Comportements stratégiques: la théorie des jeux

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Comportements strat´ egiques: la th´ eorie des jeux

´Ecole centrale 2021 - 2022

Ga¨etan Fournier

13 Septembre, 04 et 11 Octobre: 8h-12h + TD (Sarah Vincent)

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Plan

Introduction

Stratégie dominée et EISSD L’équilibre de Nash

D´efinition

Meilleures r´eponses

Connexion EISSD-Nash et exemples Strat´egies mixtes

D´efinition

Th´eor`eme de Nash

Interprétation des équilibres de Nash mixtes Simplifier un jeu avant le calcul des équilibres Jeux à espaces d’actions continus

Jeux s´equentiels

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Qu’appelle t-on un jeu ?

→Une situation où différents agents interagissent. Cette théorie a été développée et utilisée de plus en plus fréquemment à partir des années 1960 en économie, en sociologie, en politique, dans l’analyse stratégique des relations internationales...

Un monopole

I Choisit son prix de vente I Attire plus de client quand son

prix est bas

I Génère plus de bénéfice par client quand son prix est haut I Doit résoudre son problème de

maths (optimisation)

Une entreprise en duopole I Choisit son prix de vente I Doit comparer son prix avec

celui de son concurrent I Doit d’adapter `a la strat´egie

de l’autre

I Anticipe une réaction à sa réaction

I Ne peut pas savoir, a priori, si son prix est le bon ou pas

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Un jeu (sous forme normale) est d´efini principalement par trois param`etres :

1/ un ensemble de joueurs ou agents, 2/ leurs ensembles d’actions,

3/ leurs fonctions de paiement ou fonctions d’utilit´e.

De mani`ere formelle :

(i) Joueurs.On noteN l’ensemble des joueurs ;

(ii) Stratégies.étant donné un certain agenti∈N, son ensemble d’action sera notéS_i;

S := Π_i∈NS_i. Un éléments∈S sera appelé unprofil de stratégies; c’est à dire un vecteur spécifiant une action pour chaque agent : s= (s_i)_i∈N.

(iii) Paiements. La fonction de paiement du joueuri est notéeui. Il s’agit d’une application deS dans→Rqui, à un profil de stratégies s donné, associe l’utilité du joueuri,u_i(s).

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Exemple 1

Dilemme du prisonnier.Il s’agit probablement de l’exemple le plus célèbre en théorie des jeux.

Deux suspects pour un crime sont gardés prisonniers dans deux cellules différentes. Ils sont interrogés séparément et peuvent soit refuser de parler (Coopérer) ou avouer et dénoncer leur partenaire (Trahir). Si les deux nient, ils passent un temps relativement court en prison. Si l’un des deux dénonce l’autre, l’informateur est libéré mais son complice écope d’une très longue peine. S’ils se dénoncent mutuellement, ils restent en prison pour une peine assez longue :

Joueur 2

C T

Joueur 1 C 1,1 4,0 T 0,4 3,3

Exception : les joueurs minimisent

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Exemple 1

Le Dilemme du prisonnier fait partie d’une famille de jeux intéressants, où la coopération est possible mais pas systématique. Voyons un autre exemple :”Voler ou Partager ?”(”Steal or split ?”) est un jeu télévisé aux

´etats-Unis.

I Les 2 joueurs arrivant en finale doivent se partager les gains accumul´es pendant l’´emission (supposons 1000$).

I Chacun choisit simultanément ”Partager”, c’est à dire proposer le partage 50−50, ou ”Voler”, c’est à dire tenter de voler l’entièreté de la mise à l’autre finaliste s’il a choisi ”Partager”.

I Si les deux choisissent ”Voler”, tous les gains sont perdus.

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Exemple 1

La théorie des jeux essaie de prévoir et d’analyser l’interaction. Mais c’est difficile, surtout s’il y a des facteurs sociaux ou psychologiques qui entre en jeu. Dans l’exemple précédent : empathie, conséquence du vol, profils des joueurs (ge, sexe, classe sociale...).

→Martijn J. van den Assem (Amsterdam), Dennie van Dolder

(Amsterdam) and Richard H. Thaler (Chicago) sont trois chercheurs en

économie qui ont étudié le comportement des participants de l’émission

”Partager ou voler”. Ils ont remarqu´e que :

I Les fr´equencs empiriques sont (”Partager”,”Voler”)= (0.53,0.47).

I Lorsque les participants sont jeunes, les hommes choisissent plus

”Voler” que les femmes, mais chez les participants plus gés le phénomène s’inverse.

I Lorsque les joueurs ont déjà cherché à s’attaquer lors des phases précédentes du jeu, ils ont plus tendance à choisir ”Voler”.

→Dans ce cours nous allons ignorer tous ces facteurs extérieurs et ne s’intéresser qu’à l’aspect rationnel de l’interaction.

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Quelques remarques

I Strat´egie vs Action.

Deux joueurs peuvent prendre la mme décision pour des raisons différentes. Par exemple, au poker avecune pair d’as, je peux faire tapis (stratégie A) ou faire tapis seulement si la dernière fois que j’ai eu la main mme je n’ai pas fait tapis (stratégie B). Voir l’action du joueur (faire tapis) ne vous renseigne pas nécessairement sur la stratégie choisie.

I Pr´ef´erences ordinal vs cardinal.

Une partie de la théorie peut se faire avec des préférences ordinal (relation d’ordre sur les issues du jeu). Les notions de stratégie dominée, d’équilibres purs, etc. Dans la théorie du vote, on ne s’intéresse souvent qu’aux préférences ordinales. Certains notions plus complexe ont besoin de préférences cardinales.

I Forme normale vs forme s´equentielle.

On va étudier les liens entre les deux, mais chaque forme à son utilité : la forme séquentielle représente mieux le timing d’un jeu, la forme normale est plus adapté pour les calculs d’équilibres.

(9)

Notation : on noteS−i = Πj6=iSj l’ensemble des profils d’actions de tous les joueurs, sauf le joueuri et on notes_−i un de ses ´el´ements.

u_i :S_i×S_−i→R. s= (s₁, . . . ,s_i, . . . ,s_n)

s_−i= (s₁, . . . ,s_i−1,s_i+1, . . . ,s_n)

On s’autorise souvent la notationu_i(s_i,s_−i), qui modifie l’ordre des variables.

Le tripletG= (N,(Si)_i∈N,(ui)_i∈N) d´efinit la forme normaled’un jeu.

Un jeu est ditfini lorsqueN est fini et chaque ensemble de stratégieS est fini. Dans le cas particulier d’un jeu à deux joueurs fini, la fonction de paiement peut être représentée à l’aide d’une matrice (appeléematrice de paiement) : c’est unjeu matriciel.

