Satisfaction

1.4.1 Cons´equence s´emantique

Ayant opt´e des sch´emas d’interpr´etation pour tous les objets syntaxiques, nous introduisons

la notion de mod`ele et les propri´et´es s´emantiques de validit´e et de compl´etude.

La relation de satisfaction |=

Soit A une Σ-alg`ebre. Si on note {T,F} l’ensemble des bool´eens, une proposition P est

interpr´et´ee par une application P

^A

: A

^X

→ {T,F}, dont la d´efinition par r´ecurrence sur les

formules est donn´ee `a la figure 1.5 (on ´ecrit P

^A,σ

au lieu de P

^A

(σ) ) . Dans le cas d’une

proposition ouverteP, on dit queA satisfaitP si la formuleP est vraie dans Aen substituant

aux variables libres n’importe quels ´el´ements deA. Cela s’´ecrit formellement :

D´efinition 1.25 SoitAune alg`ebre de supportA, etP une proposition. On dit queAsatisfait

1.4. Satisfaction

Pour ce qui concerne les clauses ´equationnelles, cela peut s’´ecrire :

D´efinition 1.26 Soit A une alg`ebre etC = ∧

i∈{1,...,m}

a

_i

≈b

_i

⇒ ∨

j∈{1,...,n}

a

⁰_j

≈b

⁰_j

. On dit que A

satisfaitC, ou que C est valide dans A, si, et seulement si : pour toute assignation σ, si, pour

touti∈ {1, . . . , m},a

_i

σ=b

_i

σ, alors, il existe j∈ {1, . . . , n}, tel quea

⁰_j

σ =b

⁰_j

σ.

Soit Γ une th´eorie i.e une partie deL(Σ,X). On dit queA est un mod`ele de la th´eorie Γ, et on

noteA |= Γ siA |=P pour toutP ∈Γ.

Notation: L’ensemble des mod`eles d’une th´eorie Γ sera not´e M od(Σ,Γ), ou plus

simple-mentM od(Γ).

Consid´erons l’exemple suivant :

Exemple 1.16 [COM 01] Soit la sp´ecification suivante :

– Sortes :N at.

– Op´erations : 0 :N at; s:N at→N at.

– Axiomes : 0 +x≈x; s(x) +y≈s(x+y).

Consid´erons l’alg`ebre A, dont le domaine A est l’ensemble `a deux ´el´ements {0, a}, et tel que

s

^A

, l’interpr´etation de sdans A, est l’identit´e s

^A

(0) = 0, s

^A

(a) =a et +

^A

, l’interpr´etation de

+ dansA, soit la projection droite :u+

^A

v estv. A est alors un mod`ele deE.

La relation de satisfaction|=, permet de d´efinir une nouvelle relation surP(L(Σ,X))× L(Σ,X),

dite decons´equence s´emantique.

D´efinition 1.27 Soit Γ une th´eorie et P une proposition. On dit que P est une cons´equence

s´emantique de Γ, et on note Γ |= P si, pour toute Σ-alg`ebre A et pour toute assignation

σ:X → A,A |= Γσ entraˆıneA |=P σ.

Exemple 1.17 [COM 01] Reprenons l’exemple 1.16. Nous avons vu que les ´egalit´es de E sont

satisfaites dansA. Cependant, l’´egalit´e x+ 0≈x n’est pas valide dansA, puisquea+

^A

0 = 0.

Par cons´equent, l’´egalit´ex+ 0≈xn’est pas une cons´equence s´emantique de E

Validit´e et compl´etude de la d´eduction

On consid`ere de nouveau la relation de d´eduction `de la logique classique d´efinie au

para-graphe 1.2.1. Soit Γ⊆ L(Σ,X) la th´eorie engendr´ee par ∆⊆ L(Σ,X) :

Γ ={P ∈ L(Σ,X) |∆`P}

Comme ∆⊆Γ, il est clair queM od(Γ)⊆M od(∆), mais a-t-on l’´egalit´e ? Le th´eor`eme de validit´e

´enonc´e ci-dessous le prouve :

Th´eor`eme 1.1 Si Γ`P, alors Γ|=P

Corollaire 1.2 Les mod`eles d’une th´eorie sont ceux de ses axiomes.

