Il existe un unique ´equilibre de Nash, d´efini par un seuil : les agents ayant des ressources plus grandes que ce seuil contribuent et les autres ne contribuent pas.
Il existe un unique ´equilibre de Nash, qui a la propri´et´e suivante :gi = 0 ssiyi ≤ 1−αα G.
Preuve : On peut prouver l’existence d’un ´equilibre `a l’aide du th´eor`eme de Brouwer. Supposons qu’il existe et montrons qu’il v´erifie la propri´et´e annonc´ee. Soit (gi) un ´equilibre de Nash.
Supposons quegi >0. Alors (on a d´ej`a calcul´e les meilleures r´eponses) on doit avoirgi=αyi−(1−α)g−i, doncαgi =αyi−(1−α)G. Par cons´equent,yi >1−αα G.
D’un autre cˆot´e, sigi = 0, on a :αyi≤(1−α)g−i = (1−α)G donc yi ≤ 1−αα G.
Plan
Introduction
Strat´egie domin´ee et EISSD L’´equilibre de Nash
D´efinition
Meilleures r´eponses
Connexion EISSD-Nash et exemples Strat´egies mixtes
D´efinition
Th´eor`eme de Nash
Interpr´etation des ´equilibres de Nash mixtes Simplifier un jeu avant le calcul des ´equilibres Jeux `a espaces d’actions continus
Jeux s´equentiels
(1) Un ensemble de noeuds, dont un noeud origine et des noeuds terminaux.
(2) Une structure d’arbre (pas de cycle).
(3) Une partition des noeuds non terminaux (signifiant `a quel joueur c’est le tour d’agir `a chaque nœud).
(4) Pour chaque joueur, une partition de ses noeuds (les ensembles d’information du joueur.
(5) Un vecteur de paiement associ´e `a chaque noeud terminal.
Exemple 1 : Jeu de l’ultimatum fini. Une personne (joueur 1) a une certains somme d’argent `a partager avec son adversaire (joueur 2).
Supposons que cette somme soit ´egale `a 3 euros. Le joueur 1 commence donc en proposant au joueur 2 un certain partage (3−n,n).
Ensuite, c’est au joueur 2 de choisir une action. Il peut soit accepter le partage, soit refuser, et dans ce cas chacun des deux joueurs obtient 0 (les 3 sont perdus).
Exemple 2 : Jeu du mille-pattes. Le jeu du mille-pattes est un jeu sous forme extensive `a deux joueurs, o`u chacun son tour un des deux joueurs d´ecide d’arrˆeter ou non.
Les paiements sont tels que, `a chaque ´etape, le joueur pr´ef`ere arrˆeter plutˆot que ce soit son adversaire qui stoppe au coup suivant.
N´eanmoins, il y a un nombre de coup maximal, au cours desquels le jeu s’arrˆete quoi qu’il arrive et les joueurs obtiennent un paiement
int´eressant. Un exemple possible est le suivant :
Exemple 3 : Les jeux classiques.
Les ´echecs, les dames, le morpion etc, sont ´egalement des jeux sous forme extensive, `a information parfaite.
Pas de hasard, les joueurs n’ont pas d’information cach´ee et on sait, quand c’est notre tour de jouer, exactement o`u on en est dans le jeu.
En th´eorie, on pourrait construire un arbre d´ecrivant exactement toutes les possibilit´es aux ´echecs, mais celui-ci serait extrˆemement compliqu´e.
A l’oppos´e, le poker est un jeu qui peut ˆetre mis sous forme extensive, mais il n’est pas `a information parfaite.
Exemple 4 : Matching pennies en forme extensive.
On peut repr´esenter le jeu matching pennies de plusieurs mani`eres sous forme extensive, par exemple :
Forme normale associ´ee
Soit Γ un jeu sous forme extensive. On peut toujours lui associer un jeu sous forme normale. Il faut pour cela d´efinir ce qu’est une strat´egie pure, puis construire la matrice des paiements.
Les ´equilibres de Nash du jeu extensif sont les ´equilibres de Nash du jeu sous forme normale associ´e.
Par exemple :
La strat´egie pureaB du joueur 2 est strictement domin´ee parbA.
a)´Equilibres purs.Les ´equilibres de Nash purs sont (G,bA) et (D,aA).
b)Equilibres o`´ u 1 joue pur et 2 joue mixte. Si le joueur 1 joue la strat´egie pure G, alors les meilleures r´eponses du joueur 2 sontbAetbB.