(10)

Exemple 2

Pierre, ciseaux, feuille.Deux joueurs jouent au c´el`ebre jeu

Pierre-ciseaux-feuille. Ils choisissent simultanément une action, sachant que pierre bat ciseaux, ciseaux bat feuille et feuille bat pierre. Ceci peut être représenté par la matrice 3×3 suivante :

Joueur 2

P F C

Joueur 1

P 0,0 −1,1 1,−1 F 1,−1 0,0 −1,1 C −1,1 1,−1 0,0

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Exemple 3

Enchère simulatanée au second prix = enchères de VickreyUn objet est à vendre. Chaque joueuri a une évaluation privée de sa valeurvi. Chaque joueur soumet secrètement son unique offrexi. Le joueur ayant proposé le prix le plus élevé achète l’objet au second prix le plus élevé.

u_i(x_i,x⁻ⁱ) =

(0 ifi6=i^∗=argmax xi

vi−maxi6=i^∗xi otherwise.

(12)

Selon le dernier Observatoire de le-pub : les investissements en publicité sur le digital ont atteint en France 3.45 milliards d’euros en 2016. Cela représente près de 30% des investissements de la part des annonceurs, dépassant ainsi la télé (28 %) et la presse (un peu plus de 20 %).

Possibilit´e de choisir sa cible.

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Jeux s´equentiels

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Premier pas : ´ eliminer les actions domin´ ees

Commen¸cons par d´efinir ce que l’on entend par une actionmeilleure qu’une autre pour un certain joueur.

La strat´egies_i⁰ eststrictement domin´ee pars_i si

∀s_−i∈S_−i, ui(s_i⁰,s_−i)<ui(si,s_−i)

On noteras_i⁰<s_i. Lorsqu’une action est strictement domin´ee par une autre action, elle fait toujours strictement moins bien.

Exemple d’application dans un jeu matriciel : Joueur 2

l m r

Joueur 1

T 2,1 2,3 1,2 M 2,0 1,2 1,1 B 1,5 1,4 5,0 On remarque que :

I r <m

I M ≤T mais a ne suffit pas pour ´ecarter cette strat´egie !

(15)

Deuxi` eme pas : vers la proc´ edure d’EISSD

Nous adopterons l’hypoth`ese restrictive mais classique dite de connaissance commune.

Hypoth`ese de connaissance commune.Nous supposerons dans la suite que les joueurs sont rationnels (cherchent `a maximiser leur paiement). De plus, chaque joueur sait que tous les joueurs sont rationnels et que tous les joueurs savent que tous les joueurs sont rationnels etc...

I Dans une partie d’´echecs, un joueur ne va jamais faire de pi`ege.

I Au moment de prendre leurs d´ecisions, les traders ont diff´erents niveaux d’information. Mais chacun va joueur optimalement en fonction de son information, de ses croyances les informations manquantes, de ce qu’ils sait sur ce que les autres savent, de ce qu’ils sait que les autres croient sur ce qu’ils ne savent pas, etc, etc...

En pratique les joueurs se heurtent `a des limites cognitives et `a des biais sur les croyances (par exemple que mon adversaire est moins intelligent que moi).

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Contre-exemple ` a l’hypoth` ese de connaissance commune

Concours de beaut´e (par extention, Keynes 1936) : chacun donne un nombre entre 0 et 100. Le but est d’tre le plus proche de la moiti´e de la moyenne des participants. Par exemple, s’il y a 3 joueurs :

(x₁,x₂,x₂) = (25,50,75) alorsj₁ gagne.

Rosemarie Nagel [1995] : recherche exp´erimentale qui d´ecrit plusieurs niveaux de raisonnement logique.

I Les joueurs de plus bas niveau, ou niveau L₀, choisira ainsi un nombre purement au hasard entre 1 et 100.

I Les joueurs de niveau immédiatement supérieurL1 pensent que leurs adversaires sont de niveau 0 et adaptent leur stratégie selon cette prédiction. UnL1choisira donc 25 = ⁵⁰₂.

I Et ainsi de suite pour les joueurs de niveau 3, 4, 5... qui choisissent

50 2ⁿ.

I Dans l’hypothèse d’une infinité de niveaux de raisonnement, l’équilibre établi serait que les joueurs choisissent 0.

En pratique, le niveau de complexité du jeu excède rarement le niveau 3, si bien que les joueurs sont de catégorieL₀,L₁,L₂ ouL₃(conformément aux prédictions de Keynes).

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Joueur 2

l m r

Joueur 1

T 2,1 2,3 1,2 M 2,0 1,2 1,1 B 1,5 1,4 5,0

Après une étude attentive, le joueur 2, mais aussi le joueur 1 considèrent que la stratégier est absurde et ne sera pas jouée. Le jeu est donc

´equivalent au jeu suivant (jeu r´eduit) :

Joueur 2

l m

Joueur 1 T 2,1 2,3 M 2,0 1,2 B 1,5 1,4

(18)

Joueur 2

l m

Joueur 1 T 2,1 2,3 M 2,0 1,2 B 1,5 1,4

Mais on remarque que dans ce jeu, on a à nouveau une stratégie dominée :B <T.

Sous l’hypothèse de connaissance commune, on peut continuer à éliminer des stratégies même dans le jeu réduit. On appelera cette procédure : l’élimination itérée des stratégies strictement dominées : l’EISSD.

On peut donc ´eliminerB. Puisl<m.

EnfinM<T.

Finalement, seul le profil (T,m) survit.

I En conclusion, si les joueurs ne prennent pas de décisions absurdes, et si les joueurs supposent que leurs adversaires ne prendront pas non plus de décisions absurdes (etc...) alors les joueurs devraient jouer (T,m). Nous formaliserons ce résultat bientôt.

I Nous verrons aussi qu’il n’est pas absurde de jouer une strat´egie faiblement domin´ee.

(19)

Question : Dans le jeu suivant, procéder à l’EISSD. Termine t-elle avec un unique profil de stratégie, comme dans l’exemple précédent ?

Joueur 2

l m r

Joueur 1

T 4,3 4,4 3,2 M 2,0 5,1 1,2 B 1,5 1,4 2,0

Proposition : L’ensemble des stratégies qui survivent à l’élimination itérée ne dépend PAS de l’ordre d’élimination (si la domination est stricte) L’EISSD est une procédure qui donne un résultat intéressant lorsqu’elle aboutit à un unique profil de stratégie. Mais sinon ?

