Au XVIh siècle, les mathématiciens utilisaient des valeurs numériques tabulées à partir desquelles ils pratiquaient l’interpolation linéaire pour évaluer des valeurs intermédiaires. Cette technique n’étant pas toujours su!samment précise, les méthodes de calcul à l’aide des diérences finies se sont développées. Thomas Harriot (1560-1621), Henry Briggs (1561-1630), James Gregory (1638-1675) et Isaac Newton (1642-1727) ont élaboré la théorie des diérences divisées.
Soit i une fonction continue de [d> e] dans U et {0 ? {1 ? = = = ? {q
une subdivision de l’intervalle[d> e]>on appellediérence divisée d’ordre n dei et on notei[{0> = = = > {q] le coe!cient de{q dans l’unique polynôme d’interpolation de Lagrange Sq de degré inférieur ou égal à q vérifiant Sq({l) =i({l)pour 0lq=
Les propriétés des diérences divisées sont les suivantes :
(1)Formule de Newton. Le polynôme d’interpolation, appelé dans ce cas polynôme d’interpolation de Newton, s’écrit
Sq({) =i({0) + Xq
m=0
i[{0> = = = > {m] ({{0)· · ·({{m1) (2) Les diérences divisées s’expriment comme une diérence
;n5Q> i[{0> = = = > {n] = i[{1> = = = > {n]i[{0> = = = > {n1] {n{0
(3)Formule de Leibniz. Soit i> j> ktrois fonctions définies sur l’intervalle [d> e]et telles quei =jk, alors
i[{0> = = = > {q] = Xq
m=0
j[{0> = = = > {m]k[{m> = = = > {q]
42 Diérences divisées (4) Les diérences divisées s’expriment comme une somme
i[{0> = = = > {q] = Xq m=0
i({m) 0q({m)
où0q({)est la dérivée deq({) = ({{0)({{1)· · ·({{q)>c’est-à-dire 0q({n) = ({n{0)· · ·({n{n1)({n{n+1)· · ·({n{q) La vérification de ces propriétés est facile. La première propriété résulte du fait queSnSn1est un polynôme de degré inférieur ou égal ànadmettant i[{0> = = = > {n] comme diérence divisée
Sn({)Sn1({) =i[{0> = = = > {n] ({{0)({{1)· · ·({{n) En sommant sur l’indicen de1àq et en remarquant quei[{0] = i({0) on en déduit (1).
La deuxième propriété se démontre en considérantS le polynôme d’inter-polation de i aux points {0> = = = > {n, T le polynôme d’interpolation de i aux points{0> = = = > {n1 etU le polynôme d’interpolation de i aux points {1> = = = > {n. Les expressions suivantes
S({) =T({) + {{0
{n{0(U({)T({)) = ({{0)U({)({{n)T({) {n{0
sont vraies, car les deux membres coïncident pour les valeurs{0> = = = > {n, et par unicité du polynôme sont donc égales pour tout{. L’équation précé-dente, écrite pour{={n> conduit à la formule proposée.
Formule d’Hermite-Genocchi.Soiti une fonction de classeFq, la diérence divisée s’écrit sous forme intégrale
i[{0> = = = > {q] =R1
0 gx1R1x1
0 gx2R1x1x2
0 gx3= = =
= = =R1x1===xq1
0 i(q)({0+ ({1{0)x1+· · ·+ ({q{0)xq)gxq Cette formule se démontre par récurrence surq. Siq= 1, on a
Z 1 0
i0({0+ ({1{0)x1)gx1= i({1)i({0) {1{0
=i[{0> {1]
Supposons que la formule soit vraie jusqu’à l’ordre (q1). En intégrant, on obtient
Z 1 0
gx1 Z 1x1
0
gx2= = = Z 1x1===xq1
0
i(q)({0+ ({1{0)x1+· · ·+ ({q{0)xq)gxq
= Z 1
0
gx1· · ·
Z 1x1===xq2
0
1
({q{0)i(q1)({q+ ({1{q)x1+· · ·
· · ·+ ({q1{q)xq1)i(q1)({0+ ({1{0)x1+
· · ·+ ({q1{0)xq1)gxq1 Puis, par changement de variables
y1=x1> y2=x3> = = = > yq2=xq1> yq1= 1x1= = =xq1 on obtient
= Z 1
0
gy1· · ·
Z 1y1===yq2
0
1
({q{0)i(q1)({1+ ({2{1)y1+
· · ·+ ({q{1)yq1)i(q1)({0+ ({1{0)y1+
· · ·+ ({q1{0)yq1)gyq1 En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a
= 1
({q{0)(i[{1> = = = > {q]i[{0> = = = > {q1]) La propriété (2) permet alors de conclure.
