Approximation via la décomposition spectrale

Le spectre de l’opérateur de Laplace–Beltrami est un outil puissant en analyse géométrique des surfaces discrètes. Il procure en effet une base des fonction C²sur la surface, au même titre que la transformée de Fourier sur les grilles [VL08]. Si nous savons calculer ce spectre, alors nous pouvons utiliser des techniques d’analyse de Fourier pour faire par exemple de l’approximation de surfaces, ou bien encore du filtrage. Nous illustrons tout d’abord dans la figure 6.10 les fonctions propres associées à notre opérateurL_h sur un cube de taille 1293. Nous observons que les fonctions propres de cet opérateur mettent en évidence les symétries de la forme. Nous illustrons de la même façon les fonctions propres de L∗

quad sur ce cube : nous observons toujours les symétries de la forme et obtenons des résultats similaires à la décomposition deLh.

Une fois la décomposition spectrale calculée, nous pouvons nous en servir pour faire de l’approximation de formes. Soit E la matrice des vecteurs propres colonnes triés dans l’ordre croissant de leur valeur propre associée. Notons également la matrice X de taille n_sommets×3 des coordonnées de la surfaces. L’idée est de venir projeter ces coordonnées sur une partie de la base spectrale. Nous avons plus précisément :

X(k):= E^(k)(E^(k))TX

où l’exposant(k) sur la matrice E signifie que l’on prend les k premiers vecteurs propres de l’opérateur. Physiquement, les plus petites valeurs propres correspondent aux fréquences les plus faibles de la forme : plus nous ajoutons de vecteurs propres à la décomposition, plus nous captons les détails de la forme. Nous présentons dans la figure 6.12 l’erreur Hausdorff entre la surface approximée et la surface digitale originale. Nous comparons la décomposition de notre opérateur avec celle deLcombi. Nous voyons qu’avecL_h, nous atteignons une précision sub-pixel pour environ 250 vecteurs propres, là où cette préci-sion n’est pas atteinte pour 600 vecteurs propres dans le cas de Lcombi. Nous affichons également l’erreur d’approximation spectrale via l’opérateur L∗

quad : nous observons que la précision sub-pixel est atteinte pour environ 280 valeurs propres, ce qui est moins bien queL_h, mais toujours bien mieux queLcombi.

6.6 Flot de courbure moyenne

Nous appliquons dans ce paragraphe une méthode de discrétisation du flot de courbure moyenne. Nous avons en fait déjà partiellement présenté cette méthode au travers de la diffusion de la chaleur dans le paragraphe 6.4. Nous avions également parlé de ce flot lors de l’introduction de la construction de l’opérateurLcotvia la méthode de Pinkall et Polthier dans le paragraphe 4.3. Nous utilisons ici la discrétisation du flot via la méthode d’Euler implicite : il suffit donc de résoudre l’équation (6.4.1), à la différence que nous utilisons cette fois-ci comme fonction initiale le plongement de la surface discrète. De la même façon que pour la diffusion de la chaleur, nous utilisons l’équation(6.4.2) pour calculer le flot via L_h. Nous résolvons l’équation (6.4.1) avec l’opérateur Lcombi ainsi qu’avec l’adaptation de l’opérateurLquadprésenté dans le paragraphe 4.4 (c.-à-d. L∗

quad). Les résultats du flot sont présentés dans la figure 6.13. Nous observons que les flots via

Figure 6.10 Les vingt premières valeurs propres deLhsur un cube digital de taille 1293.

Figure 6.11 Nous affichons ici les vingt premières valeurs propres sur un cube de taille 1293pour l’opérateur L∗

0 100 200 300 400 500 600 1 10 h error (px)

Figure 6.12 Nous affichons l’erreur Hausdorff entre la surface digitale et l’approximation via la décomposition spectrale. Est représenté en orange l’erreur induite parLcombiet en vert l’erreur induite parLhet en bleu celle induite parL∗

quad.

LcombietL∗

quadsont similaires dans leur comportement avec peut-être un effet de lissage plus prononcé pourL∗

quad. Le calcul du flot direct viaL_h nous donne de mauvais résultats visuels : il semblerait que le flot n’ait lieu que dans les parties "plates" de la forme, et non là où la courbure est maximale, c’est-à-dire sur les arêtes saillantes de celle-ci. Nous pensons observer une erreur que nous n’avons pas étudiée dans la preuve de convergence de cet opérateur, à savoir l’erreur qu’il y a entre la fonction appliquée sur le domaine discret et la fonction appliquée sur le domaine continue. La donnée en entrée est en effet ici très bruité, ce qui expliquerait les résultats. Enfin, nous affichons les résultats du flot viaL_h en résolvant cette fois-ci l’équation(6.4.1), qui donne de meilleurs résultats visuels que la méthode de calcul directe.

6.7 Conclusion

Nous avons mis en évidence expérimentalement la propriété de C2-convergence de notre opérateur, confirmant ainsi le résultat théorique obtenu dans la partie précédente. Nous avons également comparéL_h avec d’autres opérateurs de la littérature, à la fois sur la surface digitale, mais aussi sur des surfaces intermédiaires comme par exemple le marching

cubes de la surface digitale. Nous avons ensuite illustré notre opérateur avec quelques

applications pour, entre autre, montrer une propriété d’anisotropie de celui-ci. Nous allons maintenant passer à la conclusion de cette thèse, où nous présenterons une perspective pour l’opérateur de Laplace–Beltrami discret.

Lcombi L∗

quad L_h explicite L_h implicite

Figure 6.13 Illustration du flot de courbure discret pour différents opérateurs. Nous affichons dans la première colonne le flot viaLcombi, dans la seconde colonne le flot viaL∗

quad, dans l’avant dernière colonne le flot calculé explicitement avecLhet enfin dans la dernière colonne le flot calculé implicitement avecLh. Nous affichons les résultats pour différentes valeurs de t.