Retour sur les variétés différentielles

Γ ∇u, ∇ϕ dvol =  Γ f ϕ dvol.

Nous avons donc transformé le problème de Dirichlet en un problème variationnel. Suppo-sons maintenant que la solution u et la fonction de test ϕ appartiennent au même espace. Dans ce cas là,∇u et ∇ϕ doivent être deux fois intégrables. L’espace des fonctions deux fois intégrables est l’espaceH1

0(Γ). Cet espace correspond à la clôture de C∞

c (Γ) dans l’es-pace de Sobolev W1,2(Γ), ce qui informellement correspond à l’ensemble des fonctions de L²(Γ) dont les dérivées partielles faibles sont dans L2(Γ) (se référer au livre de John Hunter et Bruno Nachtergaele [HN01] pour une définition précise des espaces de Sobolev).

DÉ F I N I T I O NSolutions faibles du problème de Dirichlet (3.2.1) Étant donnée une distribution f∈ H−1(Γ) (l’espace dual de H1

0(Γ)), nous dirons que u est une solution faible du problème de Dirichlet si u∈ H1

0(Γ) et 

Γ

∇u, ∇ϕ dvol = f|ϕ pour tout ϕ∈ H1

0(Γ), où ·|· et l’opérateur de mise en dualité entre H−1(Γ) et H1 0(Γ). L’unicité de la solution nous est donnée par le théorème de représentation de Riesz

TH É O R È M E Représentation de Riesz (3.2.1)

Soit h une fonctionnelle bornée d’un espace de Hilbert H. Il existe alors un unique vecteuru ∈ H tel que

h(u) = u, v pour toutv ∈ H.

Remarquons d’ailleurs que nous avions, dans le paragraphe 1.1.3, utilisé ce théorème sans le mentionner pour mettre en relation les formes et les vecteurs à travers le produit scalaire défini sur T_pM.

3.3 Retour sur les variétés différentielles

Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à l’opérateur de Laplace–Beltrami défini sur les variétés différentielles. Plus précisément, nous souhaitons approximer l’opérateur défini sur le bord ∂M d’une variété différentielle compacte M de dimension 3 plongée dans R3 (à noter que ce que nous allons présenter par la suite tient pour toute variété différentielle, car il est toujours possible de la plonger dans un espace euclidien d’assez grande dimension, le résultat étant dû à Whithney [WET92]). Considérons donc une variété M équipée d’un produit scalaire sur le plan tangent (c.-à-d. d’un tenseur métrique),

l’opérateur faible de Laplace–Beltrami est une application qui a tout u∈ H1

0(M) associe la distribution Δu⊂ H−1(M) et est donné par

Δu|ϕ = 

M

g(∇u, ∇ϕ)dvol

pour tout ϕ∈ H1

0(M) (g correspond ici au produit intérieur en chaque point de la variété). L’opérateur faible est une généralisation de l’opérateur de Laplace–Beltrami dans le sens où pour toute fonction continument différentiable u sur M, la version forte de l’opérateur est l’unique fonction continue qui satisfait

 M Δu ϕ dvol=  M g(∇u, ∇ϕ)dvol pour tout ϕ∈ H1

0(M). Nous verrons dans la prochaine partie que la version faible de l’opé-rateur joue un rôle clef lorsque l’on souhaite le discrétiser : on peut par exemple employer des techniques d’éléments finis sur les triangulations pour obtenir une discrétisation. Si nous revenons maintenant à la convergence d’opérateurs, nous pouvons considérer deux cadres de convergence. La première, associée à la forme forte de l’opérateur, considère la convergence entre fonctions deux fois différentiables sur le bord d’un sous-ensemble compact deR3, espace que nous nommerons C2(∂M). Nous sommes obligés de considérer des ensembles compacts : une conséquence importante qui provient de l’analyse classique est le théorème des valeurs maximales (voir [Rud76] par exemple). Ce théorème nous dit que si K est un ensemble compact, et u : K → R est une fonction continue (au sens topologique du terme), alors u est bornée et atteint ses minimas et maximas dans K. Étant donné que ∂M est aussi compact et que chaque fonction de C²(∂M) est continue (par définition), ces fonctions sont bornées (ce qui est aussi vrai pour le gradient de ces fonctions). C²(∂M) combinée avec la norme de Lebesgue L∞(∂M) est alors un espace de Banach. Nous rappelons que dans le cas continu, la norme de Lebesgue des espaces Lpest donnée par up:=  ∂M|u(x)|pdx 1 p

avec 1 p < ∞ et dans le cas particulier de p = ∞

u_C2(∂M)= u_∞:= sup { C  0 | u(x)  C pour presque tous les x } .