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Jeux s´equentiels

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L’´ equilibre de Nash

Definition

Un profil de strat´egiess^∗ estun ´equilibre de Nash (pur)si

∀i, ∀si∈Si, ui(s_i^∗,s_−i^∗ )≥ui(si,s_−i^∗ )

Un équilibre de Nash est donc un profil de stratégies tel qu’aucun agent n’a intérêt à dévier (jouer une autre action que son action à l’équilibre) si les autres joueurs jouent leur action d’équilibre.

A un ´` equilibre de Nash, aucune d´eviation unilat´erale n’est profitable.

John Nash (1928-2015)

Prix Nobel d’´economie en 1994.

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L’´ equilibre de Nash

Definition

Un profil de strat´egiess^∗ estun ´equilibre de Nash (pur)si

∀i, ∀si∈Si, ui(s_i^∗,s_−i^∗ )≥ui(si,s_−i^∗ )

Un équilibre de Nash est donc un profil de stratégies tel qu’aucun agent n’a intérêt à dévier (jouer une autre action que son action à l’équilibre) si les autres joueurs jouent leur action d’équilibre.

A un ´` equilibre de Nash, aucune d´eviation unilat´erale n’est profitable.

John Nash (1928-2015)

Prix Nobel d’´economie en 1994.

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Exemple 1

Joueur 2

l m r

Joueur 1

T 2,1 2,3 1,2 M 2,0 1,2 1,1 B 1,5 1,4 5,0

Questions : Le profil d’action (T,l) est-il un ´equilibre de Nash ? Et le profil (T,m) ? Y-a-t’il un autre ´equilibre de Nash ?

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Exemple 2

Y a t-il un probl`eme avec la solution propos´ee par Nash ? Joueur 2

l m r

Joueur 1

T 1000,1000 0,1000 1000,1000

M 1000,0 1,1 1000,0

B 1000,1000 0,1000 1000,1000

Equilibre6= Stabilité (attractivité) 6= Prédiction parfaite

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Meilleures r´ eponses (1)

Une définition alternative des équilibres de Nash repose sur la notion de correspondance de meilleure réponse. Une action est unemeilleure réponseface à un profil d’action des autres joueurs si elle garantit le meilleur paiement possible face à ce profil :

Definition

La correspondance de meilleure r´eponseBR_i de l’agent i est une application deS_−i dans l’ensemble des parties deS_i d´efinie par

∀s_−i ∈S_−i, BRi(s_−i) :=Argmaxs_i∈Siui(si,s_−i).

Les éléments de l’ensembleBR_i(s_−i) sont appeléesmeilleure réponsesdu joueuri face às_−i.

(28)

Example

Joueur 2

l m r

Joueur 1

T 2,1 2,3 1,2 M 2,0 1,2 1,1 B 1,5 1,4 5,0 Question : CalculerBR2(T), BR1(m), BR1(l).

(29)

Meilleures r´ eponses (2)

A l’aide des correspondances de meilleure réponses individuelles, nous pouvons définir une application de meilleure réponse globale :

Definition

On noteBR la correspondance (globale) de meilleure r´eponse. Il s’agit de l’application deS dans l’ensemble des parties deS, d´efini par

BR(s)=BR1(s−1)×BR2(s−2)×...×BRn(s−n)).

Question : choisir un profilsde stratégies dans le jeu précédent et calculerBR(s).

(30)

Equilibre de Nash ´ versus Meilleures R´ eponses

Definition

Un profil de strat´egiess est un ´equilibre de Nash ssi s∈BR(s).

Autrement dit :

sest un équilibre de Nash ssi, pour tout joueuri,si est une meilleure réponse face às−i :∀i,si ∈BRi(s−i).

Cette définition est clairement équivalente à la précédente.

→Méthode générale pour trouver les équilibres de Nash (purs) dans un jeu matriciel à deux joueurs : souligner, dans chaque colonne, les paiements maximum du joueur 1 et souligner, sur chaque ligne les paiement maximums du joueur 2. Les profils d’actions pour lesquels les deux paiements sont soulignés correspondent aux équilibres de Nash purs du jeu.

(31)

Question : Utiliser la m´ethode sur le jeu suivant.

Joueur 2

g m d

Joueur 1

A 3,3 6,3 −1,2 B 2,−2 9,2 0,1 C 2,−1 2,4 2,3

Combien d’équilibres de Nash trouvez-vous ? La multitude est-elle en générale un défaut ou une qualitée pour un concept de solution ?

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Jeux s´equentiels

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Retour sur les exemples

• Pierre-ciseaux-feuille : il n’y a pas d’´equilibre de Nash pur ici.

Remarque : la non-existence est un gros défaut pour un concept de solution, mais cette partie du problème sera réglé quand nous aborderons les équilibres mixtes.

• Dilemme du prisonnier : l’unique ´equilibre de Nash est (D,D).

Remarque : l’équilibre de Nash est dominé, au sens de Pareto, par le profil (N,N). Cette classe de jeux a été intensivement étudiée car elle permet de modéliser des situations dans lesquelles l’interaction stratégique entre les deux joueurs va à l’encontre du bien-être global. Les agents obtiendraient un paiement plus grand s’ils coopéraient tous les deux. Un équilibre de Nash estnon-coopératif, dans le sens où cette notion d’équilibre est basée sur le fait que chaque agent agit pour son propre intérêt et qu’aucune coalition n’est envisagée entre les agents.

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Lien entre strat´ egies strictement domin´ ees et ´ equilibres de Nash

Proposition 1 :Soits^∗ un équilibre de Nash (pur). Alors, pour tout i∈N,s_i^∗n’est pas strictement dominée par une autre stratégie.

Preuve.Au tableau.

Proposition 2 :Soitti ∈Si une stratégie strictement dominée du joueur i. Alors, si on noteG⁰ le jeu obtenu à partir deG en enlevant la stratégie t_i pour le joueur i, l’ensemble des équilibres de Nash purs du jeuG⁰ est

égal à l’ensemble des équilibres de Nash purs du jeuG.

Preuve.Au tableau.

Autrement dit : L’ensemble des ´equilibres de Nash est stable par

élimination des stratégies strictement dominées. Une conséquence directe est qu’aucune stratégie apparaissant dans un équilibre de Nash ne peut être éliminée par le procédé d’élimination.

(35)

Conclusion sur le proc´ ed´ e d’EISSD

Ainsi, le procédé d’élimination ne supprime pas d’équilibre de Nash pur.

Pour simplifier la recherche d’équilibres de Nash (purs, mais ce sera aussi le cas en mixte), il est donc conseillé de commencer par appliquer le procédé d’EISSD.

Si le procédé aboutit à un unique profil, celui-ci est l’unique équilibre de Nash et on dit alors que le jeu estsolvable par élimination des stratégies strictement dominées(ou plus simplementsolvable par élimination).

