Représentation des objets

FIGURE2.4 – Exemple d’objets CSG construits en utilisant différentes opérations https: //en.wikipedia.org/wiki/Constructiv_solid_geometry

2.2.2/ LES OBJETS 3D

Actuellement, avec l’avancement des technologies de numération et de

modélisation, différentes variantes des modèles 3D sont massivement produites. La modélisation 3D consiste à construire des modèles 3D en utilisant un

ensemble de données géométriques permettant de décrire le modèle à représenter. Il existe différents types de modélisations ; les principaux types sont :

— Modélisation polygonale : C’est le type de modélisation le plus utilisé. Les modèles sont des polyèdres. La Figure 2.2 montre un exemple d’un modèle polygonal. Dans le cas le plus simple et le plus fréquent, tous les polygones du polyèdre sont des triangles.

— Modélisation par surfaces courbes : un modèle est construit à partir des surfaces générées avec des points de contrôles. Il existe plusieurs types de surfaces, citons à titre indicatif les B-Splines, les surfaces de Bézier, et les Catmull-Rom cubiques. La Figure 2.3 montre un exemple d’un modèle construit en utilisant les courbes de Bézier.

— Modélisation par surfaces implicites : les objets sont définis par des surfaces décrites par une équation de la forme f (x, y, z) = 0, f : R3 _{→ R. Le}

signe de f (x,y,z) permet de savoir si le point x y z est à l’intérieur ou à l’extérieur de l’objet. Les quadriques, les tores sont des exemples de surfaces ayant une équation implicite simple.

— Modélisation par géométrie : la géométrie de construction des solides, en anglais appelée Constructive Solid Geometry (CSG), consiste à

construire des objets solides en appliquant des opérations booléennes, ou des transformations géométriques sur des formes de bases (Figure 2.4) ;

32 CHAPITRE 2. QUELQUES CONCEPTS UTILES

FIGURE 2.5 – Différents niveaux de subdivisions pour un maillage rectangulaire

[Boumzaid et al., 2009]. haut droite : maillage original.

ces formes de bases sont typiquement des surfaces implicites.

— Modélisation fonctionnelle et paramétrique : ce type de modélisation est le plus utilisé pour des modèles de CFAO (CAD/CAO). Une fonction, au sens informatique du terme, construit l’objet ; les arguments de la fonction sont les paramètres définissant l’objet (dimensions, nombre de marches pour un escalier ou de dents pour des roues dentées, etc). — Modélisation volumique : elle permet de représenter l’intérieur d’un

objet. Nous décrivons en détails ce type de modélisation dans la Section 2.2.4.

Il existe bien d’autres méthodes de modélisation ; elles sont généralement dérivées des méthodes décrites ci-dessus. Les surfaces de subdivision par exemple représentent une variante des surfaces à pôles. A partir d’une surface polygonale, un procédé itératif subdivise chaque face en sous faces selon un schéma de subdivision (Figure 2.5). La surface résultante est la limite du processus de subdivision.

La modélisation B-rep est une autre méthode de modélisation géométrique permettant de représenter des objets solides par leur frontière, en utilisant le plus souvent des surfaces B-splines, ou de Bézier. Elle est une généralisation de la modélisation polygonale : les polygones sont remplacés par des morceaux de surfaces gauches.

La modélisation polygonale est extrêmement répandue en raison de sa simplicité, et la facilité de stockage externe dans des fichiers.

2.2. REPRÉSENTATION DES OBJETS 33

2.2.3/ MODÈLES POLYGONAUX : MAILLAGES

Il s’agit de représenter un objet (une surface) par un polyèdre. On appelle ce processus la discrétisation de la surface. Les sommets sont reliés par des segments que l’on appelle arêtes, ce qui permet de trouver une représentation approximative de la surface. Cette discrétisation de la surface est appelée maillage. Pour construire un maillage à partir d’un nuage de points, il faut disposer de différentes informations telles que les arêtes adjacentes à un sommet, les voisins du sommet, et les arêtes partageant le même sommet. Le calcul de toutes ces informations nécessite un temps de calcul et de stockage mémoire important. En pratique, pour éviter de refaire les calculs, et pour

consommer moins d’espace mémoire, toutes ces informations sont calculées au préalable et stockées dans des fichiers. Il suffit donc, lors de la reconstruction d’un maillage, de lire les différentes informations sauvegardés dans ces fichiers. Il existe différents types de formats de fichiers tels que les formats off, obj, VRML etc . . . Nous utilisons le format obj. Un fichier obj basique d’un maillage

triangulaire est sous la forme suivante : #les coordonnées des sommets v

v x1y1z1 #coordonnées du sommet 1

v x2y2z2 #coordonnées du sommet 2

. . .

#les indices des sommets d’un triangle (facettes f ) : des nombres entiers f fi fj fk #indices des sommets de la face 1

f fl fm fn #indices des sommets de la face 2

. . .

#Les coordonnées des vecteurs normales n n x� 1y�1z�1 #normale de la face 1 n x� 2y�2z�2 #normale de la face 2 . . .

34 CHAPITRE 2. QUELQUES CONCEPTS UTILES

(a) (b)

FIGURE2.6 – Représentation volumique d’un objet 3D. (a) : modèle polygonal. (b) : mo- dèle volumique.

2.2.4/ REPRÉSENTATION VOLUMIQUE DISCRÈTE DES OBJETS 3D

Dans le chapitre suivant, nous utiliserons des représentations volumiques

discrètes, calculées à partir des modèles polygonaux. Ce type de représentation discrétise l’espace 3D en un tableau 3D de voxels : un voxel est un petit cube élémentaire, plein ou vide : c’est un pixel 3D. Cette représentation est largement utilisée dans des techniques d’imagerie médicale, tel que l’IRM et les scanner 3D, pour représenter les tissus des organes. La Figure 2.6 représente un modèle volumique (b) obtenu à partir d’un modèle polygonal (a). Seuls les voxels pleins sont affichés.

Pour obtenir un modèle volumique à partir d’un modèle polygonal, nous utilisons la méthode de l’arbre octal [Meagher, 1980]. Il s’agit d’un partitionnement

récursif d’un cube englobant le polyèdre, dans lequel les feuilles représentent les voxels. Nous utilisons le logiciel binvox

[http ://www.cs.princeton.edu/ min/binvox/, ] pour obtenir des modèles volumiques à partir des maillages 3D.

2.3/ B

Le processus de recherche par forme clef consiste à trouver dans une base de données les formes similaires à cette forme. Potentiellement, la base de

données utilisée dans le processus de recherche par forme clef est le Web. Plus modestement, afin d’évaluer les différents algorithmes présentés dans ce

manuscrit, nous utilisons des bases de données telles que la base de données MPEG-7 [Lai et al., 2009] pour des objets 2D (uniquement chapitre 2), et TOSCA [YA. M. Bronstein, 2007] et SHREC’11 [Li et al., 2012] pour des objets 3D.

— MPEG-7 : la base de données MPEG-7 [Lai et al., 2009] contient des images binaires représentant des formes 2D. Elle contient 70 catégories, 20 images binaires pour chacune des catégories. Les différents éléments de cette base de données sont présentés dans le figure 2.7.

— TOSCA : cette base de données [YA. M. Bronstein, 2007] contient 148 modèles 3D (par ex.Cats, Centaurs, dogs, Wolves, Horses, Lions, Gorillas, Shark, personnages féminins et masculins). Les modèles sont répartis en