7.2 Simulation de l’inter-re´flexion pour des mate´riaux non diffus
7.2.5 Repre´sentation des distributions
L’algorithme de la Section 7.2.4 travaille sur des distributions directionnelles, qu’il importe de repre´senter en machine. Rappelons que la radiance de´pend a` la fois de la position sur les surfaces et de la direction de propagation. Les distributions conside´re´es ici sont obtenues en gardant la position constante dans la fonction de radiance. Cette pre´sentation du proble`me revient a` de´coupler le maillage utilise´ sur les surfaces et la discre´tisation de la sphe`re des directions.
Dans le cas ge´ne´ral, le «maillage» de l’espace des directions n’est pas plus simple que celui des surfaces. Les distributions de radiance comple`tes posse`dent des disconti-nuite´s dues a` la re´flexion spe´culaire ide´ale, qui ne´cessitent donc l’e´quivalent d’un maillage de discontinuite´ (voir Section 1.3.1). Heureusement l’utilisation de deux e´tapes de cal-cul e´limine les discontinuite´s des distributions a` stocker.
Repre´sentation par des harmoniques sphe´riques
Nous proposons d’appliquer une analyse harmonique aux distributions de radiance. Cela permet en effet d’obtenir une repre´sentation compacte puisque le caracte`re «lisse» de ces distributions se traduit par une domination des basses fre´quences.
La de´composition en fre´quences de fonctions de´finies sur la sphe`re utilise les
har-moniques sphe´riques. Les harhar-moniques sphe´riques forment une base orthonormale de
l’ensemble des fonctions de carre´ inte´grable sur la sphe`re [23]. Cet ensemble infini de fonctions est couramment note´Yl,m(θ, φ) ou` 0 ≤ l < ∞ et −l ≤ m ≤ l. Par analogie
directe avec les se´ries de Fourier a` une dimension, toute fonction de carre´ inte´grable sur la sphe`ref (θ, φ) peut s’e´crire sous la forme
f (θ, φ) = ∞ X l=0 l X m=−l Cl,mYl,m(θ, φ) , (7.2)
ou` les coefficients sont donne´s par Cl,m= Z 2π 0 Z π 0 f (θ, φ) Yl,m(θ, φ) dω . (7.3) Une repre´sentation simplifie´e de quelques-unes des premie`res harmoniques sphe´riques est montre´e a` la Fig. 7.5.
1,0
3,0 3,2
5,0 5,2 5,4
FIG. 7.5 - Repre´sentation polaire simplifie´e de quelques harmoniques sphe´riques. La
valeur absolue de la fonction est reporte´e en tant que distance a` l’origine pour les direc-tions de l’he´misphe`re supe´rieur. Les lobes sombres repre´sentent des valeurs ne´gatives.
Les harmoniques sphe´riques partagent deux autres proprie´te´s avec les se´ries de Fou-rier : les termes d’ordre e´leve´ repre´sentent les composantes de haute fre´quence de la distribution, et une approximation d’une fonction est obtenue en ne conside´rant qu’un nombre fini de termes dans la se´rie. Une distribution de radiance peut donc eˆtre stocke´e sous la forme d’un vecteur deN coefficients. Le choix de N de´pend des caracte´ristiques
de la FDRB sous-jacente et de la pre´cision de´sire´e. Un unique coefficient suffit pour un re´flecteur diffus ide´al, et en ge´ne´ral plus la FDRB est directionnelle plus il faut de co-efficient pour rendre compte des hautes fre´quences dans sa forme. La Fig. 7.6 montre quelques approximations possibles d’une fonction de re´flectance, obtenues en variant le nombre de termes dans la de´composition1.
Notons au passage que les fonctions harmoniques sphe´riques ne sont pas a` support local, puisque elles sont non-nulles presque partout sur la sphe`re. C’est une diffe´rence majeure avec les fonctions de base habituelles pour e´le´ments finis. L’utilisation de fonc-tion non locales est en ge´ne´ral e´vite´e parce qu’elles ont tendance a` produire des matrices plus pleines ; dans ce cas particulier, le facteur de forme est calcule´ une seule fois entre deux e´le´ments de surface, et utilise´ pour toutes les directions.
1. L’aspect discontinu observe´ provient uniquement de la repre´sentation des formes a` l’aide de
poly-gones. Toutes les fonctions trace´es sont en re´alite´ C∞
1
3
7
27
66
133
FIG. 7.6 - Variation de la pre´cision de la repre´sentation en harmoniques sphe´riques
avec le nombre de coefficients stocke´s.
La de´composition d’une fonction demande un effort non ne´gligeable, a` cause de l’inte´gration dans l’Equation 7.3. Heureusement, dans le cas des fonctions de re´flec-tance, il suffit de mener ce calcul une fois pour chaque mate´riau [16]. Pour des mate´-riaux isotropes, la de´pendance dans l’angle d’incidenceθ0peut eˆtre rendue par la repre´-sentation de chaque coefficient comme fonction deθ0[86]. Pour des FDRB anisotropes, chaque coefficient d’harmonique sphe´rique peut eˆtre lui-meˆme exprime´ comme un vec-teur de coefficients, en effectuant une deuxie`me de´composition par rapport a` l’angle d’incidence [101].
Quels que soient les de´tails de l’imple´mentation, l’utilisation d’harmoniques sphe´-riques offre plusieurs avantages : l’approximation est toujours continue, et sa pre´cision peut eˆtre ame´liore´e en incluant plus de termes (quoique les phe´nome`nes d’oscillations soient difficiles a` maıˆtriser totalement). De plus, une fois que l’approximation de la FDRB a e´te´ choisie, l’addition de distributions de radiance sur une surface, correspon-dant a` l’influence de diffe´rents e´metteurs, ne demande pas d’augmentation de l’espace de stockage (les coefficients de meˆme rang sont simplement ajoute´s). La qualite´ rela-tive de l’approximation est donc maintenue avec un nombre fixe de termes dans la de´-composition. Enfin, les ope´rations de multiplication scalaire, rotation et addition sont effectue´es facilement, comme indique´ dans l’article [86] joint en annexe (p. 115).
Traitement des caracte´ristiques
directionnelles pour une simulation
utilisant le regroupement
Nous sommes maintenant en mesure de reconside´rer les techniques de regroupe-ment propose´es au Chapitre 3 et de de´passer les hypothe`se simplistes d’isotropie qui avaient e´te´ faites alors. En particulier nous proposons dans ce chapitre une description ge´ne´rale des proprie´te´s radiome´triques des surfaces et des groupes d’objets permettant un traitement unifie´.