Cherchons les strat´egies mixtes de la forme (G,(0,y,1−y)) (y ∈[0,1]) : le joueur 2 jouebAavec probabilit´ey et jouebB avec probabilit´e 1−y. le joueur 1 doit avoir un paiement plus petit s’il d´evie vers son actionD.
On a
u1(D,(0,y,1−y)) =y+ 4(1−y); u1(G,(0,y,1−y)) = 2 On doit donc avoir 4−3y≤2 , ce qui donney ≥2/3. Tous les profils de la forme (G,(0,y,1−y)), avecy ≥2/3, sont donc des ´equilibres de Nash.
Si le joueur 1 joue la strat´egie pureD, les meilleures r´eponses du joueur 2 sontaAetbA. On cherche donc les ´equilibres de Nash de la forme (D,(y,1−y,0)) (y∈]0,1[).
u1(D,(y,1−y,0)) = 1; u1(G,(y,1−y,0)) =y+ 2(1−y);
On ne peut jamais avoir
u1(D,(y,1−y,0))≥u1(G,(y,1−y,0)) =y+ 2(1−y). Il n’y a pas d’´equilibre de Nash de cette forme.
c)Equilibres o`´ u 1 joue mixte et 2joue pur.Lorsque le joueur 2 joue bAoubB, le joueur 1 a une unique meilleure r´eponse. Lorsque le joueur 2 joueaA, le joueur 1 est indiff´erent. Mais si le joueur 1 joue
compl`etement mixte, la seule meilleure r´eponse du joueur 2 estbAdonc il n’y a pas d’´equilibre de Nash de ce type.
d)Equilibres o`´ u les deux joueurs jouent mixte.Cherchons maintenant les ´equilibres de Nash o`u les deux joueurs jouent mixte. Quand le joueur 1 joue compl`etement mixte, la seule meilleure r´eponse du joueur 2 estbA.
Donc il n’y a pas d’´equilibre de Nash en strat´egies compl`etement mixtes.
En conclusion, il y a deux ´equilibres de Nash purs et une infinit´e d’´equilibres de Nash de la forme (G,(0,y,1−y)), avecy ≥2/3.
On peut aussi analyser le jeu du mille-pattes.
On remarque que le seul ´equilibre de Nash pur est (S,S), c’est `a dire le profil d’action o`u les deux joueurs choisissent de sortir d´es le premier coup.
D´efinition : Deux strat´egies pures du joueuri sont ´equivalentes si elles induisent le mˆeme vecteur de paiement, quel que soit les strat´egies des autres joueurs.
D´efinition : La forme norme r´eduite associ´ee `a un jeu sous forme extensive est le jeu sous forme normale dans lequel on ne garde qu’une strat´egie par classe d’´equivalence.
Strat´egie mixte vs Strat´egie de comportement.
1/ Les strat´egies mixtes sont simplement les strat´egies mixtes du jeu sous forme normale associ´e.
2/ Une strat´egie de comportement est le choix, pour un joueur, d’une probabilit´e sur l’ensemble des actions possibles `a cet instant.
Exemple : Consid´erons la situation d’un conducteur amn´esique voulant prendre la 2nde sortie sur l’autoroute. Le probl`eme est qu’il ne se souvient pas, lorsqu’il arrive `a la seconde sortie, s’il a d´ej`a pass´e une sortie auparavant.
Equilibres en sous-jeux parfait, induction `´ a rebours La notion d’´equilibre en sous-jeux parfait permet de raffiner l’ensemble des ´equilibre de Nash. Cela permet d’´eliminer certains ´equilibres pas naturels.
(G,bA) et (D,aA) sont des ´equilibres de Nash, mais (D,aA) nest pas un
´equilibre en sous-jeux parfait.
Jeux `a deux joueurs type gagner/perdre L’induction `a rebours permet de trouver les ´equilibres de Nash en
sous-jeux parfaits. Mais cet algorithme est aussi utile lorsqu’on ´etudie des jeux de la forme gagner/perdre.
D´efinition : Un jeu sous forme extensive `a deux joueurs type
”gagner/perdre” est un jeu `a information parfaite `a somme nulle dans lequel tous les vecteurs de paiements aux nœuds terminaux sont de la forme (1,−1) ou (−1,1). Si le jeu se termine sur un paiement (1,−1) le joueur 1 est gagnant, sinon, le joueur 2 est gagnant.
Th´eor`eme : Dans un jeu de ce type, un des deux joueurs a une strat´egie pure gagnante, c’est `a dire une strat´egie qui lui assure un paiement final de 1.
Preuve.Induction `a rebours.