Sémantique abstraite des communications

Nous donnons maintenant une nouvelle sémantique pour la création dynamique de processus consi-dérant désormais la taille ainsi que la sémantique des primitives de communication définies dans le langage sous la forme de règles de réécriture ainsi que quelques exemples d’application de celles-ci.

Création dynamique de processus avec taille

Dans notre langage, nous considérons désormais une variable de taille. Celle-ci va permettre de conserver une information du nombre de processus présents lorsque nous effectuons des abstractions sur la forme des automates. Cette variable doit se comporter comme une variable globale. Ainsi, lorsque nous effectuons une création de processus, nous devons mettre à jour cette taille dans les mots de pro-cessus qui vont en créer un nouveau. Nous définissons ainsi une nouvelle sémantique pour cette création dynamique intégrant cette mise-à-jour de la taille. Nous faisons le choix d’attribuer au nouveau pro-cessus créé la taille précédente en tant que nouvel identifiant avant d’incrémenter globalement celle-ci. Finalement, nous attribuons en tant qu’état initial au nouveau processus créé, la localité initiale du pro-gramme (i.e. celle associée à la première instruction) avec un environnement initialisé à >.

>^∗ · hL_create× >i · >^∗/

F₀^∗: (hl_self, ρ_selfi,hl_create, ρ_createi) 7→ hl_self, ρ_self[size 7→ ρ_self(size)+ 1]i · f₁: (l_create, ρ_create) 7→ hL_create0, ρ_create[size 7→ ρ_create(size)+ 1]i · F₁^∗: (hlself, ρ_selfi,hl_create, ρ_createi) 7→ hl_self, ρ_self[size 7→ ρself(size)+ 1]i ·

f₂: (lcreate, ρ_create) 7→ hLinit, ρ_{i ni t}[id 7→ ρcreate(size), size 7→ ρcreate(size)+ 1]i

hLcreate× { x= 5; id = 0; size = 2}i hLx× { x= 15; id = 1; size = 2}i (a) A

hL_create0× { x= 5; id = 0; size = 3}i hLx× { x= 15; id = 1; size = 3}i hLinit× { x= >; id = 2; size = 3}i (b) R (A)

Figure 4.4 – Exemple de création dynamique avec mise-à-jour de taille

La Figure 4.4 illustre ce mécanisme. Nous partons d’une configuration à 2 processus respectivement d’identifiants 0 et 1 où le premier processus est à une localité de création dynamique et le deuxième à une localité quelconque. En appliquant la règle de réécriture, nous obtenons un nouvel état de programme composé d’un nouveau processus où toutes les variables de taille des processus reconnus par la règle ont

été mises à jour. Également, le nouveau processus obtient en identifiant l’ancienne valeur de la taille du mot. Il est à noter que l’on concatène le nouveau processus à la droite du mot reconnu mais tout autre position (e.g. au début, à gauche ou à droite de l’appelant, . . .) serait possible.

Communications point-à-point

Cette communication s’effectue par la synchronisation entre deux processus exécutant respective-ment une instruction send et une instruction receive. La sémantique de cette communication d’un pro-cessus d’identifiant i vers un autre d’identifiant j aux localités respectives l_sendet l_{r ec v}allant vers l⁰_send et l_{r ec v}⁰ transmettant la valeur d’une expression e évaluée dans l’environnement du premier processus vers la variable y du second se présente ainsi :

>^∗ · hl_send, {id = i}i · >∗ · hl_recv, {id = j}i · >∗/ F₀^∗: (σself, σ_send, σ_recv) 7→ σself·

f₁: (hlsend, ρ_sendi,hl_recv, ρ_recvi) 7→ hl_send⁰ , ρ_sendi · F₁^∗: (σself, σsend, σrecv) 7→ σself·

f₂: (hl_send, ρ_sendi,hl_recv, ρ_recvi) 7→ hl_recv⁰ , ρ_recv[y 7→ eval(e, ρ_send)]i · F₂^∗: (σ_self, σ_send, σ_recv) 7→ σ_self

Étant donné qu’aucune supposition n’est faite sur la disposition des processus dans le mot, il est nécessaire d’effectuer l’union avec la règle symétrique plaçant l’émetteur après le récepteur.

Pour illustrer cette sémantique, nous donnons un exemple où 2 processus communiquent aux lo-calités L3 (send) et L5 (receive). La règle de communication, donnée par la Figure 4.5a est appliquée une configuration (Figure 4.5b). Le résultat de l’application de cette règle calcule un nouvel automate (Figure 4.5c) où la variable x du processus d’identifiant 1 est envoyée à la variable x du processus d’identifiant 3.

