3.3 Gestion des motifs répétitifs
4.1.4 Sélection des groupes d’appariements cohérents
Grâce aux critères présentés dans la section 4.1.3, il est possible d’identifier, pour chaque pose P<Ii,Mj(i)> calculée à partir d’un appariement< Ii, Mj(i)>∈Ψ,
l’ensemble des appariements deΨcohérents avec P<Ii,Mj(i)>.
Cependant, de par sa construction, l’ensemble des poses Φ=nP<Ii,Mj(i)>
o
calculées à partir deΨcontient au moins autant de poses erronées queΨcontient de faux appariements. Il est donc nécessaire de définir un processus permettant d’identifier ces poses.
La solution proposée consiste à ordonner les poses selon un critère de "qua- lité". A l’issue de ce tri, les appariements cohérents avec les meilleures poses sont sélectionnés. De plus, chaque appariement sélectionné se voit attribué une pondé- ration proportionnelle à la probabilité que celui-ci soit un appariement correct.
Tri des hypothèses de poses
Le tri de l’ensemble des poses nécessite la définition d’un critère permettant de mesurer la qualité d’une pose. Le critère proposé évalue la cohérence de Ψ par rapport à la pose considérée. Pour que ce critère soit pertinent, celui-ci doit refléter le nombre d’appariements deΨ cohérents vis à vis de la pose mais aussi la qualité de la cohérence des appariements. Ce critère doit aussi intégrer la no- tion d’appariements multiples et assurer que la qualité de la pose a été estimée sur un ensemble d’appariements cohérents(eg. deux appariements considérés comme cohérents ne peuvent pas partager le même descripteur modèle).
Dans un premier temps, considérons le cas simple où :
4.1. FILTRAGE GÉOMÉTRIQUE DES APPARIEMENTS 89 – les appariements deΨsont globalement cohérents, c’est à dire :
∀ < Ii, Mj(i)>∈Ψ, ∀ < In, Mm(n)>∈Ψ, (Ii= In) ∨ (Mj(i)= Mm(n)) ⇒ i = n
(4.11) Le critère se limite alors à estimer la somme des erreurs de cohérence des appa- riements. Afin d’être robuste aux valeurs aberrantes induites par les faux appa- riements, un estimateur robuste σ est appliqué à chaque erreur d’appariements. L’estimateur de Tukey est employé à cet effet. Cet estimateur nécessite cepen- dant de fixer un paramètre au delà duquel toute erreur possède le même poids. La valeur de ce paramètre est alors fixée à δ, cette valeur correspondant à l’erreur au-delà de laquelle un appariement est considéré comme incohérent avec la pose. L’erreurεP(Ψ) associée àΨpour la pose P correspond alors à :
εP(Ψ) =
∑
<Ii,Mj(i)>∈Ψ
σ(E(< Ii, Mj(i)>),δ) (4.12)
où E est l’erreur de cohérence d’un appariement, celle-ci correspondant à l’erreur 2D ErrRep ou à l’erreur 3D ErrTriedre en fonction de l’approche retenue.
La pose qui minimise εP correspond alors à celle qui maximise le nombre
d’appariements cohérents tout en minimisant leur erreur de cohérence, ce qui cor- respond bien au critère souhaité.
A présent, considérons un ensemble d’appariementsΨ quelconque. Dans ce cas, Ψ peut comporter des appariements multiples, du type < Ii,
n
Mkj(i)o>. La
pésence de ces derniers ne permet alors plus d’assurer la cohérence globale de l’ensemble des appariements de Ψ. Afin de pouvoir nous ramener au cas pré- cédent, une seule hypothèse par appariement multiple doit être retenue, celle-ci étant sélectionnée de manière à assurer la cohérence globale de l’ensemble des appariements rentenus. NotonsΠ(Ψ) cet ensemble final d’appariements, oùΠ(.)
correspond à la fonction de réalisant la sélection des appariements. L’erreur de cohérence deΨpeut alors être définie de la manière suivante :
εP(Ψ) =
∑
<Ii,Mj(i)>∈ΠP(Ψ)
εP(< Ii, Mj(i)>)
Cependant, la fonctionΠainsi définie n’est pas nécessairement unique. Néan- moins, les seules solutions pertinentes correspondent à celles pour lesquelles la cohérence de l’ensemble des appariements sélectionnés est maximale, c’est à dire celles pour lesquellesεP(Ψ) est minimale. On ajoute donc à la fonctionΠla con-
En exprimant ce problème sous la forme d’un graphe biparti pondéré (le pre- mier ensemble de sommets correspondant aux descripteurs images, le second cor- respondant aux descripteurs modèles, les arêtes étant définies par les appariements deΨet leur poids par εP), on s’aperçoit que la fonctionΠn’est autre que la so-
lution du problème d’affectation optimale (problème classique de la théorie des graphes). Parmi les différents algorithmes permettant de résoudre ce problème, nous avons retenu est l’algorithme Munkres [8], aussi connu sous le nom d’algo- rithme hongrois.