Le théorème des résidus permet d’évaluer les diérences divisées. Soit un domaine simplement connexe du plan complexe dont le bord C est réunion d’arcs de classeF1 et contenant en son intérieur tous les points }0> }1>===>}q= Sii(})est analytique sur et continue sur son bord, alors
i[}0> = = = > }q] = 1 2l
Z
C
i(})
(}}0)· · ·(}}q)g}
Nous supposons maintenant que les points {0 ? {1 ? = = = ? {q de l’in-tervalle de [d> e] sont régulièrement espacés {l+1 {l = k pour 0 l q1=Dans ce cas, l’expression des diérences divisées se simplifie.
L’opérateur des diérences progressives, desdiérences à droiteou encore opérateur de Bernoulli progressif est l’opérateurdéfini par
i({) =i({+k)i({) Par récurrence, on définit l’opérateurn par
ni({) =¡
n1i¢ ({)
44 Diérences divisées On note
nl =ni({l) il=i({l) et 0i({l) =i({l) En particulier
1l =il+1il
2l =il+22il+1+il
3l =il+33il+2+ 3il+1il
Ces quantités se calculent facilement en les présentant sous la forme d’un tableau dans lequel chaque élément de celui-ci est la diérence des deux éléments voisins situés sur la ligne précédente
i0 i1 i2 i3 i4
i0 i1 i2 i3
2i0 2i1 2i2
3i0 3i1
4i0
Propriétés. (1) Les diérences progressives satisfont la relation ni({m) =nm+1n1m =
Xn
m=0
(1)mFnmi({l+nm)
(2) Les diérences divisées et les diérences progressives sont liées par la relation
i[{l> = = = > {l+n] = ni({l)
n!kn avec k={l+1{l (3) Si on pose{={0+k, la formule de Newton se simplifie
({{0)({{1)= = =({{n1)i[{0> {1> = = = > {n]
= (1)= = =(n+ 1)
n! ni({0)
De la même façon, on construit l’opérateur des diérences régressives.
L’opérateur des diérences régressives, des diérences à gauche ou encore opérateur de Bernoulli régressif est l’opérateurudéfini par
ui({) =i({)i({k) et par récurrence, l’opérateurun est défini par
uni({) =u³
un1i´ ({)
On note
unl =uni({l) il=i({l) et u0i({l) =i({l) En particulier
u1l =ilil1
u2l =il2il1+il2
u3l =il3il1+ 3il2il3 Les diérences régressives satisfont la relation
unm = Xn m=0
(1)m+1Fnmiln+m
De manière analogue, on introduit aussi l’opérateur des diérences centrées.
L’opérateur des diérences centrées ou centrales est l’opérateur notédéfini par
i({) =i({+k
2)i({k 2) et par récurrence, on définit l’opérateurn par
ni({) =³ n1i´
({)
Lesdiérences centrées ont été introduites en 1899 par le mathématicien William Sheppard (1863-1936). Pour les points{l>on note
nl =ni({l) avec 0i({l) =i({l) =il En particulier
i({l+1@2) =il+1il 2l =il+12il+il1
3l+1@2=il+23il+1+ 3ilil1
Propriétés.(1) L’opérateur de Bernoulli de puissance paire s’écrit
2nl = X2n m=0
(1)mF2nm il+nm
(2) L’opérateur de Bernoulli de puissance impaire s’exprime par la relation
2n+1l+1
2 =
2n+1X
m=0
(1)mF2n+1m il+n+1m
46 Diérences divisées (3) Siqetn ont même parité,
nl@2=n(qn)@2
Remarquons que les opérateurs de Bernoulli s’expriment par les opérateurs de translation
ki({) =i({k) et par les formules
=1L u=L1 =1@21@2
ce qui permet de développer un calcul symbolique qui a été utilisé par Lagrange à la fin du XVIIIh siècle.
La formule d’interpolation de Newton a été établie indépendamment par James Gregory en 1670 et par Isaac Newton en 1675. Cette formule avait été donnée quelques années auparavant par Thomas Harriot (en 1610).
