Il existe au moins une situation célèbre où la "bonne fondation" dans un sens implique la bonne fonda-tion dans l'autre sens. Quand les propriétés structurelles étudiées provoquent cet eondrement de la distinction on peut s'estimer très loin de ordinaux (ils sont l'archétype d'exemple où on peut aller aussi haut qu'on veut dans un sens alors qu'on ne peut descendre qu'un nombre ni de fois dans l'autre sens)
Cette situation célèbre est le théorème suivant: tout anneau commutatif unitaire qui est artinien est aussi noethérien.
Que se passe-t-il? Pourquoi la structure annelée, ajoutée à la commutativité eacent-elles les émer-gences précédentes? Pourquoi est-elle assymétrique (certains anneaux noéthériens ne sont pas artiniens)? Nous avons souhaité répondre un peu plus en termes de fondement à cette question. En fait, elle est es-sentiellement symétrique et l'eacement est bien total, dès lors qu'on s'autorise la souplesse de "à quelques cardinaux près".
Pour formaliser, nous noterons indice d'artinianité (resp noethérianité) de l'anneauAle plus petit ordinal
κtel qu'il n'existe pas d'application strictement croissante de (κ,∈)dans(Ideaux(A),⊃) (resp(κ,∈) dans
(Ideaux(A),⊂) ). Le théorème suivant3 montre que la structure annelée + la commutativité4 écrase la distinction entre la "tendance à la bonne fondation" de ≤ et celle de ≥ pour des ordres "fondamentaux" (ie d'un type dont on pourrait éventuellement espérer qu'ils implémentent le temps dans des progrès futurs de la correspondance de Curry-Howard
Théorème 141 (ZFC + CM5) Pour tout cardinal ail existe un cardinal b tel que pour tout anneau com-mutatif A si l'un de ses indices d'artinianité ou de neothérianité est ≤a alors son autre indice est ≤b.
3Nous en avons mis une preuve sur HAL (voir [Cha5], car elle est un peu longue pour gurer dans le présent texte
4La commutativité est nécessaire, nous avons signalé dans [Cha5] des exemples canoniques quand elle n'est pas supposée!!
Tukey inoensivité des degrés ludiques
7.1 Introduction
Dans ce chapitre, on étudie un problème unique, qui est presque un exemple, mais qui donne une idée plus précise des questions soulevées par le paradigme téléphonique: on se demande quelle puissance ludique est nécessaire pour acheter le passage d'une puissance Tukey aà une puissance Tukey b. On verra dans le chapitre 8 que l'augmentation de l'espérance de gain à des jeux de type casino via l'utilisation d'un téléphone ludique n'est pas possible à moins que ce téléphone ne soit assez puissant. Ce "assez puissant" inclut l'impossibilité d'être fabriquée par la théorie quantique. On se demande si la notion de "Tukey-puissance" dière susamment ou non de la notion "capacité à augmenter son espérance de gain". Ce sont des notions diérentes, bien qu'ayant trait toutes les deux à la catalyse de l'information. De manière surprenante, on va s'apercevoir que les degrés de Tukey sont susamment généraux pour que tout téléphone ludique (c'est à dire toute capacité de quelque nature que ce soit) qui n'est pas trivial parvienne à catalyser AU MOINS une information X vers une information Y, alors que X n'est pas au moins aussi bonne que Y. Il en découle que la notion d'information ne peut pas être saisie complètement par la démarche probabiliste et ce, de manière objective. Le résultat est susamment robuste pour valoir même si on n'admet pas l'existence de l'inni mathématique. Il concerne donc "la vie de tous les jours".
Soienta:= (E, F, R)etb:= (U, V, S) deux relations. On rappelle queinjvirt(a, b) désigne le représen-tant ludique du téléphone à deux combinés décrit par:
• Clavier du combiné1: E
• Clavier du combiné2: V
• Ecran du combiné1: U
• Ecran du combiné2: F
• Garantie: ensemble des((e, u),(v, f)) tels que [(e, f)∈R ou(u, v)∈/ S].