C’est ce qui arrive par exemple dans le cas du dilemme du prisonnier : seul le profil (D,D) survit `a l’´elimination.

(36)

Existe-il un proc´ ed´ e d’EISFD ?

Pour certains jeux, il peut être intéressant d’éliminer les stratégies faiblement dominées, mais deux problèmes peuvent apparaˆıtre : (i) certains équilibres de Nash peuvent être éliminés

(ii) le r´esultat n’est pas invariant par modification de l’ordre d’´elimination.

Illustrations : Le jeu matriciel suivant illustre (i) : Joueur 2

L R

Joueur 1 T 1,1 0,0 B 0,0 0,0 L’exemple suivant illustre (ii) :

Joueur 2

g m d

Joueur 1

A 1,0 3,1 1,1 B 1,1 3,0 0,1 C 2,2 3,3 0,2

On peut aboutir aux profils (A,d) ou (C,m).

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Existe-il un proc´ ed´ e d’EISFD ?

Pour certains jeux, il peut être intéressant d’éliminer les stratégies faiblement dominées, mais deux problèmes peuvent apparaˆıtre : (i) certains équilibres de Nash peuvent être éliminés

(ii) le r´esultat n’est pas invariant par modification de l’ordre d’´elimination.

Illustrations : Le jeu matriciel suivant illustre (i) : Joueur 2

L R

Joueur 1 T 1,1 0,0 B 0,0 0,0 L’exemple suivant illustre (ii) :

Joueur 2

g m d

Joueur 1

A 1,0 3,1 1,1 B 1,1 3,0 0,1 C 2,2 3,3 0,2 On peut aboutir aux profils (A,d) ou (C,m).

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Exemple 1 : Les jeux de congestion

Une population deN= 4000 automobilistes désire voyager d’un point de départ à un point d’arrivée.

Initialement, on suppose que deux chemins sont possibles :

I un passant par l’étape A. Du départ à A, le temps de parcours dépend du nombre d’usagers, il est égal àn/100, oùncorrespond au nombre de personne empruntant cette route. De A à l’arrivée, le temps de parcours fixe égal à 45 minutes.

I un autre passant par l’étape B. Le temps de parcours entre le départ et B est fixe, de 45 minutes et le temps de parcours de B à l’arrivée est égal àn/100.

A

B

45’

n/100

D´epart Arriv´ee

Figure–2 chemins possibles (donc deux strat´egies).

(39)

Les agents cherchent `a minimiser leur temps de parcours.

Question : Montrer qu’il y a un unique ´equilibre de Nash. Est-il efficace ?

Solution : 2000 usagers passent par A et les 2000 autres passent par B est un équilibre de Nash. Le temps de trajet est le même pour tout le monde et est égal à 65 minutes.

Clairement, tout profil asym´etrique (strictement plus d’usagers

empruntent un des deux itinéraire) ne peut pas être un équilibre de Nash : un des usagers empruntant l’itinéraire le plus emprunté a intérêt à dévier. Montrons maintenant que l’équilibre est efficace, c’est à dire qu’on ne peut pas faire mieux. La somme totale des temps de parcours est égale à : T =n_A(n_A/100 + 45) +n_B(n_B/100 + 45) = 45N+ (n²_A+ (N−n_A)²)/100 qui est minimale pournA =N/2 = 2000.

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Les agents cherchent `a minimiser leur temps de parcours.

Question : Montrer qu’il y a un unique équilibre de Nash. Est-il efficace ? Solution : 2000 usagers passent par A et les 2000 autres passent par B est un équilibre de Nash. Le temps de trajet est le même pour tout le monde et est égal à 65 minutes.

Clairement, tout profil asym´etrique (strictement plus d’usagers

empruntent un des deux itinéraire) ne peut pas être un équilibre de Nash : un des usagers empruntant l’itinéraire le plus emprunté a intérêt à dévier.

Montrons maintenant que l’équilibre est efficace, c’est à dire qu’on ne peut pas faire mieux. La somme totale des temps de parcours est égale à : T =n_A(n_A/100 + 45) +n_B(n_B/100 + 45) = 45N+ (n²_A+ (N−n_A)²)/100 qui est minimale pournA =N/2 = 2000.

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Paradoxe de Braess

Supposons maintenant que l’on construit une voie (ultra) rapide à sens unique de A à B, de temps de parcours nul. Cet ajout augmente le nombre de stratégies possibles des usagers (ce nombre passe de 2 à 3, puisqu’il est dorénavant possible de passer par A, puis B).

A

B

45’

n/100

D´epart 0’ Arriv´ee

Figure–Nouvelle option : prendre la voie rapide (3 strat´egies).

Question : Comment cela change t-il l’´equilibre ?

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La nouvelle stratégie domine strictement les deux anciennes. On va toujours plus vite du départ à B en passant par A (on met au plus 40 minutes en passant par A) De plus, il est toujours strictement plus rapide d’aller de B à l’arrivée que de A à l’arrivée.

Il y a un équilibre de Nash où tout le monde utilise le même itinéraire, qui est de passer par A puis B.

Le temps de parcours d’un usager à l’équilibre est maintenant de 80 minutes. La construction de cette nouvelle route se fait donc au détriment du temps de parcours.

Ce paradoxe a été trouvé par le mathématicien Dietrich Braess en 1968.

Il y a des exemples concrets :

I En 1990 : fermeture de la 42ème rue à New York. Conséquence : moins d’embouteillage dans la zone.

I En 2011 : fermeture de l’Interstate 405 (une des principales autoroutes inter-´etats, en Californie) : moins d’embouteillage dans une large zone au sud de la Californie.

(43)

Exemple 2 : un mod` ele de biens publics avec seuil.

I Considérons une population denindividus. Chaque individus doit choisir s’il veut apporter une contribution t>0 à l’élaboration d’un bien public.

I Si au moinsk personnes choisissent de contribuer, le bien public est produit et chaque agent (même ceux qui n’ont pas contribué) re¸coit une utilitéG >t. Dans le cas contraire, le bien public n’est pas produit et chaque agent re¸coit 0 (les contributions sont perdues).

Chaque agent a deux strat´egies. On ´ecrit s_i = 1 sii contribue ets_i = 0 sinon. Le bien public est produit ssiX

j

s_j ≥k. L’utilit´e d’un agent donn´e est :

u_i = 0 sis_i = 0 etP

js_j <k ui =G si si = 0 etP

jsj ≥k u_i =−t sis_i= 1 andP

js_j<k ui =G −t sisi = 1 etP

jsj ≥k

Question : Quels sont les ´equilibres de Nash ? Sont-ils efficaces ?