Le th´eor`eme de compl´etude constitue la r´eciproque du th´eor`eme de validit´e :

Th´eor`eme 1.2 Si Γ|=P, alors Γ`P

Avec ces deux th´eor`emes, les relations`et|= sont identiques, ce qui permet deux points de vue

sur les mˆemes probl`emes.

1.4.2 Cons´equence inductive

La relation de cons´equence inductive

Un mod`ele d’une th´eorie qui est une alg`ebre de Herbrand est appel´e mod`ele de Herbrand

de cette th´eorie. La restriction aux mod`eles de Herbrand permet de d´efinir une relation sur

P(L(Σ,X))× L(Σ,X), dite de cons´equence inductive, et qui est plus faible que la relation de

cons´equence s´emantique.

D´efinition 1.28 Soit Γ une th´eorie et P une proposition. On dit que P est une cons´equence

inductive de Γ, et on note Γ|=

_i

P si Hsatisfait P pour toute mod`ele de HerbrandHde Γ

Congruence

Une congruencesur une alg`ebre A est une relation d’´equivalence sur son supportA

compa-tible avec les op´erations :

D´efinition 1.29 Une congruence sur une Σ-alg`ebre A de domaine A est une relation

d’´equivalence ∼ sur A telle que, pour tout f : s

1

×. . . s

n

→ s ∈ Σ, pour tout a

1

, a

⁰₁

, . . . ,

a

_n

,a

⁰_n

dansA :

a

₁

∼a

⁰₁

∧. . .∧a

_n

∼a

⁰_n

⇒f

^A

(a

₁

, . . . , a

_n

)∼f

^A

(a

⁰₁

, . . . , a

⁰_n

)

Remarque:Une congruence sur les termes est alors une congruence sur l’alg`ebre (T(Σ,X),Σ).

Exemple 1.18 [LAL 90] Une congruence ∼ sur un groupe G est d´etermin´ee par la classe de

l’´el´ement neutre, qui est un sous-groupe distingu´e de H

_∼

de G; on a a ∼ b si et seulement si

ab

⁻¹

∈H

_∼

.

Alg`ebre quotient

D´efinition 1.30 Si ∼ est une congruence sur une Σ-alg`ebre A de domaine A, l’ensemble

quotient, not´e A/ ∼, est un ensemble muni d’une structure d’alg`ebre tel que, pour tout

f :s

₁

×. . . s

_n

→s∈Σ, pour tout a

₁

, . . . , a

_n

∈A,

f

_A/∼

([a

1

]

_∼

, . . . ,[a

n

]

_∼

) = [f

_A

(a

1

, . . . , a

n

)]

_∼

o`u, pour touti∈ {1, . . . , n}, [a

_i

]

_∼

est la classe d’´equivalence dea

_i

dansA.

Nous allons voir que les alg`ebres quotients permettent de caract´eriser les cons´equences inductives.

Le noyau d’un homomorphisme φ : A → B est

Ker φ={(a, a

⁰

)∈A

²

|φ(a) =φ(a

⁰

)}

Comme en alg`ebre lin´eaire, tout homorphisme surjectif φ:A → B est factorisable `a travers le

quotient de son noyau en la surjection naturelle et un isomorphisme φ

^∧

(figure 1.6) Dans le cas

o`u H est une alg`ebre de Herbrand, l’interpr´etationi

_H

associ´ee (cf corollaire 1.1) est surjective,

et l’application de la factorisation pr´ec´edente permet de d´eduire l’existence d’un isomorphisme

∧

1.4. Satisfaction

A B

∧

φ

A/Ker φ

φ

Fig. 1.6 – Factorisation d’un homomorphisme

i

_H

H

T(Σ)/Ker i

_H ∧

i

_H

T(Σ)

Fig. 1.7 – Factorisation dei

_H

de H,Ker i

_H

est une ´equivalence ; c’est de plus une congruence, puisque si (h

i

, h

⁰i

)∈Ker i

_H

,

c’est quei

_H

(h

_i

) =i

_H

(h

⁰_i

), donc

i

_H

(f

^H

(h

1

. . . h

n

)) = f

^H

(i

_H

(h

1

), . . . , i

_H

(h

n

))

= f

^H

(i

_H

(h

⁰₁

), . . . , i

_H

(h

⁰_n

))

= i

_H

(f

^H

(h

⁰₁

. . . h

⁰_n

))

On peut ainsi ´enoncer le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 1.3 Pour toute alg`ebre de Herbrand H, il existe une congruence ∼ sur T(Σ) telle

queH soit isomorphe `a T(Σ)/∼.

