Définition 2 : Dominance d’un vecteur
2. Ne jamais revenir sur un point qui vient juste d’être rejeté
2.1.3/ L’OPTIMISATION EN MÉCANIQUE DES STRUCTURES
2.1.3.1/ GÉNÉRALITÉS
Le processus de conception d’une structure peut être divisé en quatre étapes :
• La formulation fonctionnelle du problème, et les considérations technologiques.
Cette étape consiste à faire des choix, ou des hypothèses mécaniques, avant même que l’ingénieur concepteur ne conçoive sa structure. On choisira par exemple le nombre de barres d’un treillis, les dimensions globales d’une struc-ture. Ces considérations sont souvent données par d’autres contraintes, comme des contraintes de fabrication (on connaît la quantité de matière disponible), d’en-combrement (on connaît les dimensions maximales d’un moteur pour qu’il puisse s’insérer sous le capot d’une voiture), ou de montage (on connaît les dimensions des roulements utilisés, et donc les dimensions de leurs logements dans la struc-ture). Ces considérations seront à nouveau prises en compte lors de la phase d’optimisation.
• La phase de conception, caractérisée à la fois par la créativité, mais aussi les
compétences d’ingénierie du concepteur. Dans cette phase, des règles d’ingé-nierie précises doivent être appliquées, notamment afin que le système final soit fonctionnel, fabriquable et montable. Le concepteur devra aussi tenir compte de la phase d’optimisation qui suit, en concevant son système de manière à ce qu’il puisse être optimisé. C’est à dire qu’il devra identifier clairement les paramètres d’optimisation, et réaliser une conception clairement paramétrée.
• La phase d’optimisation. Tout d’abord le problème d’optimisation est défini. On
choisit la fonction objectif, les variables d’optimisation, ainsi que les contraintes d’optimisation à considérer. Ensuite, un algorithme d’optimisation est choisi, et va modifier le système de manière itérative jusqu’à ce qu’un critère d’arrêt soit atteint.
En pratique, ce critère d’arrêt est donné soit par le nombre d’itérations maximal, soit par une valeur de la fonction objectif à atteindre. Souvent, le nombre maximum d’itérations est atteint avant que le calcul ne trouve la configuration qui donne la valeurexactede la fonction objectif.
• L’analyse des résultats. Quel que soit le type d’optimisation choisi, les
algo-rithmes donnent souvent des résultats qu’il faut retravailler par la suite. Les so-lutions sont donc renvoyées au concepteur, qui va essayer de faire un compromis entre les solutions proposées par l’algorithme, et les règles de conception qu’il connaît.
Quel que soit le type d’optimisation choisi, le but d’un processus d’optimisation en méca-nique est d’exploiter les ressources données à leur maximum, afin de maximiser l’utilité de la structure [50]. Ainsi, dans le domaine de la mécanique, la meilleure conception sera celle qui minimisera la masse et/ou le coût de la structure, que ce soit en terme de quantité de matière, ou en terme de temps de fabrication.
Dans le domaine de la mécanique des structures, les problèmes d’optimisation peuvent être classés dans les trois catégories suivantes [208] comme on le voit dans la figure 2.5 : • L’optimisation paramétrique, où les variables d’optimisation sont généralement des
paramètres géométriques du système mécanique à optimiser ;
• L’optimisation de forme où l’on fait varier la position des frontières de la structure mécanique étudiée ;
• L’optimisation topologique où l’on modifie la topologie, c’est à dire la répartition de matière, de la structure étudiée.
FIGURE2.5 – Les trois types d’optimisation structurelle [208] : (a) L’optimisation
paramé-trique, (b) l’optimisation de forme, et (c) l’optimisation topologique
Concernant l’optimisation paramétrique, elle est souvent assez simple, et proche de l’op-timisation classique continue, comme nous l’avons vu dans la partie 2.1.1.1. Dans le cas d’un treillis par exemple, on souhaite minimiser la masse de ce treillis, en considérant une contrainte d’optimisation sur les contraintes mécaniques maximales admissibles dans les barres qui le composent. Dans ce cas, le vecteur des variables d’optimisation sera com-posé des valeurs des sections des barres du treillis. Ce vecteur sera modifié de manière itérative, jusqu’à ce que le problème d’optimisation soit résolu, ou tout d’une moins que l’on tende vers une solution acceptable, au sens ou elle satisfait les contraintes d’optimi-sation, tout en minimisant la valeur de la fonction objectif.