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Solution

La situation la plus efficace correspond au cas o`u il y a exactementk contributeurs.

L’utilité agrégée est alorsnG−kt. Il s’agit également d’un équilibre de Nash.

Néanmoins, il existe un autre équilibre de Nash, dans lequel personne ne contribue. Les interactions dans ce jeu sont similaires à celles dans un jeu de coordination avec une issue Pareto-dominée.

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Extension mixte

Jusqu’à présent : les joueurs ne jouaient que des stratégies pures, ils jouaient telle ou telle de leurs actions de manière déterministe. Nous allons maintenant définir ce que l’on entend parstratégie mixte.

Soit l’exemple de jeu `a somme nullematching pennies: Joueur 2

P F

Joueur 1 P −1,1 1,−1 F 1,−1 −1,1

Il n’existe pas d’équilibre de Nash en stratégie pure, car si les deux joueurs révèlent à l’autre joueur leur choix d’action, un des deux aura intérêt à changer. Ce n’est plus le cas si l’on autorise les joueurs à jouer de manière aléatoire entre leurs actions.

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Une strat´egie mixtexi d’un joueuri est une loi de probabilit´e sur l’ensemble des actions de ce joueur.

Par exemple, siA1={T,M,B}, alorsx1telle que

x1(T) = 0.6, x1(M) = 0, x1(B) = 0.4 est une strat´egie mixte.

On notera parfoisx1= (0.6,0,0.4).

Deux cas extrˆemes :

I Un cas particulier de stratégie mixte est une stratégie pure (c’est à dire les stratégies que nous avons considérées jusqu’à maintenant).

La stratégie puresi du joueuri correspond à la stratégie mixtexi

telle quexi(si) = 1 etxi(s_i⁰) = 0 pours_i⁰ 6=si.

I Lorsqu’une stratégie mixte associe une probabilité strictement positive à chaque action :xi(si)>0, ∀si ∈Si, on dira quexi est une stratégie complètement mixte; cela signifie que le joueur aura une chance de jouer chacune de ses actions.

(49)

Calcul du paiement avec des strat´ egies mixtes

Le paiement dans l’extension mixte du jeu peut ˆetre per¸cu comme un paiement ”moyen” lorsque les joueurs choisissent de rendre leurs choix d’actions al´eatoires.

Définition : On noteG l’extension mixte du jeuG, c ’est à dire le jeu où les joueurs peuvent choisir une stratégie mixtexi ∈Xi. Dans ce

”nouveau” jeu, si chaque joueuri choisit la stratégie mixtexi, le paiement associé au joueuri est donné par

ui(x1, ...,xn) := X

(s₁,...,s_n)∈S

x1(s1)....xn(sn)ui(s1, ...,sn)

Hypoth`ese implicite : les joueurs ont une attitude neutre face au risque.

(50)

Exemple 1

Joueur 2

P F

Joueur 1 P −1,1 1,−1 F 1,−1 −1,1

Le joueur 1 doit choisir une stratégie mixtex1= (x1(P),x1(F)) et le joueur 2 doit choisir une stratégie mixte (x2(P),x2(F)). Bien entendu, on doit avoirxi(F) = 1−xi(P) pour que ce soient bien des probabilités.

Par exemple :x1= (1/3,2/3) etx2= (3/4,1/4). Cela signifie que le joueur 1 choisit de jouerPileune fois sur trois et que le joueur 2 choisit de jouerpile3 fois sur 4. Le paiement du joueur 1 associé à ce profil de stratégies mixtes est donné par une somme de quatre termes :

u1(x) =1 3 ×3

4 × −1 +1 3 ×1

4 ×1 +2 3 ×3

4×1 + 2 3×1

4 × −1 = 1 6 Puisque le jeu est`a somme nulle, l’adversaire obtient le paiement oppos´e :−1/6.

(51)

Exemple 2

Joueur 2

P F

Joueur 1 P 4,3 1,−2 F 0,1 2,1

Question : Quel est le paiement du joueur 1 six1= (¹₄,³₄) etx2(P) =¹₂. R´eponse :

u1((¹₄,³₄),(¹₂,¹₂)) = ¹₄×¹₂×4 +¹₄×¹₂×1 +³₄×¹₂×2 = ¹₂+¹₈+⁶₈= ¹¹₈.

(52)

Equilibre de Nash mixte ´

On introduit maintenant la notion d’´equilibre de Nash dans l’extension mixte du jeu :

Definition

Soitx^∗= (x₁^∗,x₂^∗, ...,x_n^∗) un profil de strat´egies mixtes. On dira quex^∗ est un ´equilibre de Nash si, pour tout joueuri,

∀xi ∈∆(Si),ui(x_i^∗,x_−i^∗ )≥ui(xi,x_−i^∗ ).

Proposition :le profil de strat´egies mixtesx^∗ est un ´equilibre de Nash ssi

∀s_i ∈S_i, u_i(x_i^∗,x_−i^∗ )≥u_i(s_i,x_−i^∗ ).

Preuve : Par contraposée. Si aucune stratégie pure n’est une déviation profitable, alors aucune stratégie mixte ne l’est non plus, par linéarité.

(53)

Plan

Introduction

D´efinition

Th´eor`eme de Nash

Jeux s´equentiels

(54)

Th´ eor` eme de Nash (1951)

On a vu qu’il pouvait ne pas exister d’´equilibre en strat´egie pure.

N´eanmoins, lorsque l’on autorise l’usage des strat´egies mixtes, ceci n’est plus possible.

Théorème :Dans un jeu sous forme normale fini, il existe toujours au moins un équilibre de Nash en stratégies mixtes.

(55)

Preuve 1/2

La démonstration originale de Nash s’appuie sur le théorème de

Brouwer : soit une application continueg :X →X, o`uX est compact et convexe. Alorsg admet un point fixex^∗, c’est `a dire tel queg(x^∗) =x^∗.

On noteX l’ensemble des profils de strat´egies mixtes,X = ΠXi. On notea⁺= max{a,0}.

Soit l’applicationg :X →X, d´efinie parg(x) = (g1(x), ...,gn(x)), o`ugi

est une application deX_i dansX_i donn´ee par

(gi(x))(si) := xi(si) + (ui(si,x−i)−ui(xi,x−i))⁺ 1 +P

s_i⁰∈Si(ui(s_i⁰,x_−i)−ui(xi,x_−i))⁺ (Eq) On agi(x)∈Xi, et doncg(x)∈X. La continuit´e deg est claire.

L’applicationg admet donc un point fixex^∗. Il nous reste `a montrer que x^∗ est un ´equilibre de Nash.

