III. Développements numériques spécifiques au FSW
I.1. Les équations du problème thermomécanique
Le procédé FSW repose sur le couplage des trois domaines que sont la mécanique, la thermique et la métallurgie. Dans nos travaux, nous ne nous intéressons pas directement aux évolutions microstructurales et métallurgiques au sein du cordon de soudure, de sorte que le problème se décompose en ses seules parties mécanique et thermique. Pour plus de lisibilité, le schéma suivant représente le domaine de calcul et ses frontières :
Nous nous intéressons à la résolution du problème thermomécanique sur le domaine représentant les tôles à souder (voir Figure III-1). La frontière du domaine est décomposée en 5 zones, les plans d’entrée et de sortie et ; la surface libre ; la surface en contact avec l’outil FSW et celle en contact avec la plaque support, . La plaque support et l’outil FSW sont considérés rigides.
Figure III-1: Description du domaine de calcul et des frontières.
Il y a deux équations principales en mécanique ; la première est la conservation de la masse encore appelée équation de continuité :
0 IIIIIIIIIIII----1111
où est la masse volumique et est le vecteur des vitesses matérielles. Le matériau est considéré comme rigide viscoplastique et incompressible. En effet, dans la zone thermomécaniquement affectée, la composante élastique de la déformation est négligeable devant la composante plastique. Dans la zone thermiquement affectée et plus généralement dans la plaque, la composante élastique de la déformation est faible. Elle doit être prise en compte pour le calcul des contraintes résiduelles dues aux retours élastiques en aval de l’outil lorsque le matériau refroidit, comme dans (Guerdoux 2007). Mais il n’est pas nécessaire d’en tenir compte si l’intérêt porte, comme ici, uniquement sur l’écoulement de matière dans la zone soudée. Ainsi, nous écrivons :
div 0. IIIIIIIIIIII----2222
44
!div "" $ %&# , IIIIIIIIIIII----3333
où # est le vecteur de pesanteur, " est le tenseur des contraintes de Cauchy, $ est la partie déviatorique des contraintes, % est la pression hydrostatique et & est la matrice identité. La gravité et l’inertie sont négligeables vis-à-vis des forces de viscosité plastiques, ce qui donne :
div " div $ % 0), IIIIIIIIIIII----4444
La loi de comportement permet de relier le tenseur des contraintes au taux de déformation. En FSW, le matériau est chaud et à l’état pâteux dans la zone de grandes déformations proche de l’outil. Nous modélisons donc le matériau à l’aide d’une loi rigide viscoplastique de type Norton-Hoff dans laquelle nous négligeons l’écrouissage (c'est-à-dire la dépendance à la déformation généralisée) :
$ 2+ , √3.̅0 1 2 34.0, IIIIIIIIIIII----5555
où .0 46 ⊺ est le tenseur des vitesses de déformation et .̅0 869.0: .0 est le taux de déformation généralisé. La contrainte équivalente de Von Mises est déduite par la relation suivante :
"; 896$: $ √3 + , √3.̅0 1 2 , IIIIIIIIIIII----6666
où , la température, + , est la consistance du matériau et = , est le coefficient de sensibilité à la vitesse de déformation, qui dépendent de la température. Nous remontons finalement à la déformation équivalente en intégrant le taux de déformation généralisé :
.̅ > .̅0? IIIIIIIIIIII----7777
Les conditions aux limites mécaniques de surface libre sont imposées sur la surface de la pièce Γ qui n’est pas en contact avec l’outil :
" ∙ C) 0 sur , IIIIIIIIIIII----8888
où C) est la normale à la surface. Dans la réalité, la cinématique du procédé est la suivante : nous nous plaçons dans un repère entrainé en translation par l’outil mobile ; la plaque est fixée, bridée sur les quatre bords et l’outil se déplace à la vitesse ? en plus de sa vitesse de rotation H)). En simulation numérique (voir Figure III-2), nous considérons l’outil fixe en translation (seule la vitesse de rotation lui est appliquée) et nous imposons la vitesse ? de translation à la plaque sur les parois bridées
notamment sur les plans d’entrées et de sortie et :
45
Figure III-2 : Cinématique procédé
Nous considérons une condition de contact unilatéral qui est écrite en chaque nœud de la surface du maillage (contact nodal ou formulation nœud / facette). Nous utilisons une formulation explicite dans laquelle la surface de l’outil est localement approchée, entre deux incréments de temps, par son plan tangent (voir Figure III-3c). Détaillons la condition de non pénétration (voir équation III-15). A
l’instant N ∆N, par convention, la distance, d’un nœud à la surface d’un outil, est positive ou nulle si le nœud se trouve à l’extérieur :
P Q∆ R 0 IIIIIIIIIIII----10101010
En écrivant un développement limité en t, cela donne :
P S Q∆ P S P S ∙ ∆N T ∆N6 R 0 IIIIIIIIIIII----11111111
avec P S la distance du nœud S à son projeté U sur la surface de l’outil au temps t. Nous détaillons la dérivée P S :
P S VS U)))))))))) ∙ C W X Y Z [ ∙ C) S U)))))))))) ∙ C)
P S X Y Z [ ∙ C)
, IIIIIIIIIIII----12121212
le second terme s’annule car dans le cas le plus courant le point reste projeté sur la même facette (voir Figure III-3b) ainsi la normale est constante C) 0 ; sinon, si le point change de facette et il y a discontinuité de la normale (dérivée non définie) et l’approximation effectuée en prenant une dérivée nulle est corrigée à l’incrément de temps suivant. En multipliant l’équation (III-12) par le pas de
temps nous avons :
P S ∆N XI) Y Z I) [C) IIIIII----13IIIIII1313 13
soit la formulation en déplacements suivante :
XI) Y Z I) [C) P \ 0 IIIIII----14IIIIII1414 14
oùI) est le déplacement du nœud S de la pièce au temps t, I) Y Z est de même le déplacement de l’outil.