Cette dénition est fondée sur le lemme suivant:
Lemme 142 injvirt(a, b) est trivial si et seulement si a≤tuk b
Preuve : Cela résulte immédiatement des dénitions.
Il est donc intéressant d'étudier une notion intuitivement proche de celle-ci, mais dont la description est diérente syntaxiquement: On conserve les notations précédentes.
Alice et Bob sont séparés et ne peuvent que s'envoyer un seul message en utilisant un téléphone ludique T à deux combinés, Alice disposant du combiné1. On note((E1×F1)×(E2×F2), G)la garantie de T.
On impose à Alice un certain x ∈E. Elle dispose d'un téléphone de Tukey b-garanti pour envoyer un message à Bob. Mais n'oublions pas que notre paradigme nous autorise à ignorer les contraintes de temps. Alice peut donc, aussi, taper sur le clavier du combiné1 de son téléphone et attendre de voir l'écran pour envoyer un b-message à Bob. De même, Bob peut attendre d'avoir reçu son b-message pour taper sur son clavier de combiné2. A la vue de son écran, il devra proposer un z ∈ F. Finalement, l'équipe Bob-Alice gagne ce protocole quand(u, v)∈S.
L'existence d'une stratégie infaillible se formalise comme suit:
Il existe f ∈((E×F1)→U),g∈(E→E1),h∈V →E2 etk∈((V ×F2)→F)tels que pour tous x∈U, y∈V, (r1, r2)∈F1×F2,
si ((g(x), r1),(h(y), r2))∈Get(f(x, r1), y)∈S alors(x, k(y, r2))∈R
Autrement dit, en se servant d'un b-téléphone de Tukey et du téléphone T, l'équipe Alice-Bob a été capable de simuler l'envoi d'une a information. Quand une telle stratégie infaillible existe, on dira que le triplet (T, a, b) est en situation de catalyse.
L'objectif de la section suivante est de caractériser la classe des T qui sont tels que (T, a, b) est en catalyse
7.1.1 Caractérisation des ludiques qui catalysent des Tukey
On a envie de conjecturer que (T, a, b) est en situation de catalyse si et seulement siT ≥injvirt(a, b). Lemme 143 Le triplet (injvirt(a, b), a, b) est en situation de catalyse
Preuve : Décrivons la stratégie de l'équipe Alice-Bob en gardant les notations de la section précédente:
• f: (x, r1)7→r1
• g:x→x
• h:y→y
• k: (y, r2)→r2
Ainsi, voyantxAlice le tape sur la clavier du combiné1. Voyant la réponser1 qui ici est un élément deU, elle utilise sonb-téléphone pour l'émettre. Bob, qui reçoity∈V tel que(r1, y)∈S, sur son Tukey-téléphoneb-garanti, tape alors
ysur son clavier de combiné2 de T et reçoitr2 ∈F. Il annoncér2. La garantie deT est que si(r1, y)∈S (et ici c'est bien le cas) alors(x, r2)∈R. Il s'ensuit que l'équipe gagne.
On s'interroge maintenant sur une éventuelle réciproque: on note((E1×F1)×(E2×F2), G)la garantie d'un téléphoneTtel que(T, a, b)est en situation de catalyse. En gardant les noms utilisés dans le paragraphe précédent, on suppose que qu'il existe une stratégie (f, g, h, k) pour l'équipe Alice-Bob, ie, telle que pour tousx∈U;y∈V; (r1, r2)∈F1×F2 :
si ((g(x), r1),(h(y), r2))∈Get(f(x, r1), y)∈S alors(x, k(y, r2))∈R
Ceci est exactement la dénition deT ≥ludinjvirt(a, b)dès lors qu'on a en tête qu'il y a équivalence propositionnelle entre les deux énoncés suivants:
• Si A alors si B alors C • Si A et B alors C
On a donc:
Théorème 144 Pour tout représentant de degré ludique d'uplicité2, tous représentants a, b de degrés de Tukey: (T, a, b) est en catalyse si et seulement siT ≥ludique injvirt(a, b)