(56)

Preuve 2/2

I Supposons quex^∗ ne soit pas un équilibre de Nash : il existe donc un joueuri qui peut obtenir un paiement strictement plus grand en déviant dex_i^∗ vers une stratégie pure, face àx_−i^∗ ; ainsi, pour ce joueuri, on a

X

s_i⁰∈Si

ui(s_i⁰,x_−i^∗ )−ui(x_i^∗,x_−i^∗ )+

>0,

car au moins un des termes de la somme est strictement positif. Le d´enominateur dans (Eq) est donc strictement plus grand que 1.

I Soit maintenant si ∈Si telle quex_i^∗(si)>0 et ui(x_i^∗,x_−i^∗ )≥ui(si,x_−i^∗ ), c’est `a dire que

(u_i(s_i,x_−i)−u_i(x_i,x_−i))⁺= 0. Conclusion : puisquex^∗ est un point fixe deg, on a donc

x_i^∗(si) = (gi(x^∗))(si) = x_i^∗(si) 1 +P

s⁰_i∈S_i u_i(s_i⁰,x_−i^∗ )−u_i(x_i^∗,x_−i^∗ )+, et doncx_i^∗(si) = 0 (on a une ´equation de la formex =_d^x avecd>1).

On aboutit `a une contradiction.x^∗ est donc un ´equilibre de Nash.

(57)

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Th´eor`eme de Nash

Jeux s´equentiels

(58)

Interpretation 1 : v´ eritables strat´ egies des joueurs

Professionals Play Minimax, article de recherche d’Ignacio Palacios-Huerta

The Review of Economic Studies(2003)

gL etgR = 1−gL : le gardien choisit de plonger `a sa gauche (L) ou `a sa droite (R).

kL etkR := 1−kL : le tireur choisit de tirer `a la gauche du gardien (L) ou `a sa droite (R).

Ces fréquences (empiriques sur 5 grands championnats) peuvent définir le paiement du jeu matriciel à somme nulle.

(59)

Interpretation 1 : v´ eritables strat´ egies des joueurs

Professionals Play Minimax, article de recherche d’Ignacio Palacios-Huerta

The Review of Economic Studies(2003)

gL etgR = 1−gL : le gardien choisit de plonger `a sa gauche (L) ou `a sa droite (R).

kL etkR := 1−kL : le tireur choisit de tirer `a la gauche du gardien (L) ou `a sa droite (R).

Ces fréquences (empiriques sur 5 grands championnats) peuvent définir le paiement du jeu matriciel à somme nulle.

(60)

Interpretation 1 : v´ eritables strat´ egies des joueurs

Aussi observé dans le poker (où les joueurs peuvent mixer à l’aide d’une montre).

Libratus (Université de Pittsburgh, 2017) est un programme informatique d’intelligence artificielle destiné à jouer au poker, qui bat largement les meilleurs joueurs du monde : 14,72bb/100 (écarts comparables à la différence entre amateur régulier et joueur professionnel).

Avantage comparatif : connaissance parfaite de l’´equilibre de Nash (strat´egie inexploitable, qui attend les erreurs), dont le support mixte est beaucoup plus large que les humains et excellente maitrise de la

randomisation mme des ´ev`enements rares.

(61)

Autres interpretations

I Si une interaction stratégique est répétée, une stratégie mixte peut parfois s’interpréter comme la fréquence à laquelle chaque action est jouée.

I Si de nombreux individus ne savent pas avec qui ils vont interagir, ils s’intéressent à la fréquence des actions jouées par la foule.

I etc

(62)

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Jeux s´equentiels

(63)

Comment trouver les ´ equilibres Nash mixtes ?

Proposition : Soit un profil de strat´egies mixtesx^∗= (x₁^∗,x₂^∗, ...,x_n^∗). Si x^∗ est un ´equilibre de Nash, alors, pour tout joueuri,

∀s_i ∈S_itel que x_i^∗(s_i)>0, on a u_i(x_i^∗,x_−i^∗ ) =u_i(s_i,x_−i^∗ ).

Preuve.Soients_i⁺ ets_i⁻ deux strat´egies du joueuri telles que x_i^∗(s_i⁺)>0,x_i^∗(s_i⁻)>0 etu_i(s_i⁺,x_−i^∗ )>u_i(s_i⁻,x_−i^∗ ).

Considérons alors la stratégie mixtexi définie de la manière suivante : xi(si) =x_i^∗(si),∀si6=s_i⁺,s_i⁻

xi(s_i⁺) =x_i^∗(s_i⁺) +x_i^∗(s_i⁻) xi(s_i⁻) = 0

Alors on v´erifie facilement que

ui(xi,x_−i^∗ )>ui(x_i^∗,x_−i^∗ ), ce qui contredit le fait quex^∗est un ´equilibre de Nash.

On a donc montré que, pour toute stratégiesi ∈Si telle quex_i^∗(si)>0 on a forcément le même paiement face à x_−i^∗ . Par linéarité de la fonction de paiement ce paiement est égal àu_i(x_i^∗,x_−i^∗ ). Le résultat est prouvé.

(64)

Simplifier un jeu avant d’en trouver les ´ equilibres Nash mixtes ?

Proposition :Soitsi une stratégie pure du joueuri dominée strictement par une stratégie mixtexi :

∀s_−i ∈S_−i, ui(si,s_−i)<ui(xi,s_−i).

Alors, six^∗est un ´equilibre de Nash, on ax_i^∗(si) = 0.

Ceci signifie que l’on peut éliminer les stratégies pures strictement dominées par une stratégie mixte lorsque l’on recherche l’ensemble des

équilibres de Nash d’un jeu, car elles ne seront pas jouées par le joueur concerné, à l’équilibre.

(65)

Exemple : Cherchons l’ensemble des ´equilibres de Nash du jeu suivant : Joueur 2

g d

Joueur 1 H 3,0 0,1 M 0,0 3,1 B 1,1 1,0

On voit facilement qu’il n’y a pas de stratégie pure strictement dominée par une autre stratégie pure.

Néanmoins, la stratégieB est dominée par la stratégie mixte x₁= (¹₂,¹₂,0) pour le joueur 1, car les paiements correspondant sont

u₁(x₁,g) = 3/2>1, u₁(x₁,d) = 3/2>1.

On peut donc ´eliminer la strat´egie pureB pour le joueur 1.

(66)

Apr`es ´elimination, on obtient :

Joueur 2

g d

Joueur 1 H 3,0 0,1 M 0,0 3,1

Dans cette matriceg est dominée pard donc on peut éliminerg, ce qui aboutit à l’unique équilibre de Nash (M,d).