46
Figure III-3 : Contact : b) facettisation ; c) projection sur plan tangent.
Les équations du contact à l’interface entre l’outil et la pièce s’écrivent de manière plus générale
suivant Signorini, toujours avec une formulation explicite en déplacements (voir Figure III-4) :
]XI) Y Z I) [ ∙ C)"d " ∙ C) ∙ C) \ 0 ∶ _`=%Ja$$ `CP \ 0 ∶ _`C N `C a C`C %éCéNJcN `C
eXI) Y Z I) [ ∙ C) P f"d 0 ∶ é_`gga=aCN `I _`CNc_N
, IIIIIIIIIIII----15151515
où "d est la pression de contact. Ces inéquations empêchent la pénétration d’un point de matière dans l’outil, autorisent son glissement le long de la surface de l’outil, ou permettent à un point en contact avec l’outil de quitter sa surface.
Figure III-4 : Schéma du contact
Une condition de frottement, qui est exprimée par la définition de la scission de frottement, s’ajoute aux conditions de contact à l’interface :
h "C) "d C). IIIIIIIIIIII----16161616
Pour le FSW, le frottement est modélisé par des lois viscoplastiques de type Norton (Fourment & Guerdoux 2008), (Gemme et al. 2010), permettant de représenter le caractère visqueux du matériau à l’interface, ou bien de type Coulomb (Al-Badour et al. 2013), (Malik & Hebbar 2014), (Schmidt & Hattel 2005), (Zhang 2008), (Assidi et al. 2010), (Guerdoux 2007). Le frottement de Norton dépend de la vitesse de glissement i qui relie la vitesse de la matière et la vitesse de l’outil :
j h k+ , l ilm34 i
i Y Z n Y Z C)oC) , IIIIIIIIIIII----17171717
où k est le coefficient de frottement (si il tend vers 0, le frottement tend à être parfaitement glissant ; si il tend vers 1, le frottement tend à être collant), p est le coefficient de sensibilité à la vitesse de glissement (si il tend vers 0, le comportement de l’interface tend à être solide ; si il tend vers 1, le comportement tend à être liquide).
47 qh r "d s)t ls)tl, $ |r "d| < =w xy √9 h =wxy √9. s)t ls)tl, $ |r "d| R =w xy √9
. IIIIIIIIIIII----18181818
où "? est la contrainte d’écoulement, "d est la pression de contact, =w est le coefficient de frottement de Tresca tel que 0 \ =w \ 1 et μ est le coefficient de frottement de Coulomb.
Le problème thermique est régi par l’équation de la chaleur :
{X , ) ,[ )))))) X}) ,[| ";: .̅0 , IIIIIIIIIIII----19191919
où { est la capacité thermique massique, } est la conductivité, ";: .̅0 est la source volumique de chaleur générée par la déformation plastique (en grande partie due au malaxage du pion en FSW) où f représentant la fraction d’énergie convertie en chaleur et variant entre 0.9 et 1. La seconde source de chaleur, surfacique, est celle générée par frottement (celui de l’outil et principalement de son épaulement en FSW) ; elle se répartit entre la pièce et l’outil en fonction des effusivités e de chaque corps selon l’équation suivante :
• } , ∙ C) Q €•‚ƒ„h ∙ i
a …} { $IJ . IIIIIIIIIIII----20202020
Des échanges par conduction ont également lieu. Ils sont modélisés par des conditions aux limites de type Fourier à l’aide d’un coefficient d’échange ℎ‡ dˆ :
}) , ∙ C) ℎ‡ dˆ , ,Y Z $IJ ∪ Š. IIIIIIIIIIII----21212121
Les échanges entre les corps et l’air se font par convection forcée et rayonnement selon le modèle suivant :
j }) , ∙ C) ℎ‡ ds , ,‹ZŒ
}) , ∙ C) .Œ"ŒX,• ,‹ZŒ•[ $IJ ∪ . IIIIIIIIIIII----22222222
où "Œ est la constante de Stefan-Boltzmann et .Œ est l’émissivité du matériau. Une condition aux limites de Dirichlet impose une température sur :
∀ N, , ,Z1• sur . IIIIIIIIIIII----23232323
Enfin une condition de Dirichlet est imposée sur Ω pour définir les températures initiales des corps :
U`IJ N N?, , ,ZdZ sur IIIIIIIIIIII----24242424