En revanche, le domaine de l’optimisation topologique s’avère être beaucoup plus com-plexe. Là encore, il existe deux sortes d’optimisation topologique des structures :
• L’optimisation topologique continue. Dans ce cas, on modifie la densité ou la masse volumique du matériau dans la structure.
• L’optimisation topologique discrète (elle est souvent binaire), dans laquelle on choi-sit une répartition de matière dans les éléments finis discrétisant la structure, le choix des matériaux possibles étant donné dans une liste prédéfinie.
Dans tous les cas, en mécanique, l’optimisation topologique nécessite la discrétisation de la pièce ou de la structure par éléments finis. Un algorithme modifiera ensuite la ré-partition de matière dans ces éléments. Comme dans le cas de l’optimisation classique, non nécessairement appliquée à la mécanique, des méthodes déterministes ou non-déterministes peuvent être utilisées. Notons que les gains moyens de performances vont de 5 à 10% en optimisation paramétrique, de 10 à 30 % en optimisation de forme, et de 40 à 100% en optimisation topologique [68, 163]. Ces augmentations de performances respectives montrent tout l’intérêt de l’optimisation topologique, que nous présenterons dans la suite de notre travail.
2.1.3.2/ OPTIMISATION TOPOLOGIQUE
2.1.3.2.1/ Définition du problème d’optimisation
En optimisation des structures, le problème d’optimisation peut être décrit de deux ma-nières différentes :
— La minimisation de la compliance, avec une contrainte d’optimisation sur le vo-lume,
— La minimisation du volume, avec une contrainte d’optimisation sur la compliance. Dans les faits, la première solution est souvent choisie. Dans ce cas, le problème d’optimi-sation peut être formulé dans sa forme discrète à la manière de l’équation (2.10) suivante [120]
min fTu
avec Ku= f (2.10)
où l’on a :
• uest le vecteur déplacement,
• f est le vecteur définissant le chargement,
• Kest la matrice de rigidité du système considéré.
La rigidité K dépend bien sûr de la rigidité Ke de chaque élément e du maillage. On peut donc exprimer K de la manière suivante
K=
N
X
e=1
Ke (2.11)
où Kereprésente la matrice de rigidité élémentaire de chaque élément e= 1, 2, · · · , n, et le signe= représente l’assemble par la méthode des éléments finis des différentes matrices de rigidité de chacun des éléments du maillage.
Deux types de méthodes d’optimisation topologiques des structures peuvent être em-ployées : les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques et metaheuristiques. Dans cette partie, nous ne présenterons que les méthodes déterministes. Les méthodes metaheuristiques, quant à elles, seront présentées en détail dans la partie 2.2 suivante, puisqu’elles constituent le coeur de notre travail.
2.1.3.2.2/ Les méthodes déterministes
Dans ce paragraphe, nous présentons brièvement les méthodes d’optimisation détermi-nistes communément utilisées dans la littérature.
La méthode d’homogénéisation
Proposée initialisement par Bendsoe et al.[31, 56] et développée ensuite par Allaire et al.[48, 63, 64, 71, 72], la méthode d’homogénéisation est basée sur les concepts de distribution optimale de matière dans un domaine donné, et de relaxation. Ainsi, grâce à la théorie de l’homogénéisation des structures, Bendsoe et al. proposent de déterminer les propriétés macroscopiques d’une microstructure poreuse en fonction de la densité de matière dans le domaine [15, 31]. Comme dit par Allaire et al.1, "d’un point de vue mécanique, il est plus souvent avantageux de creuser, pour un même volume de matériau, un nombre infiniment grand de trous infiniment petits, plutôt que quelques gros trous". Ainsi, les variables d’optimisation sont les dimensions des perforations de la cellule de base. On comprend aisément que dans ce cas, les résultats seront très dépendants du maillage initial de la cellule de base. Dans ce cas, la fonction objectif traitée est toujours la minimisation de la compliance[163]. En d’autres termes, le problème revient à chercher la répartition optimale de matière dans le domaine de la structure, afin de maximiser sa rigidité. Ainsi, la structure est déterminée, en chacun des points la composant, par une densité de matériau et par les propriétés effectives du composite considéré dans sa globalité. C’est d’ailleurs à cette étape que la théorie de l’homogénisation - que nous verrons plus en détails par la suite - permet de calculer ces propriétés effectives. Le problème ici est que la topologie finale est souvent non fabriquable, puisque chacun des éléments contient un matériau différent, dont la densité peut varier de manière continue entre le vide et le solide. Pour résoudre ce problème, on recourra à des structures sub-optimales. Le concepteur aura alors en charge de modifier manuellement la structure obtenue, afin de déterminer quels éléments garder et quels éléments supprimer. Ces décisions seront prises en fonction de plusieurs paramètres. On choisira par exemple de ne garder que les éléments dont la densité est supérieure à un certain seuil précédemment défini, et l’on essaiera aussi de supprimer les problèmes de damiers dans la topologie.