Remarque: On vient de voir l’int´erˆet des alg`ebres d´efinies comme des quotients, cependant,

contrairement aux alg`ebres de termes dont tout ´el´ement est facilement repr´esentable en machine,

celles-ci ne le sont pas imm´ediatement. En effet, s’il est commode de repr´esenter une classe

d’´equivalence par un ´el´ement de cette classe, le probl`eme se pose de savoir si deux ´el´ements sont

ou non dans la mˆeme classe. Ceci n’´etant pas toujours d´ecidable, il faut plutˆot voir cette

construc-tion comme une d´efiniconstruc-tion abstraite, qui sera concr´etis´ee dans les cas o`u l’on dispose en outre

d’algorithmes (par exemple de r´e´ecriture). On peut ainsi d´efinir r´ecursivement la congruence

engendr´ee par un ensemble d’´egalit´es conditionnelles.

Congruence engendr´ee par un ensemble d’´egalit´es conditionnelles

Th´eor`eme 1.4 [KAP 84a] Soit E un ensemble d’´egalit´es conditionnelles d´efinies sur une

si-gnature Σ. La plus petite congruence engendr´ee par E sur T(Σ), not´ee ∼

E

, se construit

r´ecursivement de la mani`ere suivante :

– ∼

n

est la plus petite congruence telle que :

1. ∼

n

⊆∼

n+1

;

2. si a

_i

σ ∼

n

b

_i

σ pour tout {1, . . . , m}, alors sσ ∼

n+1

tσ, et cela pour toute ´equation

∧

i∈{1,...,m}

a

_i

≈b

_i

⇒s≈t de E;

– ∼

E

= ∪

n∈N

∼

n

Remarque: SiE est un ensemble de simples ´egalit´es, ∼= Φ

₀

, et∼ est not´ee =

_E

.

Th´eor`eme 1.5 [EHR 85] Si E est un ensemble consistant d’´egalit´es conditionnelles, alors

T(Σ)/∼

E

est initiale dansM od(Σ, E). On la d´esigne alors souvent parI(Σ, E), pour souligner

cette caract´eristique.

Le lemme suivant montre l’int´erˆet pratique que l’alg`ebreI(Σ, E) peut ´egalement avoir :

Lemme 1.1 Si E est un ensemble d’´egalit´es conditionelles et C est une clause positive,C est

une cons´equence inductive de E ssi I(Σ, E)|=C

Exemple 1.19 [COM 01] Reprenons l’exemple 1.17. L’´egalit´e x + 0 ≈ x n’est pas une

cons´equence s´emantique de E, mais c’est une cons´equence inductive de E, car on a t+ 0∼

E

t

pour toutt∈ T(Σ), autrement dit on a I(Σ, E)|=x+ 0≈x

On ne doit pas perdre de vue qu’une clause (non positive) peut ˆetre satisfaite dansI(Σ, E), sans

pour autant ˆetre une cons´equence inductive deE. Cette diff´erence est illustr´ee dans [COM 01]

par l’exemple suivant :

Exemple 1.20 [COM 01] Reprenons l’exemple 1.16. ¬(x ≈ s(x)) n’est pas une cons´equence

inductive deE car le mod`ele trivial `a un ´el´ement de E ne satisfait pas ¬(x≈s(x)), mais on a

cependantI(Σ, E)|=¬(x≈s(x)).

Consid´erons l’exemple suivant, dans lequel la sp´ecification contient une ´egalit´e conditionnelle :

Exemple 1.21 [BOU 95] Soit la sp´ecification suivante :

– Sortes :

N at; Bool.

– Op´erations :

0 :N at; T, F:Bool; s:N at→N at; p:N at×N at×N at→Bool;

f :N at×N at×N at→N at.

– Axiomes :

p(x,0, z)≈T; p(x, s(y), z)≈p(x, y, z); p(y, x, z)≈T⇒f(x, y, z)≈0.

On peut montrer que l’´egalit´e p(x, y, z) ≈ T est une cons´equence inductive des axiomes de la

sp´ecification.

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