Elle correspond à la formule d’Euler-Mac Laurin tronquée à l’ordre q et dans laquelle dérivées et diérences divisées se correspondent. Le polynôme d’interpolation de Newton n’est autre que le polynôme de Lagrange écrit en utilisant les diérences divisées.
Soiti une fonction continue d’un intervalle [d> e]dans Ret{0 ? {1 ? ===
? {q(q+ 1)points distincts de l’intervalle[d> e]. On suppose que les points {l sont régulièrement espacés et on notek={l+1{l la diérence entre deux points consécutifs. On pose{={0+k=L’interpolation de Newton, pour laquelle le polynôme d’interpolation de Lagrange s’écrit (Formule de Newton progressive)
Sq({) =i({0) + Xq n=0
(1)= = =(n+ 1)
n! ni({0)
nécessite (q2+ 3q) additions, q multiplications et (q2 +q)@2 divisions.
L’erreur d’interpolation vaut
Uq({) =i({)Sq({) = (1)= = =(q)
(q+ 1)! kq+1i(q+1)(f) Le nombre f dépend de q et de { et appartient au plus petit intervalle contenant{0,{q et{. L’erreur est majorée par
|Uq({)| kq+1 q+ 1 sup
l=0==q
i(q+1)({l)
La vérification s’eectue en utilisant les propriétés des diérences divisées.
Si on pose{={0+k, la propriété (ii) des diérences progressives s’écrit ({{0)({{1)= = =({{n1)i[{0> {1> = = = > {n]
= (1)= = =(n+ 1)
n! ni({0)
En substituant dans le polynôme d’interpolation de Lagrange écrit sous la forme
Sq({) =i({0) + Xq
nm=0
i[{0> = = = > {n] ({{0)· · ·({{n1)
on obtient la formule de Newton progressive. Dans l’interpolation dei par Sq({)le reste, qui est donné par
Uq({) =i({)Sq({) = Z {
{0
i(q+1)(w)({w)q q! gw vérifie la propriété suivante
< 5]{0> {q[ Uq({) = ({{0)· · ·({{q)i(q+1)() (q+ 1)!
d’où découle la majoration.
En utilisant les diérences régressives et en posant = ({{q)@k> le polynôme d’interpolation s’écrit (Formule de Newton régressive)
Sq({) =i({q)+
Xq
n=1
(+ 1)= = =(+n1)
n! uni({q) = Xq
n=0
F+n1n uni({0) L’erreur d’interpolation devient
Uq({) =i({)Sq({) =(+ 1)= = =(+q)
(q+ 1)! kq+1i(q+1)(f) Le nombref(qui dépend deq) appartient au plus petit intervalle contenant {0,{q et{.
Remarquons que les polynômes de Newton Qn() = (1)= = =(n+ 1)
n! n= 0> = = = > q
forment une base de l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal àq.
Ils vérifient la relation de récurrence
Qn1() =Qn()Qn(1)
48 Algorithme de Neville-Aitken Lorsqu’on utilise les diérences centrales, on établit laformule de Laplace-Everett. Cette formule était connue de Pierre Simon Laplace (1749-1827) qui l’utilisa dans sa Théorie analytique des probabilités publiée en 1812.
Elle a été établie par J.D. Everett en 1900.
i({0+k) = (1)i0+i1(1)(2)
3! 20+(+ 1)(1) 3! 21 +· · · (+q1)(+q2)= = =(q+ 3)
(2q+ 1)! 2q0 + + (+q)(+q1)= = =(q)
(2q+ 1)!
2q
1+U2q({) Le resteU2q({)est donné par
U2q({) =k2q+2(+q)(+q1)= = =(q1)
(2q+ 2)! i(2q+2)(f) Le nombref(qui dépend deq) appartient à l’intervalle{0f{q= D’autres formules peuvent être établies à partir des diérences centrées. En un point{={m+k, on a laformule de Newton-Stirling. Cette formule, connue de Newton, a été étudiée par James Stirling (1692-1770) en 1730.
i({) ' i({m) +1m+2
2!2m+(21)
3! 3m+(21) 4! 4m +(21)(24)
5! 5m+· · ·
Laformule de Newton-Bessel,qui figure dans leMethodus Dierentialis de Newton sous une forme légèrement diérente, a été étudiée par Friedrich Bessel (1784-1846).
i({)'i({m+1
2) +1m+1
2 +(214) 2! 2m+1
2 +(214) 3! 3m+1