4.2. SÉMANTIQUE DES RÈGLES 59

R = >∗

· hL₃× {id= 1}i · >∗

· hL₅× {id= 3}i · >∗/ F₀^∗: (σ_self, σ_send, σ_recv) 7→ σ_self · f₁: (hL₃, ρ_sendi,hL₅, ρ_recvi) 7→ hL₄, ρ_sendi · F₁^∗: (σ_self, σ_send, σ_recv) 7→ σ_self · f₂: (hL3, ρ_sendi,hL₅, ρ_recvi) 7→ hL₆, ρ_recv[x 7→ ρsend(x)]i · F₂^∗: (σself, σ_send, σ_recv) 7→ σself

(a) Règle de communication point-à-point

L₂× {id= 0; x = 3} L₃× {id= 1; x = 10} L₇× {id= 2; x = 5} L₅× {id= 3; x = 2}

(b) Configuration A

L₂× {id= 0; x = 3} L₄× {id= 1; x = 10} L₇× {id= 2; x = 5} L₆× {id= 3; x =10}

(c) Configuration R (A)

Figure 4.5 – Exemple de communication Point-à-point

Communications collectives

La première primitive de communication collective dont nous exprimons la sémantique est la com-munication multi-point broadcast. La sémantique de cette primitive se présente ainsi : tous les processus sont à la localité lbcastallant vers l_bcast⁰ , et un processus d’identifiant i envoie la valeur d’une expression e, évaluée dans son environnement, dans la variable y de tous les autres processus du système se présente ainsi :

hlbcast,>i∗

· hlbcast, {id = i}i · hlbcast,>i∗/

F₀^∗: (hlbcast, ρ_selfi,hl_bcast, ρ_sendi) 7→ hl_bcast⁰ , ρ_self[y 7→ eval(e, ρsend)]i · f₁ : hlbcast, ρsendi 7→ hl_bcast⁰ , ρsendi ·

F₁^∗: (hl_bcast, ρ_selfi,hl_bcast, ρ_sendi) 7→ hl_bcast⁰ , ρ_self[y 7→ eval(e, ρ_send)]i

Comme pour la règle de communication point-à-point, nous donnons ici un exemple où un processus d’identifiant 2 envoie sa variable x à tous lorsque les processus sont à la localité L7. La règle, présentée par la Figure 4.6a, est appliquée à une configuration (Figure 4.6b) pour donner comme résultat l’auto-mate de la Figure 4.6c.

R = hL7× >i^∗ · hL₇× {id= 2}i · hL7× >i^∗/ F₀^∗: (hL₇, ρ_selfi,hL₇, ρ_sendi) 7→ hL₈, ρ_self[x 7→ ρ_send(x)]i · f₁: (L₇, ρ_send) 7→ hL₈, ρ_sendi · F₁^∗: (hL₇, ρ_selfi,hL₇, ρ_sendi) 7→ hL₈, ρ_self[x 7→ ρ_send(x)]i

(a) Règle de communication multi-point

L₇× {id= 0; x = 3} L₇× {id= 1; x = 10} L₇× {id= 2; x = 5} L₇× {id= 3; x = 2}

(b) Configuration A

L₈× {id= 0; x =5} L₈× {id= 1; x =5} L₈× {id= 2; x = 5} L₈× {id= 3; x =5}

(c) Configuration R (A)

Figure 4.6 – Exemple de communication multi-point

La deuxième primitive de communication collective est une opération de réduction. Celle-ci est une opération complexe, il est nécessaire de la décomposer en plusieurs règles. L’idée est d’introduire un processus fantôme « collecteur » chargé de récolter les valeurs des variables de chaque processus et d’effectuer au fur et à mesure les opérations. Nous avons donc besoin de trois règles : la création de ce processus fantôme, le parcours de chaque processus et la transmission du résultat final au processus récepteur en même temps que la destruction de ce collecteur.

Ainsi, la sémantique d’une opération reduce, où tous les processus sont à une localité l_{r educ} suivie par l_{r educ}⁰ et où un processus d’identifiant i reçoit le résultat de la réduction de toutes les variables v des processus avec l’opérateur commutatif op se présente comme :

1.

hl_reduc,>i∗/ f₀ : ∅ 7→ hl_coll, {v 7→ e₀}i · F₀^∗: h∅, ρ_selfi 7→ hl_lock, ρ_selfi 2.

>^∗ · hllock,>i · hl_coll,>i · >∗/ I d^∗·

f₁ : (hlcoll, ρcolli,hllock, ρlocki) 7→ hllock, ρlocki ·

f₂ : (hl_coll, ρ_colli,hl_lock, ρ_locki) 7→ hl_coll, ρ_{coll[v 7→ eval(v ~op ρlock}(v))]i · I d^∗

3.

hl_lock,>i∗

· hl_lock, {id = i}i · hllock,>i∗

· hl_coll,>i / F₀^∗: (hl_lock, ρ_selfi,hl_lock, ρ_recvi,hl_coll, ρ_colli) 7→ hl_reduc⁰ , ρ_selfi ·

f₁ : (hl_lock, ρ_recvi,hl_coll, ρ_colli) 7→ hl⁰_reduc, ρ_recv[v 7→ ρ_coll(v)]i · F₁^∗: (hllock, ρ_selfi,hl_lock, ρ_recvi,hl_coll, ρ_colli) 7→ hl_reduc⁰ , ρ_selfi

4.3. VÉRIFICATION DU SYSTÈME 61

où l_coll est la localité fantôme du collecteur, l_lock est une localité fantôme permettant de bloquer l’évolution des processus en attente de la complétion de la collecte, e0est l’élément neutre de l’opérateur opet I d^∗est la fonction réécrivant les processus d’un sous-mot par l’identité.

4.3 Vérification du système