Sélection des appariements
Le critère de qualité d’une pose définie au paragraphe précédent permet d’or- donner les poses deΓ. Notons{Pi}i≥0 cet ensemble de poses ordonnées. Le fil-
trage des appariements consiste alors à extraire, pour chacune des N meilleures poses, le goupe d’appariements cohérents avec celle-ci.
Pour une pose Pk, le groupe d’appariementsΘkcohérent avec celle-ci est dé-
fini par :
Θk=< Ii, Mj(i)> tel que < Ii, Mj(i)>∈ΠPk(Ψ) et EPk(< Ii, Mj(i)>) <δ
(4.13) où E correspond à l’erreur de cohérence (ie. soit ErrTriedre, soit ErrPro j) etδ correspond au seuil sur l’erreur de cohérence au delà duquel un appariement n’est pas considéré comme cohérent avec une pose.
L’ensemble d’appariements filtré correspond à l’ensemble d’appariements ob- tenus à partir de N groupes d’appariements issus des N meilleures poses, soit :
Θ= [
i=0..N Θk
La valeur N correspond à un paramètre du processus de filtrage. Dans les expé- riences du chapitre 6, la valeur de N est fixée à 15.
Pondération des appariements
Malgré la procédure de filtrage des appariements présenté au paragraphe pré- cédent, il est possible que Θ comporte de faux appariements. Ces faux appa- riements sont généralement dus à la présence de poses erronées parmi les N meilleures poses ou au seuil trop lâche dans le critère de cohérence (δtrop élevé dans l’équation 4.13 ). Afin de limiter l’influence de ces faux appariements dans le reste du processus de recalage, une pondération est associée à chaque apparie- ment deΘ. Cette pondération est établie de manière à refléter la probabilité qu’un
4.1. FILTRAGE GÉOMÉTRIQUE DES APPARIEMENTS 91 appariement soit correct.
Comme indiqué précédemment, une pose approximative P<I,M> issue d’un
appariement< I, M > est généralement correcte pour une région de l’image cen-
trée en I. Les descripteurs images étant répartis à la surface de l’objet, il est fré- quent que les régions associées à deux poses P<I,M> et P< ˜I, ˜M> possèdent une
intersection non nulle. Si ces deux poses sont correctes, la projection du modèle dans cette sous région selon P<I,M> ou P< ˜I, ˜M> est semblable. Par conséquent,
si un appariement de cette sous région est considéré comme juste selon la pose
P<I,M>, il est fort probable qu’il le soit aussi selon la pose P< ˜I, ˜M>. Si on note
respectivementΘ1etΘ2 les ensembles d’appariements cohérents avec P<I,M>et
P< ˜I, ˜M>, on a alors :Θ1∩Θ26= ⊘.
A l’opposé, si au moins l’une des deux poses P<I,M>ou P< ˜I, ˜M> est erronée,
la projection du modèle dans cette zone de l’image diffère grandement selon la pose considérée. Par conséquent, il est peu probable queΘ1 et Θ2 partagent des
appariements. On a donc généralement :Θi∩Θj= ⊘.
Par conséquent, il est d’autant plus probable qu’un appariement soit correct que celui-ci apparaît dans de nombreuxΘi. Ainsi, la pondération w associée à un
appariement< I, M > est définie par :
w(< I, M >) = Card({Θitel que < I, M >∈Θi}) (4.14)
Une densité de probabilité discrète
P
, associée à Θ, peut alors être définie de la manière suivante :P
(< I, M >) = w(< I, M >)∑< ˜I, ˜M>∈Θw(< ˜I, ˜M>)
(4.15)
Le processus de filtrage proposé exploite la richesse en information géomé- trique du modèle pour supprimer les ambiguïtés liées aux motifs répétitifs et ré- duire le nombre de faux appariements. Une évaluation expérimentale de ce filtrage est proposée dans le chapitre 5. La section suivante présente un algorithme de cal- cul de pose exploitant les appariements filtrés.