Nous considérerons donc la convergence forte de l’opérateur Δ dans C2(∂M) que nous ap-pellerons la C²-convergence. Étant donnée une approximationL de Δ, L est C2-convergent si

lim

ε→0Lu− Δu

C2(∂M)= 0

pour toute fonction u ∈ C2(∂M). Le paramètre ε représente un certain pas de discréti-sation, ou bien d’approximation de la variété ∂M. De manière similaire, nous pouvons

considérer la convergence de l’opérateur faible que nous appelleronsH1

0-convergence(ou bien convergence point-à-point).L est H1

0-convergent si lim

ε→0Lu− Δu

H10(∂M)= 0

pour toute fonction u∈ H1

0(∂M). La convergence faible n’est pas à confondre avec l’opé-rateur faible : nous sommes en effet libres de considérer la convergence forte (ce que nous faisons ici) de l’opérateur faible ou bien encore la convergence faible de l’opérateur fort.² Il est nécessaire, lorsque l’on discrétise un opérateur, de savoir quel type de convergence nous souhaitons. Si l’on veut par exemple calculer le vecteur de courbure moyenne, ou bien encore l’énergie de Willmore, nous devons considérer la C2-convergence. Dans le cas de la résolution d’équations au dérivées partielles, il est suffisant d’avoir une convergence des quantités intégrées, c.-à-d. de considérer laH1

0-convergence. Nous verrons d’ailleurs que la théorie de la mesure géométrique nous dit qu’il n’est pas possible, pour une certaine classe de discrétisations, d’obtenir une convergence point-à-point.

3.4 Conclusion

Nous pouvons maintenant conclure cette première partie, qui nous fournit tous les outils d’analyse et de géométrie utiles pour cette thèse. Nous avons présenté la théorie de calcul extérieur, qui généralise le calcul différentiel à des formes plus compliquées : les variétés riemanniennes. Nous avons présenté l’opérateur de Laplace–Beltrami dans le calcul ex-térieur et donné sa formulation en coordonnées locales. Nous avons également présenté quelques éléments et théorèmes sur sa décomposition spectrale, utiles pour les applica-tions en analyses de formes géométriques. Nous avons ensuite présenté quelques modèles de représentations des variétés, à savoir les complexes simpliciaux, les complexes cellu-laires et les surfaces digitales. Nous avons résumé le pendant discret du calcul extérieur sur les complexes simpliciaux développé par Desbrun, Hirani et ses collègues. Celui-ci nous permet de calculer sur les surfaces discrètes en utilisant uniquement des opérations matricielles. L’injection de la mesure des éléments de surfaces se fait au travers de la discrétisation de l’opérateur de Hodge. Dans le cas du calcul extérieur discret, la mesure est modélisée comme des rapports des mesures primales et duales de la surface. Pour les surfaces digitales, nous avons exposé des éléments de topologie reliant le bord de la va-riété et son discrétisé de Gauss. Nous avons insisté sur la fonction de projection ξ, qui nous permet entre autres de ramener des quantités définies sur la surface discrète sur la variété. Cet outil se révélera essentiel lors de la preuve de C2-convergence de notre discrétisation de l’opérateur de Laplace–Beltrami. Nous avons également présenté un estimateur de normales convergent sur les surfaces digitales à travers les intégraux invariants, et énoncé un théorème de convergence multigrille. Enfin, nous avons spécifié dans cet interlude les espaces de fonctions utiles à la convergence lorsque l’on s’intéresse à l’opérateur de 2. La lecture des différents articles traitant de la convergence de l’opérateur peut-être trompeuse. Du point de vue de la géométrie différentielle discrète, la C2-convergence est simplement appelée convergence forte, ou bien encore convergence point-à-point. LaH1

0-convergence est, quant à elle, appelée la convergence faible dans la majorité des travaux existants (nous pensons ici à ceux de Wardetzky, ou bien encore Hildebrandt). En analyse numérique, la notion de convergence fait référence à la convergence des schémas de discrétisations, et le choix de l’espace dépend largement des travaux considérés.

Laplace–Beltrami. Nous allons maintenant attaquer le cœur de cette thèse, à savoir donner une discrétisation de l’opérateur de Laplace–Beltrami sur les surfaces digitales.

Deuxième