =x0 etx0(e) =y0 conduit à une solution de la formex00({) ={+ qui, ou bien n’a pas de solution six0 6=y0, ou bien admet une infinité de solutions six0=y0. On démontre que les problèmes sont bien posés à l’aide duprincipe du maximum. Ce résultat permet aussi de démontrer un grand nombre de résultats sur l’existence, l’unicité et la régularité des solutions des problèmes elliptiques.
196 Fonctions harmoniques. Principe du maximum
9.1 Fonctions harmoniques. Principe du maximum
Les fonctions harmoniques sur un ouvert de Rq sont des fonctions dont le laplacien est nul x= 0= Elles vérifient le principe du maximum qui a!rme que si une fonction réellexest harmonique dans un ouvert de deRq et continue sur le bordC, alorsxn’a ni maximum local strict ni minimum local strict dans=Autrement dit, les valeurs dexdanssont comprises entre l’inf et le sup des valeurs dexprises sur le bordC=
|5Cinf x(|)? x({)? sup
|5C
x(|)
Les fonctions harmoniques deRq{0}sont des fonctions centrales qui ne dépendent que de la norme de {. On démontre que ces fonctions sont de classeF4()et analytiques sur=