(67)

Quelques remarques générales sur l’ensemble des équilibres de Nash :

∗ Un équilibre de Nash est ditcomplètement mixtelorsque chaque joueur joue une stratégie complètement mixte. Le fait qu’il y a toujours un équilibre de Nash en stratégie mixte ne signifie pas qu’il existe toujours un équilibre de Nash complètement mixte ;

∗ d’ailleurs, un équilibre de Nash pur est un cas particulier d’équilibre de Nash mixte ; en effet, comme on l’a vu plus haut, on peut identifier l’actionsi avec la stratégie mixtexi telle quexi(si) = 1

∗ Il peut y avoir une infinité d’équilibres de Nash, par exemple, dans un jeu à deux joueurs avec deux stratégies pures chacun, si un des deux joueurs est indifférent entre ses deux actions, à l’équilibre il pourra jouer n’importe quelle probabilité sur ses deux actions ;

∗ Il est assez compliqué en général de trouver tous les équilibres de Nash d’un jeu. Néanmoins, dans le cas à deux joueurs avec peu d’actions possibles, une méthode pratique possible est :

a) Procéder à l’élimination itérée des stratégies strictement dominées (par une stratégie mixte) ;

b) Chercher les équilibres purs dans la nouvelle matrice obtenue ; c) Chercher les équilibres mixtes en faisant des hypothèses et en

utilisant la proposition qui donne l’´egalit´e des paiements.

(68)

Exemples de r´ esolution de jeux deux joueurs

Dans chacun des cas suivants, on cherche l’ensemble des ´equilibres de Nash.

Premier exemple :Consid´erons la matrice de paiement Joueur 2

g d

Joueur 1 H 0,0 2,3 B 1,1 0,0

1. Pas d’élimination possible, on passe à la recherche des équilibres.

2. Il y a deux ´equilibres de Nash purs : (H,d) et (B,g).

3. Face à une stratégie pure, les joueurs ne sont jamais indifférents entre leurs deux actions donc il n’existe pas d’équilibre de Nash pour lequel un des deux joueurs joue une stratégie pure et l’autre joueur joue complètement mixte.

4. Cherchons maintenant les ´equilibre de Nash compl`etement mixte.

(69)

Six^∗= (x₁^∗,x₂^∗) est un équilibre de Nash mixte, avecx₁^∗= (x,1−x) et x₂^∗= (y,1−y) (x ∈]0,1[,y ∈]0,1[ alors, lorsque le joueur 1 utilise la stratégie mixtex₁^∗, on sait que le joueur 2 doit être indifférent entre ses deux stratégies pures :

u₂(x₁^∗,g) = (1−x)×1; u₂(x₁^∗,d) =x×3.

Il y a égalité ssix= 1/4. De la même manière, lorsque le joueur 2 joue selonx₂^∗, le joueur 1 est indifférent entre ses deux actions :

u1(H,x₂^∗) = (1−y)×2; u1(B,x₂^∗) =y×1, ce qui implique quey = 2/3.

Il existe donc un unique ´equilibre de Nash compl`etement mixte : 1

4,3 4

,

2 3,1

3

(70)

Deuxi`eme exemple :Soit la matrice de paiement Joueur 2

g d

Joueur 1 H 2,1 1,3 M 1,3 2,2 B 1,5 1,0

1. la stratégie pureB est dominée strictement par la stratégie mixte (1/2,1/2,0), qui consiste à jouer une fois sur 2H et une fois sur deuxM. On peut donc éliminer la stratégie pure B pour le joueur 1 et considérer la matrice de paiement simplifiée.

Joueur 2

g d

Joueur 1 H 2,1 1,3 B 1,3 2,2

2. On vérifie facilement qu’il n’y a pas d’équilibres de Nash purs. 3. On vérifie facilement qu’il n’y a pas d’équilibres de Nash

partiellement mixte.

4. Il y a donc un unique ´equilibre de Nash, qui est compl`etement mixte.

(71)

Deuxi`eme exemple :Soit la matrice de paiement Joueur 2

g d

Joueur 1 H 2,1 1,3 M 1,3 2,2 B 1,5 1,0

1. la stratégie pureB est dominée strictement par la stratégie mixte (1/2,1/2,0), qui consiste à jouer une fois sur 2H et une fois sur deuxM. On peut donc éliminer la stratégie pure B pour le joueur 1 et considérer la matrice de paiement simplifiée.

Joueur 2

g d

Joueur 1 H 2,1 1,3 B 1,3 2,2

2. On v´erifie facilement qu’il n’y a pas d’´equilibres de Nash purs.

3. On v´erifie facilement qu’il n’y a pas d’´equilibres de Nash partiellement mixte.

4. Il y a donc un unique ´equilibre de Nash, qui est compl`etement mixte.

(72)

Six^∗= (x₁^∗,x₂^∗) est un équilibre de Nash mixte, avecx₁^∗= (x,1−x) et x₂^∗= (y,1−y) (x ∈]0,1[,y ∈]0,1[ alors, lorsque le joueur 1 utilise la stratégie mixtex₁^∗, on sait que le joueur 2 doit être indifférent entre ses deux stratégies pures :

u₂(x₁^∗,g) =x×1 + (1−x)×3, u₂(x₁^∗,d) =x×3 + (1−x)×2. Il y a égalité six= 1/3. De la même manière, lorsque le joueur 2 joue selonx₂^∗, le joueur 1 est indifférent entre ses deux actions :

u1(H,x₂^∗) =y×2 + (1−y)×1; u1(M,x₂^∗) =y×2 + (1−y)×2, ce qui implique qu’il y a ´egalit´e ssiy = 1/2.

Il existe donc un unique ´equilibre de Nash compl`etement mixte : 1

3,2 3

,

1 2,1

2

(73)

Troisi`eme exemple :Soit la matrice de paiement Joueur 2

g d

Joueur 1 H 1,1 2,1 B 0,0 1,0

1. H domine strictementB.

2. Une fois queB est éliminé, le joueur 2 est indifférent entreg etd. Dans ce jeu, il y a donc une infinité d’équilibres de Nash, de la forme (H,(y,1−y)).

(74)

Troisi`eme exemple :Soit la matrice de paiement Joueur 2

g d

Joueur 1 H 1,1 2,1 B 0,0 1,0 1. H domine strictementB.

2. Une fois queB est éliminé, le joueur 2 est indifférent entreg etd. Dans ce jeu, il y a donc une infinité d’équilibres de Nash, de la forme (H,(y,1−y)).

