rapport à la version précédente interviennent dans le barycentrage surfacique et la projection des nœuds.
1) Les nœuds surfaciques sont régularisés selon le barycentrage des nœuds de surface suivant :
•1Z þ¥4
ì|»þ∑ •i
Z34
∈¥ì|» IIIIIIIIIIII----58585858
où 1| est la restriction du voisinage de m aux nœuds de la surface. Notons que le barycentrage n’est
plus pondéré par le critère d’adaptation de maillage dans cette nouvelle version. Ceci permet d’éviter les problèmes de convergences rencontrés avec les algorithmes de Jacobi ou Gauss-Siedel, tout en remarquant que cette pondération n’était pas nécessaire lorsque le maillage initial est raffiné de manière adaptative. Ainsi le critère de pondération {Z34 est-il pris égal à 1,
2) Les nœuds barycentrés sont projetés sur la surface lagrangienne réactualisée, patch par patch (le « patch » est un ensemble d’éléments contenant le nœud considéré (voir Figure III-8)) :
••Z ∏ •1Z IIIIIIIIIIII----59595959
Figure III-8 : Projection des nœuds surfaciques sur la surface lagrangienne
3) Calcul de la vitesse de maillage (voir équation III-52),
4) Lorsque l’algorithme a convergé, le maillage est actualisé (voir équation III-57).
La projection de l’équation (III-59) est différente selon la nature du nœud, selon qu’il appartienne à
une face, à une arête ou à un coin (Philippe 2009), et dépend de la précision de la représentation de la surface de projection : la surface lagrangienne réactualisée du domaine. A l’instant N —N, elle est calculée par application du schéma d’intégration temporelle d’Euler (voir équation III-26) ou de tout
autre schéma utilisé tel que RK2. Ensuite, les nœuds du maillage régularisé (voir équation III-58) sont
projetés localement par patch sur cette surface. Cette projection sur les patchs permet de travailler uniquement avec des informations locales et ainsi de l’étendre facilement au calcul parallèle. Dans la pratique, cette méthode s’avère peu précise ; elle est trop diffusive, entrainant des pertes de volume
58
trop importantes.Elle peut être considérablement améliorée en augmentant l’ordre d’interpolation de la surface grâce à une méthode de recouvrement (Nagata 2005) qui constitue le cœur de l’étape de régularisation. Elle consiste à transformer la surface {? en une surface quasi-{4. Des éléments quadratiques (triangles quadratiques) sont utilisés pour interpoler la surface. L’interpolation est construite sur la base des éléments linéaires (puisque la position des nœuds sommets est connue) suivant une approche hiérarchique ; il suffit donc de calculer la position des nœuds se trouvant au milieu des arêtes du maillage et d’ajouter une fonction de forme hiérarchique de degré 2 aux fonctions de formes linéaires habituelles pour interpoler de manière quadratique le long de chaque arête (voir Figure III-9 a). Le calcul de la position du nœud milieu repose sur deux étapes : le calcul des normales aux 2 nœuds extrémités d’une arête et le calcul de la courbe de degré 2 (voir Figure III-9 b) interpolant cette arête au mieux en préservant ces normales.
Figure III-9 : Patch de Nagata : augmentation de l’ordre d’interpolation
La position •′ d’un nœud appartenant à l’arête courbe, pour 0 \ \ 1 l’abscisse curviligne, est donnée par la formule suivante (voir Figure III-10) :
•′ •4Ê4 •6Ê6 •;Ê9 IIIIIIIIIIII----60606060
où •4 et •6 sont les coordonnées des 2 nœuds S4 et S6 ; Ê4 1 et Ê6 sont les fonctions de formes linéaires ; Ê9 4 1 est la fonction de forme hiérarchique quadratique associée au nœud milieu de l’arête, ajoutée pour obtenir une interpolation d’ordre 2. •; est l’inconnue déterminée par minimisation des moindres carrés du produit scalaire des tangentes aux extrémités avec les normales calculées en ces nœuds :
•; J#= C ü; ∑ ÜC)4 Z 2 ˆü) ˆ 0 Ý 6 Œæ ZÔ4 ∑ ÜC)6Z 2 ˆü)ˆ 1 Ý 6 Œ
ZÔ4 .•;6 IIIIIIIIIIII----61616161
où .•;6 est un terme de régularisation introduit dans le cas où le problème n’est pas inversible ; J4 et J6 sont respectivement le nombre de normales aux nœuds S4 et S6.
59
Figure III-10 : Définition de l’arête courbe passant par les nœuds et de normales )) et )) .
La procédure est répétée pour les 3 arêtes de chaque triangle ; l’interpolation quadratique permet ensuite de construire la solution finale X)) , sur la face complète de ces triangles :
• , •4Ê4 , •6Ê6 , •9Ê9 ,
•;•Ê• , •; Ê , •; Ê , IIIIIIIIIIII----62626262
où •Z est la coordonnée du nœud SZ et
ÊÊ46 ,, 1 Ê ,Ê• , 4 14
Ê9 , Ê , 4 1
. IIIIIIIIIIII----63636363
La précision de ces arêtes courbes et de l’interpolation résultante repose sur la précision du calcul des normales en chacun des nœuds de la surface. Parmi les différentes manières envisagées pour leur calcul (dont la méthode utilisée dans le premier algorithme de régularisation présentée plus haut),le calcul de normales votées proposé par (Nagata 2005) s’avère le plus efficace et apporte une précision
satisfaisante. Il repose sur l’utilisation d’une matrice de corrélation SÛ, en chaque nœud k, qui est
calculée à partir des faces contenant le nœud :
‘ ’ “ ’ ” SÛ ∑ú∋ÛHúC)úC)ú2 Hú 1‹ï÷ý ý ÷ý. aé% 3l• Û{ú ))))))))) l =céú l•))))))))) lÛ{ú
IIIIIIIIIIII----64646464
où ú est la surface de la face f, {ú son barycentre et C)ú sa normale extérieure. Les valeurs propres
}4, }6, }9 (avec }4 }6 }9) de cette matrice permettent de déterminer les singularités géométriques (arête ou coin) au nœud k. Considérons les 2 paramètres suivants . 103 et 6. .4?å
1‹ïý ÷ý :
- nœud de coin si : ç
æ min ., 3 normales,
- nœud d’arête si :
æ min ., 2 normales,
- sinon nœud de surface 1 normale.
Ceci permet de repérer automatiquement les arêtes et les coins qui peuvent se former au cours du procédé, par exemple lors de l’apparition de défauts ou de bavures en FSW. Ensuite le calcul des normales est effectué par patch et voté en moyennant les normales C)ú d’un ensemble Z de faces défini au préalable et tel que les faces respectent un angle minimal:
60
C)Z ∑ H
úC)ú
ú∈ùƒ IIIIIIIIIIII----65656565
où est la ième normale du nœud. Plus précisément, si le nœud appartient à la surface, alors la normale
C)ú est le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de la matrice de corrélation. Si le nœud
appartient à une arête, alors les 2 premiers vecteurs propres de la matrice de corrélation permettent d’identifier 2 normales de l’arête, qui permettent à leur tour de diviser le patch en 2 : chaque sous- patch contient l’ensemble des facettes dont la normale est orientée suivant l’une de ces 2 normales. La normale votée est calculée comme précédemment sur chacun des 2 sous-patchs. Il est fait de même pour un nœud appartenant à un coin avec 3 normales et 3 sous-patchs.
La dernière étape est la projection du point barycentré sur la surface quadratique (voir équation