Dans le registre des méthodes déterministes, on notera aussi la méthodepower law pré-sentée initialement par Bendsoe et al. [84], c’est à dire une loi dans laquelle les densités intermédiaires sont pénalisées. Ainsi, pour chaque élément fini i, son module d’élasti-cité Ei est donné en fonction de la densité relative ρi, de la valeur maximale admissible du module d’élasticité E0 et de la densité ρ0 du matériau utilisé, comme on le voit dans l’équation suivante
Ei= ρipE0 (2.12)
où l’on a
ρi = ρiρ0 (2.13)
Souvent appelée SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization), cette méthode a été
largement utilisée dans la littérature. Dans ce cas là, le problème - discrétisé par éléments finis - peut être formulé de la manière suivante
Se(P)= PN e=1(ρe)p[ue]T[ke] [ue] avec V∗−PN e=1Veρe= 0 0 < ρmin ≤ρe ≤ 1 (2.14)
où Se(P) est l’énergie de déformation, [ue] est le vecteur des déplacements nodaux de l’élément e en particulier, [ke] est la matrice de rigidité de l’élément e, ρmin est la densité de matière minimale acceptable, V∗ est le volume à atteindre pour optimiser la struc-ture, Ve et ρe sont respectivement le volume et la densité de l’élément e. Le facteur p est justement le facteur de pénalisation permettant la modification de la densité de ma-tière dans chacun des éléments du maillage au cours des itérations. Ces méthodes ne nous concernant pas directement, nous renvoyons le lecteur aux articles et ouvrages [47, 119, 120, 141, 147, 167, 237, 240]. Notons tout de même que des adaptations de ces méthodes de pénalisation ont été proposées dans la littérature [143] afin d’obtenir des structures binaires.
Les méthodes évolutives
A ne pas confondre avec les méthodes évolutionnaires, les méthodes évolutives consistent à supprimer, à chaque itération, la matière jugée inutile, c’est à dire la ma-tière la moins contrainte. Ainsi, les éléments finis dont le rapport de contrainte vis à vis de la contrainte équivalente de Von Mises maximale est inférieure à un certain critère choisi sont éliminés de la topologie, comme on le voit dans l’équation suivante
σV M e σV M max < RRi (2.15) où σV M
e représente la contrainte équivalente de Von Mises de l’élément e, σV M max est la contrainte équivalente de Von Mises maximale de la structure, et RRi est le critère de suppression des éléments à l’itération i. Le critère RRireste identique jusqu’à ce que tous les éléments vérifient la condition de l’équation (2.15). Dès lors que le calcul a convergé, c’est à dire que tous les éléments jugés comme inutiles sont supprimés, le critère de suppression évolue comme on le voit dans l’équation suivante
RRi+1= RRi+ ERR (2.16)
L’évolution du paramètre RRi se poursuit jusqu’à la convergence, c’est à dire jusqu’à ce que les critères d’arrêt soient vérifiés.
Dans le cas de la méthode évolutive ESO, le problème d’optimisation est souvent formulé de la manière suivante [200] Minimize C= 1 2uTKu Subject to V∗−PN i=1Vixi= 0 xi= xmin or 1 (2.17)
où C est généralement la compliance moyenne (12fTu) plutôt que la compliance ( fTu) utilisée généralement avec la méthode SIMP, K est la matrice de rigidité globale, u le
vecteur déplacement, Vile volume de chaque élément i, V∗le volume à atteindre avec le processus d’optimisation, N le nombre total d’éléments dans le modèle, et xiest la densité du ième élément du domaine. On définit alors αi comme le changement de l’énergie de déformation dûe à la suppression de l’élément i du domaine par [66]
αi= 1 2u
T
i Kiui (2.18)
où ui et Ki sont respectivement le vecteur déplacement et la matrice de rigidité de l’élé-ment i. Dans la méthode ESO originale, les élél’élé-ments sont complètel’élé-ment supprimés du domaine, comme on le voit dans l’algorithme 1 suivant [66].