(75)

Exercice suppl´ementaire :

Joueur 2

g m d

Joueur 1

A 5,10 10,15 5,0 B 0,20 5,5 10,25

(76)

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Jeux s´equentiels

(77)

Comp´ etition imparfaite

Les deux jeux les plus étudiés en économie : la compétition de Cournot et la compétition de Bertrand.

Comptition de Cournot : comptition sur les quantits.

Comptition de Bertrand : comptition sur les prix.

Le cadre est commun :

I Production d’un bien assur´ee parnfirmes.

I Coˆut marginal constant :c>0

I Demande des consommateurs et prix sont relis par une foncion affine :p(q) =a−bqou q(p) = ^a−q_p .

(78)

(i) Dans le mod`ele de Cournot : chaque firme choisit qi. La quantit´e totale estq=X

i

q_i. p=

(a−bq si q∈[0,a/b]

p= 0 siq≥a/b Chaque firme souhaite maximiser :

u_i(q_i,q_−i) = (p−c)q_i.

(ii) Dans le mod`ele de Bertrand :, chaque firme choisitp_i. Le prix de vente estp:= min

i pi.

La demandeqdes consommateurs est alors : q=

(₁

b(a−p) sip∈[0,a]

q= 0 sip≥a.

Chaque firme souhaite donc maximiser : ui(pi,p_−i) =

(₁

N(p−c)qsip_i = min

j p_j 0 sinon

. o`uNest le nombre de firmes affichant le prix le plus bas p.

(79)

Comp´ etition ` a la Cournot

Le cas du monopole.

Lorsqu’une firme est seule sur le march´e (n= 1), elle maximise son profit en produisant :

q_monopole =a−c 2b

Le prix en situation de monopole est alors donn´e par pmonopole= 1

2(a+c) Le profit de la firme est donn´e par

umonopole= 1

4(a−c)²/b

(80)

L’optimum en utilit´e.

On a : X

i

ui(qi,q−i) =X

i

(p−c)qi= (p−c)q=

((a−c−bq)qsi q≤a/b

−cq siq≥a/b

• Pour maximiser l’utilité agrégée, les firmes doivent se comporter comme une seule firme en monopole.

• Elles doivent donc produire q=qmonopole. Cette production pouvant ˆ

etre r´eparti de n’importe quelle mani`ere entre les firmes.

• q peut par exemple être répartie équitablement entre lesnfirmes : qi =¹_nqm

(81)

Quelques remarques sur les interactions.

On a :

∂ui

∂qj

=−bq_i ≤0

On dit que le jeu est àexternalités négatives. Une augmentation de la quantité produite chez les concurrents conduit à une baisse du profit.

On a aussi :

∂²ui

∂qi∂qj

=−b<0

On dit que le jeu est àsubstituts stratégiques . Une augmentation de la quantité produite chez les concurrents conduit à une baisse de la rentabilitée.

(82)

Et les ´equilibres de Nash ? Calculons les fonctions de meilleure r´eponse.

u_i(q_i,q_−i) = (p−c)q_i = (a−c−b(q_i+q_−i))q_i siq_i+q_−i≤a/b La dérivée partielle de cette application par rapport àqi est

∂ui

∂qi

=a−c−b(qi+q_−i)−bqi =a−c−2bqi−bq_−i. La fonction de meilleure r´eponse est alors

BRi(q_−i) = 1

2 a−c

b −q_−i

si q_−i ≤ ^a−c_b 0 siq_−i≥ ^a−c_b .

(83)

Si (qi)i est un ´equilibre de Nash o`u tout le monde produit, alors : qi= 1

2 a−c

b −q−i

Il s’agit d’un système denéquations àninconnues, que l’on peut résoudre à l’aide de l’astuce suivante :

1. On retranche ¹₂qi de chaque côté, et on obtientqi= â−c_b −q.

2. On somme suri, et on obtient : q= _n+1ⁿ ^a−c_b

3. A l’aide des 2 points précédents, on obtient : q_i =_n+1¹ â−c_b .

(84)

On peut comparer l’équilibre de Nash au résultat obtenu pour l’optimum en utilité.

qequilibre= 2 n

n+ 1qmonopole

Les firmes produisent beaucoup plus `a l’´equilibre.

On peut aussi calculerp_equilibre= ^a+nc_n+1 donc

uequilibre= 4

(n+ 1)²um

(85)

Existe-il des équilibres de Nash où certaines firmes ne produisent pas ? La réponse est non.

En effet, supposons que (qi)i est un ´equilibre de Nash dans lequel seulementk <nfirmes produisent.

On a alors :

q= k k+ 1

a−c b

Pour toute firmei ne produisant pas, la meilleure r´eponse est donn´ee par : BRi(q−i) = 1

2 a−c

b − k

k+ 1 a−c

b

= 1

2(k+ 1) a−c

b >0, ce qui est une contradiction.

(86)

Pour résumer, on a prouvé les résultats suivants :

I Dans le modèle de compétition de Cournot, il existe un unique optimum en utilité symétrique, où chaque firme produit qi =¹_nqmonopole et obtient le paiement ¹_numonopole

I Il existe un unique ´equilibre de Nash o`u chaque firme produit qi =_n+1² qm et obtient le paiement _(n+1)⁴ 2um

I Les producteurs produisent donc plus et gagnent moins à l’équilibre de Nash qu’à l’optimum en utilité. De plus, lorsquenaugmente, la somme des paiements à l’équilibre tend vers 0.

(87)

Comp´ etition ` a la Bertrand

Le monopole.

p=p_monopole =a+c

2

Le calcul est le mˆeme que pour le monopole sous Cournot.

L’optimum en utilit´e.

N’importe quel profil tel quep=pmonopole= ^a+c₂ .

(88)

L’´equilibre de Nash.

Soitn≥2 le nombre de joueurs. Les équilibres de Nash sont les profils (pi)i tels qu’au moins deux firmes choisissentc et toutes les autres choisissent un prix supérieur àc.

Remarque : le paiement de chaque firme est nul `a l’´equilibre.

(89)

Troisi` eme exemple de jeu avec continuum d’action : les fournitures de biens publics

I nagents contribuent (ou non) `a la production d’un bien public.

I Ils poss`edent des ressources (y1, . . . ,yn).

I Chaque agenti divise ses ressources entre une contributiongi `a la production du bien public et sa consommation personnelle ci. I On noteG =

n

X

i=1

g_i la contribution totale.

I L’utilité des agents est représentée par la fonction d’utilité de Cobb-Douglas :

ui(gi,g_−i) =αln(G) + (1−α) ln(yi−gi) I Chaque agenti cherche `a maximiser la quantit´e :

αln(gi+g−i) + (1−α) ln(yi−gi), avecgi ∈[0,yi].